鞏向博,韓立國(guó),王升超

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130021)

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混合域高分辨率雙曲Radon變換及其在多次波壓制中的應(yīng)用

鞏向博,韓立國(guó),王升超

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130021)

提出了一種快速且分辨率較高的雙曲Radon變換方法。首先將地震道集數(shù)據(jù)沿時(shí)間軸進(jìn)行平方變換,時(shí)間平方與截距時(shí)間平方呈線性關(guān)系,使得正、反Radon變換算子在頻率域解耦;其次最優(yōu)化反演求解目標(biāo)函數(shù)時(shí),在時(shí)間域內(nèi)稀疏約束模型,而Radon變換算子在頻率域?qū)崿F(xiàn),即混合域方式提高Radon域內(nèi)分辨率;最后在反演計(jì)算過(guò)程中引入快速收縮迭代軟閾值算法(FISTA)對(duì)稀疏反演優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解,加快了反演收斂速度。模型和實(shí)際海上數(shù)據(jù)試算結(jié)果證明了混合域雙曲Radon變換方法的計(jì)算效率和分辨率都較高。

雙曲Radon變換;高分辨率;多次波壓制;稀疏約束;混合域

Radon變換利用各類地震波在運(yùn)動(dòng)學(xué)上的差異,將其從時(shí)間空間域變換到時(shí)間慢度域加以區(qū)分,已廣泛應(yīng)用于地震資料處理中,諸如:波場(chǎng)分離[1-4]、數(shù)據(jù)重建[5-7]、多次波壓制[8-11]、地震相關(guān)噪聲壓制[11-12]、平面波分解[13-14]、偏移成像[15]、面波提取[16]等。根據(jù)積分路徑不同,Radon變換可以分為線性Radon變換、拋物Radon變換、多項(xiàng)式Radon變換[17]、雙曲Radon變換、橢圓Radon變換、各向異性Radon變換[10]等。另外,根據(jù)時(shí)間(t)與截距時(shí)間(τ)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,Radon變換分為時(shí)不變Radon變換,如線性Radon變換、拋物Radon變換、多項(xiàng)式Radon變換等;或是時(shí)變Radon變換,如雙曲Radon變換、橢圓Radon變換等。時(shí)不變與時(shí)變Radon變換的計(jì)算區(qū)別在于能否用傅里葉內(nèi)核的Radon變換算子求解反問(wèn)題。時(shí)不變Radon變換可在頻率域求解,降低其反演計(jì)算時(shí)的算子矩陣維數(shù),并有顯式的矩陣運(yùn)算公式;而時(shí)變Radon變換只能在時(shí)間域求解,常因變換算子矩陣過(guò)大限制了其應(yīng)用。

沿著時(shí)間方向?qū)Φ卣饠?shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換,使得Radon算子在頻率域解耦,應(yīng)用最小平方反演方法重獲Radon變換的結(jié)果[18]。若要提高Radon域內(nèi)的分辨率,可采用迭代更新權(quán)系數(shù)矩陣的方法,將模型矩陣方差作為稀疏權(quán)加入到最小平方反演之中,即迭代重加權(quán)方法(IRLS),這也成為工業(yè)界廣泛使用的方法[19]。熊登等[8]和TRAD等[20]使用了l1-l2范數(shù)的聯(lián)合反演方法,以l2范數(shù)約束變換誤差,l1范數(shù)約束模型稀疏度作為正則性條件進(jìn)行反演,并提出了混合域Radon變換算法,即變換算子仍為頻率域算子,但稀疏權(quán)矩陣在時(shí)間域內(nèi)更新,這樣更好地提高了Radon域內(nèi)的稀疏度與分辨率。LU[21]和ZHANG等[22]也使用了混合域Radon變換,并應(yīng)用了迭代收縮的l1-l2范數(shù)聯(lián)合反演方法,相比于IRLS方法,有著更好的反演收斂速度。ABBAD等[23]基于奇異值分解技術(shù)提出了頻率域快速算法,即λ-f域Radon變換方法。近年來(lái),多位學(xué)者研究了λ-f域Radon變換方法的波場(chǎng)分離、數(shù)據(jù)重建及多次波的壓制[4,24-25]。

雙曲Radon變換等由于其時(shí)變性,變換算子只能是時(shí)間域內(nèi)的疊加算子。一般而言,時(shí)間域Radon變換計(jì)算量非常龐大,尤其是地震采樣點(diǎn)數(shù)較多的時(shí)候,以地震記錄道數(shù)為nx,樣點(diǎn)數(shù)為nt,斜率個(gè)數(shù)為np為例,其一次時(shí)間域變換就需要nt·nx·np次加法,若高分辨率算法則需要多次迭代,更增加了計(jì)算的復(fù)雜性。TRAD等[26]采用了預(yù)條件的共軛梯度算法,基于迭代重加權(quán)思想求解時(shí)間域的稀疏雙曲Radon變換;NG等[27]提出了一種新的時(shí)間域迭代Radon變換,首先累加最大能量的同相軸,然后反變換提取此同相軸,并在原數(shù)據(jù)中將其減去,依次迭代累加,能夠得到高分辨率的時(shí)間域結(jié)果;WANG等[28]基于迭代相減方法,發(fā)展了一種貪婪反演算法,強(qiáng)同相軸與海上實(shí)際數(shù)據(jù)多次波壓制結(jié)果都證明了這是一種穩(wěn)健的方法;HU等[29]利用降階近似法加速了時(shí)間域雙曲Radon變換的計(jì)算效率。但這些方法都無(wú)法解決隨著數(shù)據(jù)維數(shù)增加,雙曲Radon變換計(jì)算量大幅度增加的難題。

1　混合域高分辨率雙曲Radon變換

雙曲Radon變換可以定義為:

(1)

式中:τ為截距時(shí)間;p為慢度(速度倒數(shù));x為炮檢距;d(t,x)為道集數(shù)據(jù);m(τ,p)為Radon變換域內(nèi)數(shù)據(jù)。

若令t′=t2,則將原數(shù)據(jù)d(t,x)變換至d′(t′,x)域,同樣我們令τ′=τ2,將m(τ,p)進(jìn)行坐標(biāo)變換至m′(τ′,p),即原雙曲Radon變換公式可變?yōu)?

(2)

這樣沿著雙曲線進(jìn)行積分累加變?yōu)檠刂鴴佄锞€進(jìn)行積分累加,在新的d′(t′,x)和m′(τ′,p)坐標(biāo)域內(nèi),t′與τ′呈線性變化關(guān)系,因此公式(2)可以在頻率域求解。

我們定義S為時(shí)間軸平方算子;S-1為時(shí)間軸開方算子,則道集數(shù)據(jù)d(t,x)與Radon域數(shù)據(jù)m(τ,p)可分別有如下公式:

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

對(duì)(2)式沿時(shí)間方向進(jìn)行傅里葉變換,并應(yīng)用傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì),頻率域雙曲Radon變換就可以寫為如下的矩陣形式:

(4)

式中:m和d分別為離散數(shù)據(jù)與Radon域數(shù)據(jù)的矩陣形式;F為傅里葉正變換算子。定義LT為Radon變換頻率域伴隨算子:

(5)

因Radon變換的非正交性,我們建立最小平方意義下線性化反演誤差的目標(biāo)函數(shù),即雙曲Radon變換的頻率域l2范數(shù)條件的解為:

(6)

式中:F-1為傅里葉反變換算子;L為Radon變換頻率域正變換算子。

時(shí)間域內(nèi)稀疏約束可以很好地提高Radon域內(nèi)分辨率,我們把拉伸的時(shí)間軸道集數(shù)據(jù)作為稀疏條件進(jìn)行約束反演,仍采用傅里葉內(nèi)核的頻率域Radon正、反變換算子,對(duì)反演誤差取l2范數(shù),對(duì)稀疏約束模型取l1范數(shù),即求解線性反問(wèn)題的l1-l2混合范數(shù),建立如下的目標(biāo)函數(shù):

(7)

式中:λ為正則化參數(shù),是平衡反演誤差與模型稀疏化的折中參數(shù),其值越大,Radon域內(nèi)結(jié)果越稀疏。FISTA為求解線性優(yōu)化問(wèn)題提供了方便且快捷的解決方案,采用FISTA求解公式(7),可以提高反演的收斂速度和計(jì)算效率[33]。其中,初值為最小平方反演解,迭代更新公式如下:

(8a)

(8b)

t0=1

(8c)

當(dāng)k≥0時(shí),

(8d)

(8e)

(8f)

式中:k為當(dāng)前迭代次數(shù);soft為取軟閾值算子;α為利普希茨常數(shù),α≥max[eig(LTL)],其中max(A)為取向量A的最大值,eig(B)為取矩陣B的特征向量。經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代就可以獲得混合域高分辨率的Radon變換結(jié)果。需要注意的是,此時(shí)得到的高分辨率Radon域結(jié)果,其時(shí)間軸仍為原時(shí)間軸的平方,只需將得到的結(jié)果沿時(shí)間軸開方,就得到具有實(shí)際物理意義的高分辨率雙曲Radon變換結(jié)果:

(9)

類似推導(dǎo),頻率域雙曲Radon反變換公式為:

(10)

2　多次波壓制流程

相對(duì)于多次波來(lái)說(shuō),一次波有更大的正常時(shí)差差異,利用這些正常時(shí)差差異或者走時(shí)曲線曲率的不同,我們可以使用Radon變換來(lái)壓制多次波,其步驟如下。

1) 將原道集數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間軸平方變換。

4) 達(dá)到最大迭代次數(shù)后,將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行時(shí)間軸開方變換,得到雙曲Radon域內(nèi)結(jié)果。

5) 在Radon域內(nèi)根據(jù)時(shí)差差異設(shè)置切除線,切掉多次波的能量。

6) 將切除后的Radon域數(shù)據(jù)定義為mp,將其進(jìn)行時(shí)間軸平方變換。

7) 進(jìn)行雙曲Radon反變換計(jì)算。

8) 進(jìn)行時(shí)間軸開方運(yùn)算,輸出壓制多次波的道集結(jié)果。

圖1　高分辨率雙曲Radon變換壓制多次波流程

3　效果分析

3.1模型算例

我們采用雙曲同相軸來(lái)驗(yàn)證本文方法的正確性(圖2)。設(shè)計(jì)了如圖2a所示的8個(gè)截距時(shí)間不同、曲率也不同的雙曲同相軸,道集數(shù)據(jù)的采樣率為4ms,500個(gè)采樣點(diǎn),由50道組成,偏移距為0～2000m,道間距40m;圖2b為Radon正變換的理想結(jié)果;沿時(shí)間軸進(jìn)行平方變換,道集中小于1s的同相軸被壓縮,大于1s的同相軸被拉伸,且原雙曲同相軸變?yōu)閽佄锿噍S,時(shí)間軸位置也相應(yīng)發(fā)生變化(圖2c)。

將道集數(shù)據(jù)按照稀疏約束的混合域高分辨率算法進(jìn)行Radon正變換,得到圖2d所示結(jié)果。再沿截距時(shí)間進(jìn)行開方變換,得到高分辨率雙曲Ra-don域結(jié)果(圖2e)。圖2f是時(shí)間域高分辨率雙曲Radon變換結(jié)果,因頻率域非解耦,TRAD等采用預(yù)條件共軛梯度法求解混合范數(shù)反演,即在時(shí)間域內(nèi)將稀疏m作為預(yù)條件正則化因子,加入到共軛梯度反演過(guò)程中[28]。其本質(zhì)是時(shí)間域疊加計(jì)算,計(jì)算量受模型空間影響較大,當(dāng)?shù)兰x散樣點(diǎn)數(shù)較大時(shí),計(jì)算效率會(huì)很低。在Intel CPU主頻1.9GHz電腦運(yùn)行,本文方法整個(gè)過(guò)程需要計(jì)算的時(shí)間為2.3s,而TRAD方法的計(jì)算時(shí)間為8.6s。相對(duì)于傳統(tǒng)時(shí)間域計(jì)算結(jié)果(圖2f),本文方法的結(jié)果(圖2e)分辨率更高,且其計(jì)算效率也更高。

圖2　模型數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果a 模型數(shù)據(jù); b 理想Radon變換結(jié)果; c 沿時(shí)間軸進(jìn)行平方變換結(jié)果; d 傅里葉內(nèi)核的稀疏約束混合域Radon變換結(jié)果; e 高分辨率雙曲Radon變換結(jié)果; f 時(shí)間域稀疏約束Radon變換結(jié)果

3.2海上實(shí)際數(shù)據(jù)算例

圖3a為海上某長(zhǎng)偏移距CMP道集數(shù)據(jù),偏移距道數(shù)為76道,采樣率2ms,最大偏移距8km,

時(shí)間樣點(diǎn)數(shù)為4500,最大采集時(shí)間9s。由于海水較深,海底一次反射在2800ms處,而多次波出現(xiàn)在5s以下。采用本文方法進(jìn)行高分辨率雙曲Radon變換。首先按照一次波速度對(duì)CMP道集進(jìn)行動(dòng)校正,一次波被拉平,而多次波由于欠校正仍有剩余時(shí)差,通過(guò)動(dòng)校正減小正常時(shí)差,以降低Radon變換壓制多次波出現(xiàn)假頻的概率。圖3b是CMP道集一次波速度動(dòng)校正的結(jié)果。按照本文方法進(jìn)行高分辨率的雙曲Radon變換,其Radon域內(nèi)結(jié)果如圖3c所示,圖3c中5s以下的多次波已經(jīng)與深層反射分離,一次波視速度較大,其分布在p值較小的范圍內(nèi),而多次波視速度小,分布在p值較大的范圍內(nèi)。圖3d為采用時(shí)間域高分辨率Radon變換方法得到的Radon域數(shù)據(jù),對(duì)比圖3c

圖3　實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果a CMP道集數(shù)據(jù); b 一次波速度動(dòng)校正之后的CMP道集; c 傅里葉內(nèi)核的稀疏約束混合域雙曲Radon變換結(jié)果及切除線設(shè)置; d 時(shí)間域雙曲Radon變換結(jié)果; e 切除多次波能量后反Radon變換的動(dòng)校正CMP道集; f 多次波衰減后的CMP道集; h 衰減掉的多次波數(shù)據(jù)

和圖3d中2～5s的能量可見,圖3c收斂效果更好。設(shè)置圖3c中所示的切除線,將多次波的能量進(jìn)行切除,反Radon變換之后就得到壓制多次波后的動(dòng)校正道集數(shù)據(jù)(圖3e)。再按照一次波的速度進(jìn)行反動(dòng)校正,就恢復(fù)了原CMP道集中的一次波數(shù)據(jù)(圖3f),衰減掉的多次波數(shù)據(jù)如圖3g所示。

此算例在Intel CPU主頻1.9GHz電腦運(yùn)行,整個(gè)過(guò)程耗時(shí)8.9s。而采用TRAD等的方法,即時(shí)間域高分辨率Radon變換[28],計(jì)算過(guò)程需要195.8s。圖4a和圖4b分別為CMP道集壓制多次波前、后的速度譜。從速度譜中也可以明顯地看出,時(shí)間在5～9s,疊加速度在1.5～2.0km/s的多次波能量已經(jīng)得到壓制,在圖4b出現(xiàn)了疊加速度超過(guò)3km/s的一次波能量團(tuán)。

圖4　CMP道集壓制多次波前(a)、后(b)速度譜

4　討論

沿時(shí)間軸進(jìn)行平方變換的道集數(shù)據(jù),其雙曲走時(shí)曲線變?yōu)閽佄镒邥r(shí)曲線,地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律發(fā)生了變化。對(duì)于小于1s的同相軸其剩余時(shí)差會(huì)減小,而對(duì)于大于1s的同相軸其剩余時(shí)差會(huì)增大,導(dǎo)致易出現(xiàn)假頻現(xiàn)象。即對(duì)于深層反射的多次波增加了變換的難度。這種情況下我們可以選取在一次波和多次波速度之間的動(dòng)校正速度,經(jīng)動(dòng)校正后,一次波過(guò)校正而多次波校正不足,其剩余時(shí)差的絕對(duì)值降低。

時(shí)間軸平方變換與開方變換在離散情況下存在誤差,應(yīng)用余弦變換可以抵消深層反射在拉伸時(shí)間軸上的畸變。我們分別采用理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了時(shí)間軸平方與開方變換的效果,定義振幅誤差為:

(11)

其中,sum為求和運(yùn)算符。采用公式(11)計(jì)算得到理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)的振幅誤差分別為:e1=0.0283,e2=0.0226。我們發(fā)現(xiàn)振幅的誤差主要表現(xiàn)在高頻部分,低通濾波后的數(shù)據(jù)再進(jìn)行S和S-1變換,也能降低振幅誤差e。也可以采取小波變換插值的S和S-1變換降低誤差,但會(huì)增加計(jì)算量。另外,因?yàn)镽adon變換本身就是非正交變換,其正、反變換帶來(lái)的誤差也會(huì)累加到最終計(jì)算結(jié)果中。

5　結(jié)論

我們提出了一種混合域高分辨率雙曲Radon變換方法,該方法分別對(duì)時(shí)間坐標(biāo)軸與截距時(shí)間坐標(biāo)軸進(jìn)行平方變換,在變換后的拉伸時(shí)間坐標(biāo)軸條件下,Radon變換算子在頻率域解耦。因此,我們可以采用傅里葉內(nèi)核的頻率域Radon正、反變換算子進(jìn)行數(shù)據(jù)變換,并在時(shí)間域內(nèi)稀疏約束反演變換域空間,從而提高了Radon域內(nèi)數(shù)據(jù)的分辨率。采用FISTA提高線性反演的收斂速度。模型數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)試算結(jié)果證明了本文方法既保持了雙曲Radon變換的高分辨率,又有較高的計(jì)算效率。本文方法也同樣適用于其它時(shí)變Radon變換方法。

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(編輯：陳杰)

High-resolution hyperbolic Radon transform and its application in multiple suppression

GONG Xiangbo,HAN Liguo,WANG Shengchao

(CollegeofGeo-ExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130021,China)

We propose a fast and high-resolution hyperbolic Radon transform method.Firstly,the square transform is implemented on the seismic gather data along the time axis.Since the time square (t2) and intercept time square (τ2) has a linear relationship,the decoupling can be implemented for forward and inverse Radon transform algorithm in the frequency domain.Secondly,the sparse inverse problem is solved in the time domain and the Radon transforms are implemented in the frequency domain,so that the resolution of Radon transform is improved in the mixed frequency-time domain.Thirdly,based on the fast iterative shrinkage-thresholding algorithm (FISTA),the sparse inversion can be accelerated.Synthetic and real offshore seismic data testing shows that the new hyperbolic Radon transform is robust and effective.

hyperbolic Radon transform,high-resolution,multiple suppression,sparse constraint,mixed domain

2016-01-04;改回日期：2016-06-22。

鞏向博(1981—),男,博士,副教授,主要從事勘探地震數(shù)據(jù)處理方法研究。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41674119)和國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)(2014AA06A605)聯(lián)合資助。

P631

A

1000-1441(2016)05-0711-08

10.3969/j.issn.1000-1441.2016.05.010

This research is financially supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No.41674119) and the National High-tech R&D Program (863 Program) (Grant No.2014AA06A605).