王桂良，陸路希

(盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041)

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壓縮感知寬帶接收機(jī)設(shè)計(jì)及無雜散動(dòng)態(tài)范圍分析*

王桂良，陸路希**

(盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041)

為了分析壓縮感知寬帶接收機(jī)的性能損失，明確其適用范圍，設(shè)計(jì)了一種基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(MWC)結(jié)構(gòu)的壓縮感知寬帶接收機(jī)，并針對(duì)該接收機(jī)的無雜散動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)量。仿真分析和實(shí)測(cè)結(jié)果表明，字典基之間非正交性將會(huì)導(dǎo)致接收機(jī)無雜散動(dòng)態(tài)范圍的嚴(yán)重?fù)p失，在1/2壓縮采樣率的條件下，接收機(jī)無雜散動(dòng)態(tài)范圍僅能達(dá)到7 dB左右，這將嚴(yán)重限制壓縮感知寬帶接收機(jī)在高動(dòng)態(tài)范圍要求環(huán)境下的應(yīng)用。

寬帶接收機(jī)；壓縮感知；字典基；無雜散動(dòng)態(tài)范圍分析

1　引　言

壓縮感知的研究主要集中在稀疏表示方法、壓縮觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法三方面，近年來均已取得了大量理論成果[1]。本文在這些成果的基礎(chǔ)上，研究該理論的工程轉(zhuǎn)化問題，通過理論仿真和實(shí)際系統(tǒng)測(cè)試，界定其在寬帶信號(hào)采集中的適用范圍。

壓縮感知的工程化應(yīng)用最早在光學(xué)領(lǐng)域，典型如單像素相機(jī)[2]、超譜成像儀[3]、微陣列傳感器[4]。在電信號(hào)采集方面，萊斯大學(xué)Kirolos最早提出了Analogy-to-Information Converter(AIC)結(jié)構(gòu)[5]。Mishali等人將AIC結(jié)構(gòu)推廣為多通道的形式，提出了調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Modulated Wideband Converter，MWC)結(jié)構(gòu)，并設(shè)計(jì)了Xampling接收機(jī)[6-7]?，F(xiàn)有關(guān)于MWC類接收機(jī)的討論多集中于準(zhǔn)確地獲取電路字典基[8]，提高觀測(cè)矩陣的性能[9]，實(shí)驗(yàn)測(cè)試也多是在無噪聲的理想環(huán)境下進(jìn)行[6-7]，對(duì)接收機(jī)在實(shí)際應(yīng)用中的性能分析較少。Davenport等人針對(duì)高斯白噪聲環(huán)境下的模擬信號(hào)采樣進(jìn)行了研究，他們發(fā)現(xiàn)壓縮率每降低1/2，信噪比會(huì)因帶內(nèi)噪聲放大損失3 dB[8]，該結(jié)論對(duì)電信號(hào)壓縮采樣系統(tǒng)的性能分析具有重要指導(dǎo)意義，后續(xù)的實(shí)際測(cè)試也驗(yàn)證了這一結(jié)論[10]。

上述研究均建立在信號(hào)支集準(zhǔn)確判定、信號(hào)有效重建的前提下，但在實(shí)際系統(tǒng)中，由于字典基向量的維數(shù)小于N，卻仍要表示N維空間，無法保證兩兩正交，不正交的字典基間會(huì)產(chǎn)生混疊，這將在信號(hào)重構(gòu)中引入重構(gòu)誤差，造成接收機(jī)性能的進(jìn)一步惡化。非正交字典基之間混疊造成的性能損失，類似于傳統(tǒng)接收機(jī)中的無雜散動(dòng)態(tài)范圍，直接關(guān)系到能夠接收信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，分析該指標(biāo)有助于明確壓縮感知寬帶接收機(jī)的適用范圍，但目前對(duì)該指標(biāo)的研究相對(duì)較少。

針對(duì)上述問題，本文在MWC結(jié)構(gòu)的壓縮感知寬帶接收機(jī)基礎(chǔ)上，通過理論分析和仿真驗(yàn)證得出MWC結(jié)構(gòu)的壓縮感知寬帶接收機(jī)在1/2壓縮率條件下無雜散動(dòng)態(tài)范圍僅有7 dB左右的結(jié)論，并利用設(shè)計(jì)的接收機(jī)實(shí)測(cè)驗(yàn)證了這一結(jié)論。

2　系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1理論模型

壓縮感知的公式表示為

y=Φx=ΦΨα。

(1)

式中：向量x為待采集的信號(hào)；y為壓縮觀測(cè)向量；Φ為觀測(cè)矩陣；通常壓縮觀測(cè)向量y的維度M遠(yuǎn)小于原始信號(hào)x的維度N，也即y是x在觀測(cè)矩陣Φ上的投影壓縮版本。上述壓縮感知未考慮噪聲影響，實(shí)際應(yīng)用中噪聲不可避免。Davenport等人將噪聲因素加入到上述模型中來，建立了壓縮感知的噪聲模型:

y=Φ(x+n)+e

(2)

式中：n為輸入噪聲；e為測(cè)量噪聲。他們從理論上證明輸入噪聲為白噪聲情況下，每降低1/2的壓縮率，信噪比至少損失3 dB[8]。

關(guān)于變換域Ψ的選擇目前有多種方案，本文選取傅里葉變換矩陣為變換域矩陣。觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)一般在電路結(jié)構(gòu)明確以后就是確定的，但由于實(shí)際器件實(shí)現(xiàn)過程中與理想值存在偏差，因此觀測(cè)矩陣一般通過測(cè)量的方法獲得。實(shí)測(cè)中我們發(fā)現(xiàn)，每次開機(jī)接收機(jī)觀測(cè)矩陣均會(huì)發(fā)生細(xì)微變化，從而導(dǎo)致壓縮字典基向量隨之改變，影響信號(hào)重構(gòu)性能。為了準(zhǔn)確地獲得這些會(huì)發(fā)生變化的字典基向量，本文的接收機(jī)增加了字典基自測(cè)功能。關(guān)于字典基自測(cè)技術(shù)其他相關(guān)論文已有闡述，這里不再贅述，僅簡要介紹本文壓縮感知寬帶接收機(jī)的基本框架結(jié)構(gòu)，并給出一個(gè)字典基自測(cè)及補(bǔ)償?shù)臏y(cè)試結(jié)果。

2.2基于MWC結(jié)構(gòu)的壓縮感知接收機(jī)設(shè)計(jì)

目前典型的壓縮感知采樣結(jié)構(gòu)有AIC結(jié)構(gòu)和MWC結(jié)構(gòu)，本文采用相對(duì)更為實(shí)用的MWC結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1　MWC結(jié)構(gòu)框圖

圖中Q個(gè)采樣通道，每個(gè)通道對(duì)應(yīng)一個(gè)偽隨機(jī)序列，偽隨機(jī)序列為N個(gè)碼片的周期重復(fù)，其時(shí)鐘周期等于實(shí)際的Nyquist采樣率。第i個(gè)通道采樣結(jié)果為

(3)

將采樣結(jié)果離散化：

(4)

進(jìn)一步將上述采樣過程寫成矩陣形式：

(5)

式中：Φi,K×N為第i個(gè)通道的觀測(cè)向量，向量中元素取值為

(6)

這里{hi(0),hi(1),…,hi(L)}為模擬濾波器的等效數(shù)字化表示，偽隨機(jī)序列pi(τ)賦予了上述觀測(cè)矩陣偽隨機(jī)特性，符合壓縮感知對(duì)觀測(cè)矩陣的特性要求。

本文接收機(jī)便是基于上述MWC結(jié)構(gòu)，采用雙通道結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)采樣率40 Msample/s，工作在單通道模式下，AD速率40 Msample/s;雙通道模式下AD采樣率20 Msample/s，壓縮率1/2的情況下，對(duì)應(yīng)80 Msample/s的Nyquist采樣率，覆蓋頻段0～40 MHz。接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2　接收機(jī)系統(tǒng)組成

圖2中兩個(gè)AD通道即為上文中的MWC采樣前端，DA通道用于輸出字典基自測(cè)信號(hào)，偽隨機(jī)序列采用TTL雙電平表示，序列周期6.4 μs，每個(gè)周期包含512個(gè)符號(hào)，符號(hào)速率80 Msample/s。由于變換域采用傅里葉矩陣形式，因此自測(cè)信號(hào)為512組頻率初始相位不同的正弦信號(hào)，且自測(cè)信號(hào)的周期與偽隨機(jī)序列周期相同。為保證輸出自測(cè)信號(hào)不發(fā)生失真，DA通道的回放速率取240 Msample/s。

圖3給出了本文接收機(jī)的工作流程，開始時(shí)首先將DA通道連接到信號(hào)輸入端，DA通道產(chǎn)生字典基自測(cè)信號(hào)，由采樣通道采集并保存。字典基自測(cè)完畢后，將實(shí)際信號(hào)接入AD通道的輸入端，開始?jí)嚎s采樣過程。由于上位機(jī)處理能力有限，這里先將采集數(shù)據(jù)進(jìn)行存盤，再進(jìn)行后續(xù)離線的信號(hào)重構(gòu)、分析處理等操作。在已知信號(hào)載頻、調(diào)制速率的情況下，信號(hào)重構(gòu)的支集已知，重構(gòu)算法的復(fù)雜度大大降低，上位機(jī)能夠支持實(shí)時(shí)重構(gòu)解調(diào)。

圖3　接收機(jī)工作流程

2.3壓縮感知寬帶接收機(jī)雜散性能分析

如前所述，本文接收機(jī)變換域采用傅里葉矩陣。由于實(shí)際器件只能實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)形式的傅里葉矩陣，因此我們的字典基測(cè)試采用一組實(shí)數(shù)域頻率和相位不同的正弦信號(hào)，其形式為

(7)

偽隨機(jī)周期序列共有512個(gè)符號(hào)，字典基的自測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)與偽隨機(jī)序列的符號(hào)數(shù)相同，因此自測(cè)信號(hào)為512組頻率相位變化的正弦波。期望達(dá)到80 Msample/s的Nyquist速率，式(7)中每個(gè)正弦波自測(cè)信號(hào)的實(shí)際頻率為80f/512 MHz，其中f=0,1,2,…,255。由于DA速率為240 Msample/s，因此6.4 μs的偽隨機(jī)序列周期內(nèi)，正弦波自測(cè)信號(hào)共有1 536個(gè)數(shù)據(jù)樣點(diǎn)，即n=1,2,…,1 536。式中k的取值為1或0，用于控制自測(cè)信號(hào)相位。為獲得較為準(zhǔn)確的字典基測(cè)量結(jié)果，可以多次發(fā)送自測(cè)信號(hào)，將測(cè)量結(jié)果取平均作為最終的測(cè)量值。頻率相同、相位相差π/2的兩個(gè)字典基測(cè)量結(jié)果合成一個(gè)復(fù)數(shù)形式的傅里葉向量的字典基，作為后續(xù)信號(hào)重構(gòu)的基礎(chǔ)。

公式(2)中，一般稀疏表示基向量ψ(i)是兩兩正交的，是N維空間的完備正交基集合，但字典基向量θ(i)的維數(shù)小于ψ(i)，卻仍然要表示N維空間，所以無法保證兩兩正交，不正交的字典基間會(huì)產(chǎn)生混疊。這使得除字典基本身頻率之外的其他頻率上將會(huì)出現(xiàn)能量泄露。基于MWC結(jié)構(gòu)，我們仿真分析了所設(shè)計(jì)的接收機(jī)在1/2壓縮采樣率條件下的字典基最大雜散功率情況，如圖4所示。從圖中可以看出字典基的頻率響應(yīng)同最大雜散之間的功率差僅有7.5 dB左右。

圖4　字典基的頻率響應(yīng)和最大雜散的仿真結(jié)果

下面以重構(gòu)算法中常用的正交追蹤匹配(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法[12]為例來說明上述字典基之間的非正交性對(duì)信號(hào)重構(gòu)造成的影響。應(yīng)用OMP法進(jìn)行稀疏信號(hào)估計(jì)基本步驟如下：初始化殘差r0=y，設(shè)置α中非零元素下標(biāo)集合Λ0=?，迭代次數(shù)t=1。

(1)求解如下優(yōu)化問題來確定本次迭代得到的非零元素下標(biāo)λt：

(8)

式中：θ(i)表示Θ的第i列。

(2)向下標(biāo)集合以及矩陣非零元素集合中增加一個(gè)元素，即Λt=Λt-1∪{λt}，Θt=[Θt-1,θ(λt)]。

(3)求解最小均方誤差優(yōu)化問題αt=min‖y-Θtα‖2得到信號(hào)新的估計(jì)值。

(4)計(jì)算估計(jì)殘差yt=Θtαt,rt=y-yt。t=t+1，若t

求解αt=min‖y-Θtα‖2通常采用的是最小二乘法，即

(9)

這里假設(shè)y=biθ(i)+bjθ(j),i≠j，且

lg(b1)-lg(b2)≥7.5 。

(10)

則

(11)

在θ(i)、θ(j)正交的情況下，利用上式可以準(zhǔn)確求出bi、bj，從而正確重構(gòu)原始信號(hào)，但在θ(i)、θ(j)非正交的情況下，

(12)

從前面的仿真結(jié)果可知，在最惡劣的情況下，

(13)

由式(10)，θ(i)分量的能量高于θ(j)分量的能量，此時(shí)

(14)

對(duì)于θ(j)分量，其估計(jì)誤差跟實(shí)際信號(hào)能量接近，從而導(dǎo)致bj無法準(zhǔn)確估計(jì)。即當(dāng)強(qiáng)信號(hào)和弱信號(hào)的功率差超過7.5 dB時(shí)，弱信號(hào)無法準(zhǔn)確恢復(fù)。

3　測(cè)試分析

在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下測(cè)試接收機(jī)無雜散動(dòng)態(tài)范圍性能，利用信號(hào)源E4438C產(chǎn)生測(cè)試信號(hào)，利用壓縮感知寬帶接收機(jī)采集測(cè)試信號(hào)，利用處理軟件對(duì)壓縮采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行離線重構(gòu)，重構(gòu)為等效80 Msample/s采樣率的波形文件，再進(jìn)行后續(xù)分析。

首先測(cè)試壓縮感知接收機(jī)的單頻響應(yīng)情況，結(jié)果如圖5所示。為說明本接收機(jī)頻率覆蓋能力，測(cè)試信號(hào)選取頻率為26.56 MHz的單頻信號(hào)。圖5(a)顯示了偽隨機(jī)序列為全1(即不做偽隨機(jī)觀測(cè))、40 Msample/s采樣的字典基響應(yīng)，即40 Msample/s正常采樣的頻譜響應(yīng)。由于此時(shí)Nyquist無混疊帶寬為20 MHz，因此13.44 MHz處出現(xiàn)了該單載波的鏡頻成分，功率和原信號(hào)基本相同。圖5(b)為偽隨機(jī)序列正常工作的40 Msample/s壓縮采樣的字典基響應(yīng)，可見13.44 MHz鏡頻處的響應(yīng)已被抑制，這證明了本文壓縮感知寬帶接收機(jī)的有效性，但由于壓縮字典基非正交，相互間產(chǎn)生干擾，噪底被整體抬升。從圖中可以看出，同正常采樣的信號(hào)相比，壓縮采樣信號(hào)的無雜散動(dòng)態(tài)范圍大大降低了。

圖5　正常采樣和壓縮采樣的單頻信號(hào)響應(yīng)

接下來測(cè)試接收機(jī)全部字典基向量的自相關(guān)和互相關(guān)特性，每個(gè)字典基向量的自相關(guān)可視為該頻點(diǎn)的頻率響應(yīng)，不同字典基向量的互相關(guān)可視為相互間的雜散，圖6給出了所有字典基向量的頻率響應(yīng)和最大雜散的比較，類似于傳統(tǒng)接收機(jī)的無雜散動(dòng)態(tài)范圍測(cè)試。同圖4相比，仿真結(jié)果沒考慮傳輸損耗，在0～40 MHz內(nèi)響應(yīng)和雜散基本平坦，實(shí)際電路存在隨頻率變化的傳輸損耗，在30 MHz范圍內(nèi)的最大損耗為3 dB。實(shí)測(cè)在0～40 MHz范圍整體頻率響應(yīng)和最大雜散相差約7 dB，跟仿真結(jié)果接近。這表明本接收機(jī)40 Msample/s采樣可以無混疊地覆蓋40 MHz帶寬，突破了傳統(tǒng)采樣理論的無混疊帶寬不超過采樣率的一半的限制。然而，對(duì)于一般接收機(jī)而言7 dB的無雜散動(dòng)態(tài)范圍是極差的，這是由于基向量長度被壓縮導(dǎo)致非正交引起的，只要基向量的長度小于其所表示的空間維數(shù)就會(huì)存在這種損失，是壓縮感知不可避免的。

圖6　字典基的頻率響應(yīng)和最大雜散的實(shí)測(cè)結(jié)果

4　結(jié)束語

本文根據(jù)壓縮感知原理研制實(shí)現(xiàn)了一套MWC結(jié)構(gòu)的接收機(jī)，給出了接收機(jī)的具體設(shè)計(jì)方案，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該接收機(jī)以40 Msample/s采樣率無混疊覆蓋0～40 MHz頻率范圍的能力。本文通過仿真實(shí)驗(yàn)和接收機(jī)實(shí)測(cè)結(jié)果表明壓縮感知寬帶接收機(jī)將面臨由于字典基非正交帶來的無雜散動(dòng)態(tài)范圍損失，基于MWC結(jié)構(gòu)的壓縮感知寬帶接收機(jī)在1/2壓縮率條件下無雜散動(dòng)態(tài)范圍僅能達(dá)到7 dB左右，當(dāng)強(qiáng)弱信號(hào)的功率差超過7 dB時(shí)，弱信號(hào)將無法準(zhǔn)確恢復(fù)。動(dòng)態(tài)范圍的損失是壓縮感知寬帶接收機(jī)除了信噪比之外的另外一項(xiàng)重要性能的損失，將會(huì)限制壓縮感知寬帶接收機(jī)在大動(dòng)態(tài)范圍需求場(chǎng)合的應(yīng)用,這也是今后的主要研究內(nèi)容。

[2]LASKA J,KIROLOS S,DUARTE M,et al.Theory and implementation of an analog-to-information converter using random demodulation[C]//Proceedings of 2007 IEEE International Symposium on Circuits System(ISCAS). Louisiana,New Orleans:IEEE,2007:1959-1962.

[3]MISHALI M,ELDAR Y C,ELRON A J. Xampling:signal acquisition and processing in union of subspaces[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(10):4719-4734.

[4]MICHAELI T,ELDAR Y C. Xampling at the rate of innovation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(3):1121-1133.

[5]TREICHLER J,DAVENPORT M,BARANIUK R.Application of compressive sensing to the design of wideband signal acquisition receivers[C]//Proceedings of the 6th U.S./Australia Joint Workshop on Defense Applications of Signal Processing(DASP). Lihue,Hawaii:IEEE,2009:1-10.

[6]DAVENPORT M,LASKA J,TREICHLER J,et al.The pros and cons of compressive sensing for wideband signal acquisition:noise folding versus dynamic range[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(9):4628-4642.

[7]MALEH R,FUDGE G L,BOYLE F A,et al.Analog-to-information and the Nyquist folding receiver[J].IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and System,2012,2(3):564-578.

[8]CHEN Y,MISHALI M,ELDAR Y C,et al.Modulated wideband converter with non-ideal lowpass filters[C]//Proceedings of 2010 IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing(ICASSP).Dallas,Texas:IEEE,2010:3630-3633.

[9]YANG X,TAO X,GUO Y J,et al.Subsampled circulant matrix based analogue compressed sensing[J].Electronics Letters,2012,48(13):767-768.

[10]程艷合，楊文革，韓丙寅．寬帶直擴(kuò)信號(hào)的隨機(jī)解調(diào)壓縮采樣方法[J]．電訊技術(shù)，2015，55(5)：472-478．

CHENG Yanhe,YANG Wenge,HAN Bingyin.Compressive sampling of broadband DS signal based of random demodulation[J]．Telecommunication Engineering,2015,55(5):472-478.(in Chinese)

[11]TROPP J A,GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Transactions on Information Theory,2007,53(12):4655-4666.

王桂良(1987—),男，山東濰坊人，博士研究生，主要研究方向?yàn)橄∈栊盘?hào)處理和輻射源指紋識(shí)別;

WANG Guiliang was born in Weifang,Shandong Province,in 1987. He is currently working toward the Ph.D.degree. His research concerns spare signal processing and specific emitter identification.

Email:wangguiliang05@gmail.com

陸路希(1982—)，男，上海人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)橄∈栊盘?hào)處理和通信信號(hào)處理。

LU Luxi was born in Shanghai,in 1982. He is now a now an engineer with the Ph.D.degree. His research concerns spare signal processing and communication signal processing.

Email:luluxi@pku.edu.cn

China Postdoctoral Science Foundation(2013M532238)

Design and Spurious-free Dynamic Range Analysis of a Compressed Sensing Wideband Receiver

WANG Guiliang,LU Luxi

(Science and Technology on Blind Signals Processing Laboratory,Chengdu 610041,China)

In order to analyze the performance loss and application of compressed sensing wideband receiver,the design detail of a compressed sensing receiver is provided based on modulated wideband converter(MWC) structure. Simulations and experiments are performed to measure the spurious-free dynamic range(SFDR) of the receiver. The result shows the large SFDR loss of the receiver caused by the non-orthogonality of dictionary atoms.When compressed at the ratio of 1/2,the SFDR of the compressed sensing wideband receiver is about 7 dB,which will severely limit its application in high dynamic range requirements.

wideband receiver;compressed sensing;dictionary atom;spurious-free dynamic range analysis

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.10.007

2015-12-31；

2016-07-08Received date:2015-12-31；Revised date：2016-07-08

中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M532238)

TN850

A

1001-893X(2016)10-1103-05

引用格式：王桂良，陸路希.壓縮感知寬帶接收機(jī)設(shè)計(jì)及無雜散動(dòng)態(tài)范圍分析[J].電訊技術(shù)，2016,56(10):1103-1107.[WANG Guiliang,LU Luxi.Design and spurious-free dynamic range analysis of a compressed sensing wideband receiver[J].Telecommunication Engineering,2016,56(10):1103-1107.]

**通信作者：luluxi@pku.edu.cnCorresponding author：luluxi@pku.edu.cn