李 驍 高宗和 龔成明 王 毅 鄒德虎

（國家電網(wǎng)電力科學研究院，南京 211106）

多目標函數(shù)預抗差估計

李 驍 高宗和 龔成明 王 毅 鄒德虎

（國家電網(wǎng)電力科學研究院，南京 211106）

對于電力系統(tǒng)中出現(xiàn)在杠桿量測上的不良數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)含不良數(shù)據(jù)辨識的最小二乘法狀態(tài)估計不能很好排除不良數(shù)據(jù)對系統(tǒng)估計結果的影響。本文提出了多目標函數(shù)預抗差狀態(tài)估計，利用可變窗寬算法平衡了指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計的精度與速度矛盾，同時利用加權最小二乘估計與之相結合，在不同的迭代周期中使用不同的目標函數(shù)，使得估計既可以具有結構抗差估計的優(yōu)秀抗差性能，又使得估計具有最小二乘法相對優(yōu)秀的收斂性，避免了迭代震蕩浪費計算資源的情況。將本文所提方法與傳統(tǒng)算法進行比較，結果表明本文所提出的算法在性能上具有明顯優(yōu)勢。

電力系統(tǒng)；狀態(tài)估計；多目標函數(shù)預抗差；迭代變權法；抗差估計

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計利用實時量測系統(tǒng)的冗余度來提高數(shù)據(jù)精度，自動排除隨機干擾所引起的錯誤信息，估計或預報系統(tǒng)的運行狀態(tài)[1-2]。其計算性能和精度直接決定高級應用軟件的計算可靠性。

具有不良數(shù)據(jù)辨識環(huán)節(jié)的加權最小二乘估計（residual-neutralized weighted least square，RnWLS）是目前狀態(tài)估計中應用最為廣泛的主流方法，優(yōu)點是模型簡單，計算量小，對理想的正態(tài)分布的量測量，估計具有最優(yōu)性且無偏等優(yōu)良統(tǒng)計特性?；贛估計的抗差估計具有一定的抗差性，在估計過程中可以無需額外計算自動排除不良數(shù)據(jù)；但是其無法有效應對不良杠桿量測對估計結果的負面影響［3-6］。為了解決這一問題，文獻[7-9]提出了指數(shù)型目標函數(shù)抗差估計方法，由于量測殘差靈敏度矩陣的對角元在殘差較大時均不為零，因此具有良好的結構抗差性能，但其估計精度和收斂性取決于窗寬參數(shù)，并且相互矛盾，在高精度要求下可能出現(xiàn)迭代震蕩的情況。

本文提出了多目標函數(shù)預抗差（multi objective function pre-treatment，MOFP）狀態(tài)估計方法，應用自適應可變窗寬的指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計和多目標函數(shù)預抗差估計，在不同的迭代周期中使用不同的目標函數(shù)，使得估計既可以具有結構抗差估計的優(yōu)秀抗差性能，又使得估計具有最小二乘法相對優(yōu)秀的收斂性，避免了迭代震蕩浪費計算資源的情況。

1 可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)狀態(tài)估計

指數(shù)型目標函數(shù)（maximum exponential square，MES）電力系統(tǒng)抗差估計的模型可以表示為[7]

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；wi為量測權重，m為量測數(shù)，為量測函數(shù)，即用狀態(tài)變量計算出的量測值，Zi為量測的量測值；h為模型中暫未給出的窗寬。由于其殘差靈敏度矩陣在殘差較大時不為0，對于杠桿量測中出現(xiàn)的不良數(shù)據(jù)具有較好的抵抗能力[7-10]。

指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計中，窗寬的選擇直接關系到整個估計的計算速度與精度。當窗寬選擇較大時，目標函數(shù)較為平緩，收斂速度慢，結果精度也較低，但是不容易出現(xiàn)局部最優(yōu)解；當窗寬選擇較小時，目標函數(shù)較為尖銳，在每個波峰附近收斂速度明顯較快，但是在較小的峰處容易陷入局部最優(yōu)解。因此對于估計而言，估計的迭代收斂速度和估計的結果精度、迭代收斂性這兩方面是相互矛盾的。

為解決這一窗寬選擇問題，使用均方誤差（mean squraerd error，MSE）或風險（risk）來衡量估計的性能[11-14]。其計算公式如下：

對風險作關于h的微分，并且在其為0時，對于我們選定的高斯核函數(shù)，若假設真實分布光滑[18]，則可以計算出：

使用每步迭代才殘差 r的均方根來近似樣本標準差：

由于在多目標函數(shù)預抗差中，指數(shù)目標函數(shù)估計主要作為初期預抗差環(huán)節(jié)，并考慮迭代近似時的誤差所需的余量，在迭代過程中，在h*后面乘以一個大于1的關于迭代次數(shù)it的漸減修正函數(shù)以保證迭代的最初階段不會落入局部最優(yōu)點附近：

2 基于指數(shù)目標函數(shù)的多目標函數(shù)預抗差估計

可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)狀態(tài)估計盡管在一定程度上解決了指數(shù)目標函數(shù)窗寬選擇困難的問題，但是在計算中仍然在少數(shù)情況，比如所有量測都極為準確而殘差極小的狀態(tài)下出現(xiàn)迭代震蕩而無法收斂的情況。但是經(jīng)過對數(shù)據(jù)的研究，常見發(fā)現(xiàn)開始迭代震蕩時經(jīng)過的迭代次數(shù)并不多，杠桿量測上的不良數(shù)據(jù)已經(jīng)得到消除，而僅僅在少數(shù)數(shù)值處發(fā)生小幅度震蕩。此時繼續(xù)進行同樣的迭代不僅僅浪費計算資源，而且也無法獲得更加精確的結果。

多目標函數(shù)預抗差算法基于迭代變權法，將最小二乘估計和可變窗寬指數(shù)狀態(tài)估計相結合，以期待獲得良好抗差性能的同時，簡化計算步驟，避免迭代震蕩。其估計過程中通過迭代變權法，在不同的迭代周期中使用不同的目標函數(shù)，從而獲得多種狀態(tài)估計目標函數(shù)具有的優(yōu)點并回避其可能的缺點。首先通過可變窗寬指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計來消除包括杠桿量測上的不良殘差，并使用加權最小二乘法來保證迭代的收斂性。其基本算法為：

1）在初次迭代時，采用普通最小二乘狀態(tài)估計，獲得可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)估計求取窗寬所需的殘差量。

2）隨后以可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)狀態(tài)估計進行至多4次的抗差估計迭代，排除包括杠桿量測上的不良數(shù)據(jù)。

3）若可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)狀態(tài)估計迭代過程中收斂，則終止迭代，否則進行最大標準化殘差檢測并消除殘差，繼續(xù)使用最小二乘狀態(tài)估計迭代至收斂。

由于在迭代變權法中，可變窗寬指數(shù)型目標函數(shù)狀態(tài)估計與加權最小二乘狀態(tài)估計目標函數(shù)的差異反映在權重計算環(huán)節(jié)，因此僅需要在權重計算環(huán)節(jié)判定迭代次數(shù)從而更改權重計算公式，實現(xiàn)較為方便。算法流程圖如圖1所示。

圖1 MOFP狀態(tài)估計算法流程圖

3 算例分析

為了評估本文所提出的多目標函數(shù)預抗差估計的性能，對于以IEEE-30和IEEE-118標準節(jié)點為基礎搭建的完全量測測試系統(tǒng)進行測試，并使用江蘇電網(wǎng)1098節(jié)點系統(tǒng)斷面數(shù)據(jù)進行驗證。每個量測使用潮流計算真值加上量測誤差來模擬。量測誤差em可以表示為如下形式：

式中，Vt是量測值真值；Vf是滿刻度值；am是與量測值有關的誤差系數(shù)；bm是與滿刻度值有關的誤差系數(shù)，N（0，1）為符合標準正態(tài)分布函數(shù)的白噪聲。

對基于IEEE-30的模擬系統(tǒng)，對于所有量測均在精準值上增加誤差1em的誤差模擬正常量測誤差，在顯示出強杠桿性的 27-28節(jié)點線路末端有功量測上增加15em的極大誤差來模擬不良數(shù)據(jù)，驗證算法在多不良數(shù)據(jù)下的性能。其不良杠桿量測的狀態(tài)估計結果見表1。WLS算法的誤差為量測值的123%，而多目標函數(shù)預抗差估計對此此量測估計誤差僅僅為21%，可以認為多目標函數(shù)預抗差估計對于杠桿量測上不良數(shù)據(jù)的具有遠超 WLS的較強的抵御效果，顯示出了非常好的性能。

表1 WLS狀態(tài)估計和MOFP狀態(tài)估計對IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)不良數(shù)據(jù)的估計結果比較

對于基于IEEE-118節(jié)點，量測數(shù)達到1098個的模擬系統(tǒng)，對于所有量測均在精準值上增加誤差1em的誤差模擬正常量測誤差，在杠桿性較強的183支路末端無功潮流量測上增加15em的明顯誤差。其對比數(shù)據(jù)任然顯示出多目標函數(shù)預抗差估計在較多節(jié)點數(shù)據(jù)下的同樣有較好抗差能力。

表2 WLS狀態(tài)估計和MOFP狀態(tài)估計對IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)不良數(shù)據(jù)的估計結果比較

RnWLS和MOFP估計在算例中的總體評價指標見表 3。MOFP估計算法的電壓幅值偏離距離、電壓相角偏離距離、最大標準化誤差、誤差目標函數(shù)、誤差均方根值這四項狀態(tài)估計評估指標 MOFP均比 RnWLS有明顯的領先，計算時間則由于迭代次數(shù)略高于 WLS估計，但仍然在可以接受的范圍內。

對于一個總體量測十分精確的系統(tǒng)，僅僅采用變窗寬指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計時，因窗寬依賴于殘差同樣較小，易發(fā)生在精確結果附近震蕩的情況。而多目標函數(shù)預抗差估計則能夠避免這樣的收斂性問題。以江蘇電網(wǎng)1098節(jié)點系統(tǒng)為例，對于所有量測均在精準值上增加誤差 0.1em的誤差模擬量測精確的情況，并在三號線路首端有功潮流量測上增加15em的不良數(shù)據(jù)誤差。由于此量測并非杠桿量測，RnWLS算法在此算例上表現(xiàn)符合預期。單純的可變窗寬指數(shù)目標函數(shù)估計法此時迭代次數(shù)較多，消耗大量的時間，而多目標函數(shù)預抗差估計則在保證迭代精度的情況下完成了快速收斂，節(jié)約了大量時間。

以上算例表明MOFP不僅僅具有較高的抗差性能，同時其額外計算量控制較好，具有工程實用性。

表3 WLS和MOFP狀態(tài)估計對IEEE-30和118節(jié)點系統(tǒng)的估計結果比較

表4 RnWLS、MES和MOFP狀態(tài)估計對JS-1098節(jié)點系統(tǒng)的估計結果比較

4 結論

本文提出了多目標函數(shù)預抗差狀態(tài)估計方法，首先使用可變窗寬算法改進指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計，使之能夠自適應系統(tǒng)，額外計算量小，同時能夠有效排除各類不良數(shù)據(jù)對系統(tǒng)估計結果的影響；同時又結合了傳統(tǒng)的加權最小二乘法易收斂，計算量相對較小的特點，避免了各類指數(shù)目標函數(shù)狀態(tài)估計都容易出現(xiàn)的收斂性問題，使得狀態(tài)估計程序整體能在可以接受的時間內得出較為準確的估計結果，避免了之前多種狀態(tài)估計算法難以在估計時間與估計精度中做出平衡的問題，算例分析也證明了此算法具有進一步發(fā)展與進行工程實踐的空間。

[1]于爾鏗.電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[M].北京: 水利電力出版社, 1985: 1-8.

[2]諸駿偉.電力系統(tǒng)分析[M].北京: 中國電力出版社, 1995: 74-84.

[3]相年德, 王世纓, 于爾鏗.電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中的不良數(shù)據(jù)估計識別法（第一部分）：理論與方法[J].電力技術通訊, 1979, 19(8): 1-27.

[4]Monticelli A.Multiple bad data identification for state estimation by combinatorial optimization[J].IEEE Trans.on Power Delivery, 1986, PWRD-1(3): 361-369.

[5]趙海天, 相年德, 王世纓, 等.多不良數(shù)據(jù)的相關量測檢測方法[J].中國電機工程學報, 1990, 10(6): 26-32.

[6]亓俊健, 何光宇, 梅生偉, 等.電力系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計研究綜述[J].電工電能新技術, 2011, 30(3): 59-64.

[7]吳文傳, 郭燁, 張伯明.指數(shù)型目標函數(shù)電力系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計[J].中國電機工程學報, 2011, 31(4): 67-71.

[8]郭燁, 張伯明, 吳文傳.指數(shù)型目標函數(shù)電力系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計的解法與性能分析[J].中國電機工程學報, 2011, 31(7): 89-95.

[9]姚諸香, 郭燁, 郭玉金, 等.含指數(shù)型目標函數(shù)的電力系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計方法在江西電網(wǎng)中的應用[J].電網(wǎng)技術, 2012, 36(4): 155-159.

[10]付艷蘭, 陳艷波, 姚銳, 等.基于最大指數(shù)絕對值目標函數(shù)的抗差狀態(tài)估計方法[J].電網(wǎng)技術, 2013, 37(11): 3166-3171.

[11]David W S.On optimal and Data-Based histograms[J].Biometrika, 1979, 66(3): 605-610.

[12]Chen Badong, Xing Lei, Zhao Haiquan, et al.Generalized Correntropy for Robust Adaptive Filtering［J］.Eprint Arxiv, 2015

[13]Liu Weifeng, Pokharel P P, Principe J C.Correntropy: properties and applications in Non-Gaussian signal processing[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(11): 5286-5297.

[14]Han Seungju, Rao Sudhir, Deniz, et al.An improved minimum error entropy criterion with self adjusting step-size[C].IEEE Workshop on Machine Learning for Signal Processing, 2005.

[15]Bernard Silverman.Density estimation for statistics and data analysis[M].1986.

[16]Larry Wasserman.All of nonparametric statistics[M].2006, 125-130.

[17]何曉群.多元統(tǒng)計分析[M].北京: 中國人民大學出版社, 2004.

[18]盛驟, 謝式千, 潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京: 高等教育出版社, 2008.

Multi Objective Function Pre-treatment Robust State Estimation

Li Xiao Gao Zonghe Gong Chengming Wang Yi Zou Dehu
(State Grid Electric Power Research Institute, Nanjing 211106)

Traditional weighted least square state estimation method with bad data identification progress cannot eliminate the influence of bad leverage data on the result of estimation.The multi objective function pre-treatment robust state estimation was proposed.This estimation use variable window wide algorithm choose the best parameter for maximum exponential square object function , and combined weighted least square estimation to get advantages of both estimator.It was robust and had good convergence.The result of estimation of test systems proved the proposed algorithm have obvious better performance.

power system; state estimation; multi objective function pre-treatment; variable weight iterate; robust estimation

李 驍（1990-），男，國家電網(wǎng)電力科學研究院在讀碩士研究生，研究方向為電力系狀態(tài)估計。