陳昊，鐘守銘，康衛(wèi)

（1.淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北235000；2.電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731）

時變時滯區(qū)間神經網絡指數(shù)魯棒穩(wěn)定性改進的判別方法

陳昊1，2，鐘守銘2，康衛(wèi)2

（1.淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北235000；2.電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731）

文章研究具有時變時滯區(qū)間神經網絡系統(tǒng)的指數(shù)魯棒穩(wěn)定性.采用Halanay不等式、不動點理論及矩陣理論推導出指數(shù)魯棒穩(wěn)定性的一個改進的判別條件.該結果不同于以往線性矩陣不等式形式的條件，是通過計算矩陣的算子范數(shù)來判斷穩(wěn)定性的.

區(qū)間神經網絡；同胚映射；時變時滯；指數(shù)魯棒穩(wěn)定性

0 引言

自從神經網絡被提出以來，由于在聯(lián)想記憶、模式識別、信號處理、優(yōu)化求解、不動點計算等領域的廣泛應用，迅速受到國內外眾多學者的關注.然而在網絡的硬件實現(xiàn)中由于信號傳輸速度的有限性，使得系統(tǒng)不可避免地出現(xiàn)時間滯后現(xiàn)象.時滯的出現(xiàn)往往會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至產生震蕩現(xiàn)象、混沌現(xiàn)象，從而給神經網絡在實際應用中帶來諸多困難.所以，具有時滯神經網絡的穩(wěn)定性分析成為當前的一個研究熱點，并取得了很多有意義的成果［1-10］.

文獻［11］構造了新的Lyapunov泛函，得到了具有多時滯神經網絡魯棒穩(wěn)定性的一個判別條件.文獻［12］通過構造Lyapunov泛函并結合不等式分析技巧研究了時變時滯神經網絡的全局穩(wěn)定性的一個充分條件.文獻［13-14］通過構造Lyapunov泛函和非負矩陣理論推導了時變時滯神經網絡的全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定性條件.文獻［15］運用Lyapunov方法和H-矩陣理論進一步分析了時變時滯神經網絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性條件.由于區(qū)間神經網絡在實際應用中的重要性，對其穩(wěn)定性的研究受到眾多學者的重視.本文運用Lyapunov方法和不動點理論，得到了區(qū)間神經網絡指數(shù)魯棒穩(wěn)定性的一個新的充分條件.數(shù)值算例表明新結果的有效性.

1 預備工作

考慮如下的時滯神經網絡系統(tǒng)：

（1）式可改寫為如下向量形式：

其中，zi（t）是第i個神經元的狀態(tài)變量，C=diag（ci）≥0，A=（aij）n×n，B=（bij）n×n是連接權矩陣，f（z（t））=（f1（z1（t），f2（z2（t），…，fn（zn（t））T；f（z（t-τ（t））=（f1（z1（t-τ（t）），f2（z2（t-τ（t）），…，fn（zn（t-τ（t））T是神經元激勵函數(shù)；時滯τ（t）是連續(xù)的有界函數(shù)，滿足0≤τ（t）≤τ；u=（u1，u2，…，un）T為外部輸入.

連接權矩陣的取值滿足如下條件：

假設神經元激勵函數(shù)fi（z（t）是全局連續(xù)的，且滿足

下面的引理和定義對于本文主要結論的證明是非常有用的.

引理1［10-11］如果函數(shù)w（x）：Rn→Rn為連續(xù)函數(shù)，且滿足：

（1）w（x）為單射，即w（x）≠w（y），?x≠y；

（2）w（x）為滿射，即當‖‖x→+∞時，‖‖w（x）→+∞；則w（x）為Rn上的同胚映射.

引理2［13］（Halanay不等式）常數(shù)k1，k2滿足k1＞k2＞0，u（t）是［t0-τ，t0］上的非負連續(xù)函數(shù)，且當t≥t0時，滿足D+u（t）≤-k1u（t）+k2uˉ（t），其中為常數(shù).當 t≥t0時，則有，其中λ是方程λ=k1-k2eλt的唯一正根.

定義1［15］設C∈CI，A∈AI，B∈BI，如果系統(tǒng)（1）有唯一的不動點且存在常數(shù)

，則稱系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定的.其中φ（s）：［-τ，0］→Rn是連續(xù)函數(shù)，且是具有初始值zi（s）=φi（s），i=1，2，…，n的系統(tǒng)（1）的解.

本文中的記號：

1）對矩陣D=（dij）n×n，D≥0表示D為非負矩陣，即

分別表示矩陣D的算子1-范數(shù)、算子2-范數(shù)、算子∞-范數(shù)；矩陣D≤E，即dij≤eij，其中E=（eij）n×n.

2）對向量x=（x1，x2，…，xn）T，||x=（||x1，||x2，…，||xn）T；‖‖x2表示向量x的2-范數(shù).

2 主要結論

定理1若系統(tǒng)（1）或（2）滿足（3）式，且不等式：成立，則稱系統(tǒng)（1）或（2）是指數(shù)魯棒穩(wěn)定的.其中

證明分兩步證明.先證明不動點的唯一性.

根據(jù)系統(tǒng)（1）定義下面的映射H（x）=-Cx+Ag（x）+Bg（x）+I.先證明此映射是單射.對任意x，y∈Rn，x≠y，有：

（5）式兩邊乘以2（x-y）T得

對（6）式右端三項逐項分析

其中v1是任意常數(shù).令由（8）式可得

同樣地，

其中v2是任意常數(shù).令v2=n/‖‖S1，由（10）式可得

由于（9）式和（11）式同時成立，故

類似地分析（6）式右端第三項

其中v3是任意常數(shù).令由（13）式可得

其中v4是任意常數(shù).令v4=n/‖‖R1，由（15）式可得

由（14）和（16）式得

根據(jù)（7）（12）（17）式有

所以，當x≠y，Ω＞0時，

因此，x≠y，H（x）≠H（y）.故H（x）為單射.再證H（x）為滿射.在（18）式中，令y=0，有

（19）式兩邊取范數(shù)，

由于‖‖H（0）2有界，所以當‖‖x→+∞時，‖‖w（x）→+∞，因此H（x）為滿射.由引理1可知，H（x）為同胚映射.所以系統(tǒng)（1）有唯一的不動點z*.

再證明平衡點的指數(shù)魯棒穩(wěn)定性.對系統(tǒng)（1）做變量代換，令y（t）=z（t）-z*.

其中fj（yj（t）=gj（yj（t）+zj*）-gj（zj

*）.系統(tǒng)（21）滿足（4）式且有唯一不動點z*.

考慮如下Lyapunov泛函：

顯然V（y（t））正定且徑向無界.

求V（y（t）沿（21）式的軌道對時間t的導數(shù)：

根據(jù)式（7）（12）（17）式得

其中

當系統(tǒng)（1）的系數(shù)矩陣固定時，即C，A，B為常數(shù)矩陣時有如下推論成立.

推論1若系統(tǒng)（1）或（2）滿足（3）式，且不等式：

3 數(shù)值實例

例1設系統(tǒng)（1）的參數(shù)如下

易知文獻［5］中結論的條件不能滿足，所以不能適用本例穩(wěn)定性的判定.應用定理1，則所以系統(tǒng)（1）是指數(shù)魯棒穩(wěn)定的.

例2設系統(tǒng)（1）的參數(shù)如下

文獻［16-17］中的結論顯然不能滿足，故無法判斷本例的穩(wěn)定性.應用定理1，則因此，系統(tǒng)（1）是指數(shù)魯棒穩(wěn)定的.

對任意的初值，系統(tǒng)（1）都是指數(shù)魯棒穩(wěn)定的.為了更直觀地體現(xiàn)系統(tǒng)（1）的指數(shù)魯棒穩(wěn)定性，下面給出在時系統(tǒng)的狀態(tài)曲線.圖1是初始值為［5，2］時系統(tǒng)的狀態(tài)曲線，圖2是初始值為［8，-5］的狀態(tài)曲線.

圖1 初始值為［5，2］時系統(tǒng)（1）的狀態(tài)曲線

圖2 初始值為［8，-5］時系統(tǒng)（1）的狀態(tài)曲線

4 結束語

本文運用Lyapunov方法、不動點理論和非負矩陣理論，研究了一類具有時變時滯區(qū)間神經網絡指數(shù)魯棒穩(wěn)定性，得到了一個新的充分條件.新判據(jù)較文獻［10-15］有更廣的應用范圍.可以將本文的方法推廣到具有離散和分布時滯的區(qū)間神經網絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，有望得到其指數(shù)魯棒穩(wěn)定的新的判定條件.

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An Improved Criterion for Exponential Robust Stability of Interval Neural Networks with Time-varying Delays

CHEN Hao1，2，ZHONG Shouming2，KANG Wei2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China；
2.School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology，611731，Chengdu，Sichuan，China）

This paper investigates the exponential robust stability of interval neural networks with time-vary?ing delays.By employing the Halanay inequality，fixed point theory and matrix theory，an improved criterion for exponential robust stability is derived.The proposed result is different from the ones in the form of Linear inequalities（LMIs）.The stability is to be judged by calculating matrix norms.

interval neural networks；homeomorphism；time-varying delays；exponential robust stability

O 175.13

A

2095-0691（2016）03-0001-06

2016-04-05

安徽省高校省級自然科學研究重點項目（KJ2016A625）；安徽省高校省級自然科學研究重點項目（KJ2014A223）；安徽省自然科學基金項目（1508085MA14）；安徽省自然科學基金項目（1408085MA14）

陳昊（1982-），男，安徽濉溪人，副教授，博士生，研究方向為神經網絡穩(wěn)定性.