王立凱，郭瑜超，羅利龍

(中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

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大規(guī)模優(yōu)化設(shè)計(jì)在HAJIF系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)

王立凱，郭瑜超，羅利龍

(中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

針對(duì)分析模型精細(xì)化帶來(lái)的大規(guī)模變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，深入系統(tǒng)地研究了大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)求解理論，并在HAJIF(航空結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件系統(tǒng))中予以實(shí)現(xiàn)。HAJIF是一個(gè)十分有用的分析及優(yōu)化軟件，然而隨著工程問(wèn)題的日益龐大，該系統(tǒng)表現(xiàn)出設(shè)計(jì)規(guī)模受限的技術(shù)瓶頸，從而限制了它的廣泛應(yīng)用。本文通過(guò)一系列的理論改進(jìn)突破了HAJIF系統(tǒng)中的一些關(guān)鍵問(wèn)題，使得當(dāng)前系統(tǒng)可處理設(shè)計(jì)變量達(dá)到10萬(wàn)量級(jí)。這些方法包括約束刪除、約束區(qū)域化、變量處理、敏度分析等。

大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化；解析法；約束分區(qū)處理；數(shù)學(xué)規(guī)劃法

1 引 言

經(jīng)過(guò)幾十年的持續(xù)發(fā)展，大型飛機(jī)設(shè)計(jì)逐漸從粗放型設(shè)計(jì)向精細(xì)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換，早期限于分析工具的性能而被簡(jiǎn)化掉的很多結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)特征被引入到結(jié)構(gòu)分析模型中來(lái)，使得分析模型規(guī)模不斷增大，導(dǎo)致優(yōu)化模型規(guī)模呈爆炸式增長(zhǎng)。當(dāng)前，國(guó)際上對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量數(shù)目的需求已經(jīng)達(dá)到10萬(wàn)量級(jí)。大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化需要同時(shí)考慮規(guī)模和效率問(wèn)題?；诿舳刃畔⒌臄?shù)學(xué)規(guī)劃法具有收斂快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，在航空結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到廣泛應(yīng)用。

雖然數(shù)學(xué)規(guī)劃法本身的理論非常清晰，但將該理論用于工程軟件中便涉及到有限元技術(shù)、計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)及結(jié)構(gòu)強(qiáng)度理論等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的問(wèn)題。由于HAJIF系統(tǒng)具備完備的求解器、優(yōu)化器及算法庫(kù)，因此，大規(guī)模、多變量的工程問(wèn)題在當(dāng)前HAJIF的理論體系及軟件框架上進(jìn)行修改完善是比較現(xiàn)實(shí)有效的。課題組通過(guò)對(duì)多個(gè)方面的理論研究，提高了HAJIF系統(tǒng)對(duì)大規(guī)模、多變量問(wèn)題的解決能力。最后以HAJIF2013系統(tǒng)為基礎(chǔ)平臺(tái)開(kāi)發(fā)了大規(guī)模變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化模塊，并采用機(jī)翼細(xì)節(jié)模型進(jìn)行了算例驗(yàn)證。

2 HAJIF簡(jiǎn)介

HAJIF[1]是中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所自主研制推出的國(guó)內(nèi)航空界功能最為全面的大型CAE軟件系統(tǒng)。該系統(tǒng)以強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)為支撐，提供了飛行器結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度、動(dòng)強(qiáng)度、熱強(qiáng)度、氣動(dòng)彈性、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等基本求解功能，以及飛機(jī)結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)強(qiáng)度校核、耐久性等特色分析功能。在我國(guó)航空業(yè)發(fā)展的早期，HAJIF系列軟件發(fā)揮了重要作用，尤其是其優(yōu)化設(shè)計(jì)功能，在我國(guó)多個(gè)現(xiàn)役型號(hào)設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用。當(dāng)前，隨著計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的發(fā)展，飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中越來(lái)越多地采用細(xì)節(jié)模型，分析模型往往達(dá)到百萬(wàn)節(jié)點(diǎn)、設(shè)計(jì)變量達(dá)到數(shù)萬(wàn)量級(jí)。在對(duì)這類(lèi)采用精細(xì)有限元方法建立的模型進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，HAJIF系統(tǒng)顯示出優(yōu)化規(guī)模偏小的技術(shù)瓶頸。

3 大規(guī)模優(yōu)化策略研究

雖然數(shù)學(xué)規(guī)劃法本身的理論非常清晰，但將該理論用于工程軟件中，便涉及多個(gè)學(xué)科的問(wèn)題，如有限元技術(shù)、計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)及數(shù)值計(jì)算等。本研究通過(guò)對(duì)以下幾個(gè)方面的理論研究來(lái)提高HAJIF系統(tǒng)對(duì)大規(guī)模、多變量問(wèn)題的解決能力。

3.1 敏度計(jì)算[2]

結(jié)合靈敏度分析來(lái)確定優(yōu)化過(guò)程中設(shè)計(jì)點(diǎn)的移動(dòng)方向，通過(guò)結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)于各設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，用以確定最有效的結(jié)構(gòu)修改部位與量值，確保大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)取得成功。靈敏度分析的方法有解析法、半解析法和數(shù)值法。靈敏度分析計(jì)算過(guò)程是整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中最耗時(shí)的一個(gè)步驟，約占總用時(shí)的70%[3]。大規(guī)模設(shè)計(jì)問(wèn)題一般都有約束多的特點(diǎn)，而其中絕大部分約束是諸如位移、應(yīng)力、應(yīng)變等靜強(qiáng)度約束。本文對(duì)靜強(qiáng)度約束的敏度計(jì)算作如下推導(dǎo)：

靜強(qiáng)度約束導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：

(1)

(2)

直接法：

(3)

伴隨法(引入伴隨向量λ)：

kλ=z

(4)

λ類(lèi)似于在載荷向量z作用下的位移。伴隨法也稱為虛載荷法，因?yàn)槌０褄描述成一個(gè)虛載荷。直接法和虛載荷法的計(jì)算量主要取決于約束數(shù)和設(shè)計(jì)變量數(shù)。對(duì)于每一個(gè)設(shè)計(jì)變量，直接法需求解方程(1)一次，而虛載荷法求解方程(4)一次。因此，當(dāng)設(shè)計(jì)變量數(shù)遠(yuǎn)小于約束數(shù)時(shí)，直接法比虛載荷法[4]有效；設(shè)計(jì)變量數(shù)遠(yuǎn)多于約束數(shù)時(shí)，虛載荷法更有效。當(dāng)前，HAJIF系統(tǒng)采用的是直接法，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)中的靜強(qiáng)度約束導(dǎo)數(shù)[5-6]計(jì)算部分加入虛載荷法，由程序根據(jù)設(shè)計(jì)變量數(shù)與約束數(shù)的關(guān)系來(lái)選擇相應(yīng)的敏度計(jì)算流程，可極大地提高計(jì)算效率。

3.2 變量處理

大規(guī)模問(wèn)題的特點(diǎn)是變量多、約束多，解決大規(guī)模問(wèn)題首要的是提高對(duì)大規(guī)模設(shè)計(jì)變量的解決，采用新的變量處理技術(shù)來(lái)提高HAJIF系統(tǒng)對(duì)大規(guī)模設(shè)計(jì)變量的處理能力，本文采用以下兩種技術(shù)：

(1)變量耦合

HAJIF系統(tǒng)當(dāng)前主要采用不同設(shè)計(jì)區(qū)不同設(shè)計(jì)變量的方法，即設(shè)計(jì)變量之間是獨(dú)立的，沒(méi)有任何的耦合關(guān)系。而對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，必須采用大量的設(shè)計(jì)變量。在程序中通過(guò)引入變量連接技術(shù)，即利用少數(shù)的一些設(shè)計(jì)變量來(lái)控制一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，從而使設(shè)計(jì)過(guò)程中的變量數(shù)大量減少。圖1所示為一個(gè)懸臂板模型，理想的結(jié)構(gòu)方式中，每一個(gè)單元的厚度都是不同的。要做到這一點(diǎn)，如果按照常規(guī)的方法建立優(yōu)化模型，就必須采用按單元設(shè)計(jì)的方案，即每一個(gè)有限單元為一個(gè)設(shè)計(jì)變量。而引入了變量連接技術(shù)后，可以用極少的幾個(gè)變量來(lái)定義設(shè)計(jì)模型。

圖1 懸臂板模型

為減少設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，程序中引入了多項(xiàng)式變量耦合與自定義變量耦合兩種變量耦合方式。多項(xiàng)式變量耦合由輸入的優(yōu)化數(shù)據(jù)文件來(lái)確定設(shè)計(jì)變量的耦合形式，采用多項(xiàng)式變量耦合得到元素的特征尺寸。

自定義變量耦合由用戶根據(jù)工程實(shí)際定義變量到元素的耦合形式，例如，第l塊中變量耦合形式詳見(jiàn)下式：

(5)

(2)區(qū)分變量為主動(dòng)變量和被動(dòng)變量

根據(jù)靈敏度分析，預(yù)先估計(jì)變量的變化所導(dǎo)致的目標(biāo)函數(shù)的變化，從而在迭代過(guò)程中只對(duì)靈敏度高的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行分析，這將極大地提高求解效率，即臨時(shí)刪除不敏感的變量。具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程可采用如下步驟：首次迭代時(shí)，對(duì)所有的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行靈敏度分析，而在后續(xù)的幾次設(shè)計(jì)中，只對(duì)靈敏度高的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行調(diào)整，循環(huán)幾次后再對(duì)所有變量進(jìn)行一次靈敏度分析，對(duì)各變量的靈敏度大小重新排序，如此反復(fù)，直到迭代完成。在迭代過(guò)程中，主被動(dòng)元會(huì)起變化，常有交換，因此每次迭代都必須首先判斷和劃分主被動(dòng)元。

3.3 約束處理

大規(guī)模設(shè)計(jì)問(wèn)題必須對(duì)約束進(jìn)行必要的處理。對(duì)大規(guī)模的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)可利用無(wú)效約束刪除技術(shù)，在優(yōu)化過(guò)程中臨時(shí)刪除那些具有足夠可行性，又不太可能在設(shè)計(jì)變量做適度修改時(shí)變?yōu)榕R界約束的那些約束條件，以減少約束數(shù)，降低求解的規(guī)模[3]。一般地，約束有等式約束和不等式約束兩種，等式約束可采用下述形式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)不等式約束。例如gk(x)=0為一等式約束，則要求：

(6)

這兩個(gè)絕對(duì)值相等、符號(hào)相異的不等式約束將迫使gk(x)=0。但需注意的是，有些優(yōu)化算法將因此而失敗，原因是梯度矩陣會(huì)出現(xiàn)奇異。所以，在優(yōu)化系統(tǒng)中，一般只處理不等式約束。為使數(shù)值穩(wěn)定起見(jiàn)，結(jié)構(gòu)性狀約束均應(yīng)進(jìn)行范化，即無(wú)因次處理，取-1.0與0.0之間的值，以使各約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的改變有足夠的敏度。例如，如果應(yīng)力約束是-0.1，位移約束也是-0.1，那就意味著每種約束都在其容許值的10%之內(nèi)；如果不采用范化的話，應(yīng)力限是20,000，即只有當(dāng)應(yīng)力值是19,999.9時(shí)，該約束才是有效的。約束范化采用統(tǒng)一的形式：

對(duì)于結(jié)構(gòu)性狀的下限：

(7)

對(duì)于結(jié)構(gòu)性狀的上限：

(8)

通過(guò)對(duì)約束正則化公式(7)、(8)的分析可以看出，若某一約束gj(x)值為1.0，即意味著約束被大大地超出，而如果某一約束gj(x)的值為-0.5，即意味著它至臨界限還有一定的距離。根據(jù)有約束優(yōu)化的極值條件(Kuhn-Tucker條件)可知道，最佳設(shè)計(jì)必定位于約束邊界處，即約束臨界值處，因而對(duì)于此類(lèi)小于臨界值的約束條件，可以引入一個(gè)約束閥值(threshold)，在程序中默認(rèn)值為-0.5，每類(lèi)性狀約束可選擇不同大小的閥值，以重點(diǎn)突出重要的約束。當(dāng)某一約束gj(x)小于該閥值時(shí)，認(rèn)為其對(duì)當(dāng)前設(shè)計(jì)不起作用——無(wú)效約束，即約束必定得到滿足，從而在當(dāng)前設(shè)計(jì)過(guò)程中可以將其臨時(shí)刪除掉，而僅僅保留那些大于閥值的約束——有效約束，其過(guò)程如圖2所示。

圖2 約束刪除示意圖

通過(guò)約束刪除技術(shù)，可以一定程度地縮小約束的規(guī)模。對(duì)于大量存在的應(yīng)力約束，還可利用約束區(qū)域化的方法將約束數(shù)進(jìn)一步減少。例如機(jī)翼蒙皮部分，在分析中以一系列的殼單元模擬，從制造方面考慮其由幾個(gè)大塊組成，同一塊中的厚度是一樣的。在分析時(shí)，如果某一部分有幾個(gè)單元應(yīng)力過(guò)高，若將該部分加厚使得應(yīng)力最大的那一個(gè)單元得以滿足的話，則同一區(qū)域的其它元素也必定得到滿足。因此，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，在同一區(qū)中只保留約束最大的幾個(gè)約束，在HAJIF系統(tǒng)中默認(rèn)每一區(qū)只保留兩個(gè)應(yīng)力約束，通過(guò)約束刪除和區(qū)域化處理，可以將計(jì)算規(guī)模降低一到二個(gè)數(shù)量級(jí)，其過(guò)程如圖3所示。

圖3 約束刪除示意圖

嚴(yán)格來(lái)講，當(dāng)gj(x)≥0即認(rèn)為約束被違背，但在實(shí)際中，由于載荷、材料性能以及有限元方法本身對(duì)響應(yīng)計(jì)算的近似性等原因，約束不可能正好為0，因此，在程序中取一個(gè)很小的數(shù)來(lái)代替零值(默認(rèn)為0.003)，允許響應(yīng)值有0.3%的誤差量，即只有當(dāng)gj(x)>0.003時(shí)，認(rèn)為約束被違背。歸結(jié)起來(lái)，即在程序中以下面幾個(gè)公式來(lái)判定約束狀態(tài)：

(9)

4 程序組織

HAJIF系統(tǒng)中，各模塊的調(diào)用關(guān)系[7-9]較為復(fù)雜，總的關(guān)系如圖4所示。對(duì)HAJIF系統(tǒng)，要通過(guò)擴(kuò)大其對(duì)敏度計(jì)算效率、多變量及多約束的處理能力等多個(gè)方面來(lái)綜合提高系統(tǒng)對(duì)大規(guī)模問(wèn)題的求解能力，對(duì)HAJIF系統(tǒng)的改造不僅涉及各個(gè)功能模塊本身，而且涉及到對(duì)數(shù)據(jù)文件進(jìn)行統(tǒng)一的管理。

圖4 HAJIF系統(tǒng)優(yōu)化模塊的流程圖

5 算 例

圖5所示為全復(fù)合材料常規(guī)布局翼盒的精細(xì)化模型，沿展向布置27根肋，前后布置兩根大梁，共包含40862個(gè)單元，29542個(gè)節(jié)點(diǎn)。優(yōu)化模型以復(fù)合材料殼單元分層厚度和梁?jiǎn)卧慕孛婷娣e為設(shè)計(jì)變量，除根肋外，從翼根到翼稍每個(gè)梁肋交點(diǎn)處布置一個(gè)沿升力方向的位移約束來(lái)控制機(jī)翼各剖面的彎曲剛度，同一根肋的前后交點(diǎn)布置一個(gè)扭角約束來(lái)控制機(jī)翼各剖面的扭轉(zhuǎn)剛度，全模型共計(jì)設(shè)計(jì)變量115360個(gè)，位移和扭角約束共計(jì)78個(gè)，全結(jié)構(gòu)初始重量為2237.62kg。

圖5 精細(xì)化機(jī)翼盒段

采用本文方法，在具備300個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)的計(jì)算機(jī)集群上對(duì)上述優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，經(jīng)過(guò)9步迭代后優(yōu)化收斂，共用時(shí)約143min，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)重量為2038.47kg，在滿足約束的前提下實(shí)現(xiàn)減重199.15kg，占結(jié)構(gòu)初始重量的8.9%。重量迭代過(guò)程如圖6所示。

圖6 優(yōu)化重量迭代歷程

6 結(jié) 論

通過(guò)利用大規(guī)模優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算獲得的結(jié)果與以往變量數(shù)受限時(shí)采用的分級(jí)包絡(luò)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，在擴(kuò)大規(guī)模后的迭代趨勢(shì)與分級(jí)包絡(luò)設(shè)計(jì)趨勢(shì)完全一致且目標(biāo)函數(shù)值略有降低，證明現(xiàn)有HAJIF系統(tǒng)在處理多變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題上是有效的。通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，由于設(shè)計(jì)規(guī)模所限，在以往的計(jì)算中采用分步的設(shè)計(jì)方法，而在程序改造后則可一次完成設(shè)計(jì)，可見(jiàn)程序改造后保證了計(jì)算結(jié)果的正確性，提高了設(shè)計(jì)效率，并得到了更優(yōu)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。

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Realization of Large-scale Optimization Design in HAJIF System

Wang Likai, Guo Yuchao, Luo Lilong

(Aircraft Strength Research Institute of China, Xi′an 710065, Shaanxi, China)

The scale of the optimization problem becomes larger and larger because of the refined FE model. This paper focused on solving this difficulty by a serious of efforts. HAJIF is a very useful tool for structural analysis and optimization for aircraft structures. HAJIF new version overcomes some key techniques encountered with aircraft engineering and offers some very attractive features. It can solve an optimization problem in excess of 100,000 variables. In the new version of HAJIF system, many methods such as constraint regionalization and deletion techniques are used for solution of the large-scale optimization problems.

large-scale optimization; analytical method; constraint regionalization; mathematical programming

2016-09-11

王立凱(1976—)，男，碩士研究生，高級(jí)工程師，研究方向：飛機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及CAE軟件研發(fā)。

中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)創(chuàng)新基金(2013A62302R)；中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)創(chuàng)新基金(2014A62340)。

V214.1

B

10.3969/j.issn.1674-3407.2016.03.024