曾祥鑫，李　偉，郭繼峰，崔乃剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱150001）

撓性空間機(jī)械臂偽速率增量反饋控制

曾祥鑫，李偉，郭繼峰，崔乃剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱150001）

針對(duì)空間機(jī)械臂平臺(tái)中撓性機(jī)械臂與平臺(tái)的耦合情況，采用偽速率反饋控制方法對(duì)機(jī)械臂平臺(tái)的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，使機(jī)械臂平臺(tái)的姿態(tài)控制系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性、控制精度等性能，并采用描述函數(shù)法對(duì)所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

偽速率反饋控制；穩(wěn)定性；控制精度；描述函數(shù)

偽速率反饋控制器是一個(gè)脈沖調(diào)制器，其輸出脈沖的寬度和相鄰脈沖的間隔時(shí)間隨輸入信號(hào)（姿態(tài)角）而變化。由于其數(shù)學(xué)模型可近似用線性關(guān)系描述，因而這是一種準(zhǔn)線性噴氣控制器[1-2]。

偽速率脈沖調(diào)制噴氣控制方案是撓性飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)經(jīng)常用到的方案，并在許多衛(wèi)星上成功應(yīng)用[3]。國(guó)內(nèi)外很早就對(duì)如何提高控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行研究，例如我國(guó)的“東方紅三號(hào)”衛(wèi)星就是采用了偽速率脈沖調(diào)制噴氣控制方案。本文在原有的偽速率脈沖調(diào)制控制的基礎(chǔ)上，采用帶有角速度反饋控制，使控制系統(tǒng)具有更好的精度和穩(wěn)定性，而在分析這類非線性控制系統(tǒng)的方法中，描述函數(shù)法是較為有效的方法之一[4]。

在分析非線性系統(tǒng)時(shí)，描述函數(shù)作為一種古典的頻域方法，具有許多優(yōu)點(diǎn)，其基本思想是以線性“等價(jià)”來逼近非線性控制系統(tǒng)中的非線性部件，并應(yīng)用頻域方法來分析所得到的系統(tǒng)[5]。

1　系統(tǒng)描述

在保證系統(tǒng)基本性能的情況下，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，撓性航天器的單軸動(dòng)力學(xué)模型[6]：

式

（1）、（2）中：θ為機(jī)械臂姿態(tài)角向量；I為機(jī)械臂平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；D為剛性平臺(tái)與撓性機(jī)械臂之間的耦合矩陣；η為撓性機(jī)械臂振動(dòng)的模態(tài)向量；Tc為機(jī)械臂平臺(tái)的控制力矩；Td為平臺(tái)所受的干擾力矩；ζf為撓性機(jī)械臂阻尼系數(shù)矩陣；ωf為撓性機(jī)械臂固定—自由振動(dòng)頻率矩陣。

空間機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示[7]。控制器采用PD控制，脈沖調(diào)制器采用偽速率脈沖調(diào)制器（PSR），在此控制系統(tǒng)中，非線性環(huán)節(jié)只有偽速率脈沖調(diào)制器部分，其他環(huán)節(jié)都為線性環(huán)節(jié)。

圖1　機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of the manipulator platform attitude control system

2　設(shè)計(jì)方法

2.1非線性脈沖調(diào)制器設(shè)計(jì)

偽速率調(diào)制器是一種強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)[8-9]，見圖2，其閥值θD，滯寬hθD及KF、TF等參數(shù)的選擇直接影響系統(tǒng)的性能，一般取KF=1進(jìn)行設(shè)計(jì)，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火脈寬最小值是Pmin，有：

圖2　偽速率脈沖調(diào)制器Fig.2 Pseudo-rate pulse modulator

可根據(jù)控制系統(tǒng)要求精度設(shè)計(jì)θD和h，根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)特性中，單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)連續(xù)最短開機(jī)時(shí)間為Pmin，此時(shí)則由可知可求得參數(shù)TK。

2.2描述函數(shù)分析

如圖3所示，考慮非線性部分的幅值為A頻率為ω的正弦輸入，即。雖然非線性部分的輸出w(t)一般不是正弦的，但通常是周期的。如果非線性函數(shù) f(x)是單值的，那么輸出總是周期的，因?yàn)檩敵鍪?。利用傅里葉級(jí)數(shù)，周期函數(shù)w(t)可以展開為[10]：

圖3　非線性元件及其描述函數(shù)表示Fig.3 Nonlinear element and its describing function

傅里葉系數(shù)an和bn一般是A和ω的函數(shù)并且由下式確定：

由非線性系統(tǒng)限制條件可知，非線性環(huán)節(jié)的輸入和輸出是奇對(duì)稱的，可得到a0=0。由限制條件，只要考慮基波分量w1(t)，即：

式（8）意味著對(duì)應(yīng)于正弦輸入，輸出的基波分量是相同頻率的正弦函數(shù)。若用復(fù)數(shù)表示，這個(gè)正弦函數(shù)可以寫成w1(t)=Mej(ωt+φ)=(b1+ja1)ejωt。

類似于頻率響應(yīng)函數(shù)的概念（系統(tǒng)的正弦輸入和正弦輸出在頻域上的比），可將非線性部分的描述函數(shù)定義為用復(fù)數(shù)表示的輸出的基波分量和正弦輸入的比，即：

用描述函數(shù)表示系統(tǒng)的非線性元件后，當(dāng)存在正弦輸入時(shí)，非線性單元可看作頻率響應(yīng)函數(shù)為N(A,ω)的線性元素[11]，如圖3所示。因此，描述函數(shù)的概念可以看作頻率響應(yīng)函數(shù)的擴(kuò)展。對(duì)于頻率響應(yīng)函數(shù)為H(jω)的線性系統(tǒng)，容易證明其描述函數(shù)不依賴于輸入的增益。但是非線性部分的描述函數(shù)與線性系統(tǒng)的描述函數(shù)不同，它依賴于輸入的幅值A(chǔ)。因此，像圖3那樣表示非線性部分也稱為擬線性化[12]。

2.3帶有撓性機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

僅由線性角度反饋及偽速率脈沖調(diào)制器所構(gòu)成的噴氣控制系統(tǒng)的控制效果并不理想，進(jìn)而可采用比例加微分校正，這樣可以使噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)增加了一定的阻尼，使系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定性。

空間機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中比例系數(shù)為1。

圖4　采用偽速率脈沖調(diào)制器的單軸噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of uniaxial jet attitude control system using pseudo-rate pulse modulator

偽速率控制器是由一個(gè)斯密特觸發(fā)器和一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)通過負(fù)反饋方式連接實(shí)現(xiàn)的。控制器的輸出以脈沖方式工作，在tN時(shí)間段內(nèi)，脈沖輸出幅值為±1，在tF時(shí)間段內(nèi)無脈沖輸出，脈沖周期Tp=tN+tF。

圖5表示出了正脈沖情況的特性。

圖5　偽速率控制器的工作特性Fig.5 Operating characteristics of pseudo-rate controller

設(shè)慣性環(huán)節(jié)的輸出為θF(t)，它是偽速率控制器環(huán)節(jié)的輸出u(t)呈單調(diào)指數(shù)函數(shù)關(guān)系。設(shè)斯密特觸發(fā)器的輸入信號(hào)為ε(t)=θr(t)-θ(t)-E(t)。

3　控制系統(tǒng)分析與仿真

3.1控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

在考慮一階模態(tài)情況下，撓性機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)控制系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)框圖如圖6所示，其中，GN(s)為偽速率脈沖調(diào)制器的描述函數(shù)，可以證明，在緩變信號(hào)的作用下，偽速率脈沖調(diào)制可以近似為一個(gè)線性環(huán)節(jié)[12]，一般取KF=1，此時(shí)有

圖6　撓性機(jī)械臂平臺(tái)姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)框圖Fig.6 Block diagram of attitude control system for flexible manipulator

以俯仰通道為例分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，取俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Iz=130kg/m2，推力 F=10 N，力臂L=0.305 m ，則 力 矩 Tc=3.05 N?m ，TK=0.17，Kd=1.8，考慮一階模態(tài)時(shí) ξf=0.02，ωf=14.097，d=b/Iz，b=3.132 22，整理的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的特征方程為：

其勞思表如表1所示。表1中第1列系數(shù)計(jì)算值全都是正數(shù)，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

表1　勞斯表Tab.1 Routh table

特征方程的特征根為：

此時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）全都具有負(fù)實(shí)部，它們?nèi)糠植荚赱s]平面的左半部，故此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

開環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖7所示。

圖7　開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖Fig.7 Bode plot of the open-loop transfer function

3.2仿真分析

控制器參數(shù)：選擇繼電控制器的繼電死區(qū)θd=0.3°，斯密特觸發(fā)器滯環(huán)參數(shù)h=0.1，慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)TF=0.17 s，慣性環(huán)節(jié)放大系數(shù)KF=1°，角速度反饋系數(shù)Kd=1.2。

初始條件：分別給定初始俯仰角、初始偏航角和初始滾轉(zhuǎn)角為0°，初始俯仰角速度、初始偏航角速度和初始滾轉(zhuǎn)角速度為0(°)/s，在仿真開始時(shí)刻分別給定三通道5°的階躍指令信號(hào)。

仿真結(jié)果如圖8～12所示，其中前4階模態(tài)振型如圖9所示。

圖8　姿態(tài)角響應(yīng)曲線Fig.8 Curve of attitude angle response

圖9　模態(tài)坐標(biāo)變化曲線Fig.9 Curve of modal coordinates

圖10　俯仰通道相平面曲線Fig.10 Curve of pitch channel phase plane

圖11　偏航通道相平面曲線Fig.11 Curve of yaw channel phase plane

圖12　滾轉(zhuǎn)通道相平面曲線Fig.12 Curve of roll channel phase plane

由仿真結(jié)果可以看出，同時(shí)給定三通道控制指令時(shí)，機(jī)械臂平臺(tái)三通道都大約在5 s左右運(yùn)動(dòng)到達(dá)5°位置，并在7 s左右達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定誤差在0.3°以內(nèi)，三通道相平面曲線可以看出3個(gè)姿態(tài)角由初始狀態(tài)0°收斂到5°附近，俯仰角速度穩(wěn)定在0(°)/s附近，穩(wěn)定誤差達(dá)到預(yù)定范圍之內(nèi)。姿態(tài)控制都能較好的跟蹤指令信號(hào)并最終穩(wěn)定在精度范圍之內(nèi)，相平面曲線最終收斂到點(diǎn)(5,0)附近。

4　結(jié)論

對(duì)于帶有撓性機(jī)械臂的空間機(jī)械臂平臺(tái)噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)，采用帶有角速度反饋的偽速率反饋控制對(duì)平臺(tái)姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并采用描述函數(shù)方法對(duì)所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，并通過仿真分析可以看出控制系統(tǒng)穩(wěn)定誤差在0.3°以內(nèi)。

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Analysis of Pseudo-Rate Incremental Feedback Control for Flexible Space Manipulator

ZENG Xiangxin,LI Wei,GUO Jifeng,CUI Naigang
（Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China）

For the coupling of flexible manipulator and platform in the space manipulator platform,a pseudo-rate feedback control method was used to design and analyze the attitude control system of manipulator platform,as well satisfying its performance such as stability,control accuracy.And the describing function method was used to analyze the stability of the attitude control system.

pseudo-rate;stability;control accuracy;describing function

TP241

A

1673-1522（2016）01-0022-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.01.005

2015-08-23；

2015-12-15

曾祥鑫（1988-），男，博士生。