化世榜,印興耀,宗兆云,張佳佳

(中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580)

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一種改進(jìn)的泥質(zhì)砂巖巖石物理模型

化世榜,印興耀,宗兆云,張佳佳

(中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580)

巖石物理模型的構(gòu)建有助于認(rèn)識(shí)地下含油氣儲(chǔ)層特征及流體分布規(guī)律。在前人對(duì)干巖石體積模量與剪切模量比和孔隙度關(guān)系研究的基礎(chǔ)上,結(jié)合Kuster & Toks?z (K-T)方程和微分等效介質(zhì)理論(DEM),推導(dǎo)出一個(gè)新的巖石物理模型。該模型避免了微分等效介質(zhì)方程的迭代計(jì)算,簡化了干巖石彈性模量的求解。數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果表明,新模型可以有效估算泥質(zhì)砂巖的彈性參數(shù)。將新模型應(yīng)用于實(shí)際井?dāng)?shù)據(jù),取得了良好的效果。

巖石物理模型;干巖石模量比;K-T方程;DEM理論;彈性參數(shù)

含流體儲(chǔ)層地震巖石物理是建立儲(chǔ)層物性參數(shù)與彈性參數(shù)之間關(guān)系的紐帶,可以用來指導(dǎo)地震流體識(shí)別,同時(shí)也是定量表征含油氣儲(chǔ)層流體的重要理論基礎(chǔ)[1-3]。巖石物理模型的構(gòu)建有助于計(jì)算地下儲(chǔ)層巖石的彈性參數(shù),提高巖石物性參數(shù)的反演精度,進(jìn)而更好地了解地下含油氣儲(chǔ)層特征及流體分布規(guī)律,在儲(chǔ)層巖性、物性分析以及流體識(shí)別分析中發(fā)揮著重要的作用[4-14]。

在巖石物理模型構(gòu)建中,等效介質(zhì)理論(如Kuster & Toks?z(K-T)方程、微分等效介質(zhì)理論等)是計(jì)算干巖石骨架等效彈性模量的重要方法。微分等效介質(zhì)理論(DEM)[15]可以模擬雙相混合物的影響,由于其微分介質(zhì)方程是耦合的,一般通過迭代計(jì)算數(shù)值求解得到干巖石骨架等效彈性模量,許多學(xué)者從不同的角度探討了其解析解[16-20]。KUSTER等[21]從波散射理論出發(fā),考慮包裹體體積分?jǐn)?shù)、彈性性質(zhì)以及形狀的影響,確定了巖石的等效彈性模量,可以模擬多重孔隙的影響,但忽略了孔隙之間的相互作用。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,HAN等[22]指出泥質(zhì)砂巖的速度對(duì)孔隙度和泥質(zhì)含量敏感。XU等[23]考慮了孔隙度與泥質(zhì)含量的影響,結(jié)合表征孔隙形狀的砂巖與泥巖孔隙縱橫比,提出了一種適用于估算泥質(zhì)砂巖縱、橫波速度的巖石物理模型,即Xu-White模型。Xu-White模型利用K-T方程[21]與微分等效介質(zhì)理論[15]通過迭代求解計(jì)算干巖石的等效彈性模量,結(jié)合Gassmann方程[24]估算縱、橫波速度。KEYS等[19]假設(shè)干巖石的泊松比為常數(shù),在Xu-White模型的基礎(chǔ)上得到了干巖石彈性模量的解析表達(dá)式,稱為干巖近似,提高了計(jì)算效率,但其給出的干巖石等效彈性模量表達(dá)式計(jì)算得到干巖石泊松比是隨孔隙度變化的,并不是常數(shù)。

從干巖石體積模量與剪切模量比和孔隙度的關(guān)系出發(fā),結(jié)合K-T方程和微分等效介質(zhì)理論,推導(dǎo)得到一個(gè)新的巖石物理模型。該模型避免了微分等效介質(zhì)方程的迭代計(jì)算,簡化了K-T方程的求解過程。利用數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)新模型的可行性與合理性進(jìn)行了測(cè)試。應(yīng)用結(jié)果表明,新模型可以有效地估算泥質(zhì)砂巖巖石的縱、橫波速度。

1　巖石物理模型的構(gòu)建

以測(cè)井、實(shí)驗(yàn)分析資料為基礎(chǔ),已知泥質(zhì)砂巖的礦物組成與體積含量,利用Voigt-Reuss-Hill(VRH)[25]平均計(jì)算巖石基質(zhì)的體積模量或剪切模量：

(1)

(2)

式中：MVRH為巖石基質(zhì)的體積模量或剪切模量;MV,MR分別為Voigt上限和Reuss下限;fi和Mi分別為第i種組成成分的體積分?jǐn)?shù)和體積(剪切)模量。

考慮泥質(zhì)砂巖中孔隙的影響,根據(jù)XU等[23],將孔隙空間劃分為孔隙縱橫比較大的砂巖孔隙和孔隙縱橫比較小的泥巖孔隙：

(3)

式中：φ表示總孔隙度;φs是砂巖孔隙度;φc是泥巖孔隙度。

利用K-T方程計(jì)算干巖石骨架的體積模量或剪切模量：

(4)

(5)

其中,

(6)

式中：Kd,Km和K′分別為干巖石骨架、巖石基質(zhì)與孔隙包含物的體積模量;μd,μm和μ′分別為相應(yīng)的剪切模量(對(duì)于干巖石,K′=μ′=0);αs和αc為砂巖孔隙與泥巖孔隙的孔隙縱橫比;Tijij(α),Tiijj(α)和F(α)為孔隙縱橫比α的函數(shù)[25]。

K-T方程要求φ/α?1,砂巖孔隙與泥巖孔隙縱橫比的典型值分別為0.120和0.035,因此,K-T方程僅僅對(duì)低孔隙度適用。XU等[23]將微分等效介質(zhì)方法應(yīng)用到K-T方程中,逐漸增大巖石的孔隙度,使其滿足K-T方程的要求。BERRYMAN[26-27]指出當(dāng)增大的孔隙度趨于0時(shí),方程(4)和方程(5)收斂于：

(7)

(8)

式中：K和μ分別是孔隙度為φ時(shí)的體積模量與剪切模量;υs和υc分別為砂和泥占巖石基質(zhì)的體積分?jǐn)?shù),與砂巖孔隙度、泥巖孔隙度有關(guān)。

極化因子P和Q通過標(biāo)量A,B和R依賴于K,μ,因此方程(7)和方程(8)是耦合的非線性微分方程,其解要經(jīng)過迭代過程數(shù)值計(jì)算得到。標(biāo)量A,B和R的表達(dá)式為：

(9)

對(duì)于干巖石,有K′=μ′=0,則A=-1,B=0。

根據(jù)LI等[28],干巖石模量比與孔隙度的關(guān)系為：

(10)

式中：a,b分別為截距和梯度,滿足P-Q=a+bKd/μd。在φ=0處對(duì)(10)式進(jìn)行泰勒展開,取其一階近似,有：

(11)

式中：m=-(Km/μm)[a+b(Km/μm)]為(10)式在φ=0處泰勒展開式的一階系數(shù),與孔隙形狀和巖石基質(zhì)模量比有關(guān);n=Km/μm;φ為孔隙度。以石

英作為巖石基質(zhì),體積模量為37GPa,剪切模量為45GPa,計(jì)算不同孔隙度與孔隙縱橫比下干巖石模量比及其一階近似值,如表1所示。孔隙縱橫比較大時(shí),干巖石模量比與其近似值在較大孔隙度范圍內(nèi)吻合良好;孔隙縱橫比較小時(shí),其吻合程度在較小孔隙度范圍內(nèi)較好。對(duì)于實(shí)際地層來說,對(duì)(11)式取一階近似可以比較合理地描述干巖石模量比與孔隙度的關(guān)系。

表1　不同孔隙度(φ)與孔隙縱橫比(α)下干巖石模量比及其一階近似值

(12)

(13)

將(11)式代入極化因子P和Q的表達(dá)式,經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算(見附錄A),可以得到極化因子P和Q近似表示式：

(14)

(15)

將方程(14)和方程(15)分別代入方程(12)和方程(13)中,由于極化因子P,Q與Kd,μd無關(guān),經(jīng)過積分求解可以得到干巖石體積模量與剪切模量：

(16)

(17)

式中：P0,P1,Q0,Q1為與孔隙度、孔隙縱橫比有關(guān)的系數(shù)。當(dāng)m=0時(shí),P1=0,Q1=0,此時(shí)得到的干巖石等效體積模量與剪切模量分別為K(φ)=Km·(1-φ)P0,μ(φ)=μm(1-φ)Q0。當(dāng)m=0時(shí),干巖石模量比不隨孔隙度變化,即干巖石泊松比不隨孔隙度變化,此時(shí)得到的干巖石等效體積模量與剪切模量和KEYS等[19]給出的干巖石體積模量與剪切模量表達(dá)式一致。

得到干巖石骨架彈性模量后,通過Gassmann方程[24]可以計(jì)算飽和巖石體積模量與剪切模量：

(18)

(19)

2　數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

2.1數(shù)值模擬分析

首先以石英作為巖石基質(zhì),假設(shè)包含物為兩種不同形狀的孔隙,比較分析微分等效方程數(shù)值解與本文導(dǎo)出的解析解?；|(zhì)石英的體積模量與剪切模量取為37GPa,44GPa,兩種孔隙的縱橫比設(shè)為0.12,0.01。縱橫比為0.01的孔隙體積分?jǐn)?shù)分別為10%,20%和40%,分析其對(duì)巖石等效彈性模量的影響。微分等效方程(12)和方程(13)數(shù)值解采用四階龍格-庫塔法計(jì)算得到。數(shù)值模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1中,點(diǎn)線表示微分等效方程數(shù)值解,實(shí)線表示由本文導(dǎo)出的新模型計(jì)算的解析結(jié)果。模擬結(jié)果顯示,對(duì)于干巖石體積模量和剪切模量,在3種不同孔隙體積分?jǐn)?shù)情況下,本文導(dǎo)出的解析解與微分方程的數(shù)值解基本吻合,干巖石的等效彈性模量隨著低縱橫比孔隙的體積分?jǐn)?shù)增大而減小。

在上述巖石基質(zhì)條件下,假設(shè)包含物為單一形狀的孔隙,比較本文導(dǎo)出的巖石物理模型與常規(guī)Xu-White模型的精度,模擬結(jié)果如圖2所示。不同孔隙縱橫比下,本文模型估算的縱、橫波速度與Xu-White模型計(jì)算結(jié)果吻合良好。

網(wǎng)紅經(jīng)濟(jì)主體博弈與網(wǎng)紅市場(chǎng)規(guī)范管理 …………………………………………………………………… 李元華 方 蘭（4/14）

圖1　不同孔隙體積分?jǐn)?shù)下體積模量(a)和剪切模量(b)的數(shù)值解與解析解結(jié)果對(duì)比

2.2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

利用HAN等[22]在有效壓力40MPa下測(cè)量的干燥巖石數(shù)據(jù)來分析新的巖石物理模型在速度估算方面的應(yīng)用效果。砂巖樣品的孔隙度為5%～30%,粘土含量為0～50%。分析過程中,石英礦物的剪切模量和體積模量分別為40GPa和44GPa,粘土礦物的剪切模量和體積模量分別為7GPa和21GPa。采用Voigt-Reuss-Hill平均方法計(jì)算泥質(zhì)砂巖巖石基質(zhì)的體積模量與剪切模量[25]。圖3顯示了計(jì)算的縱、橫波速度與實(shí)測(cè)縱、橫波速度的相對(duì)誤差分布。從圖3可以看到,縱、橫波速度相對(duì)誤差都在20%以內(nèi),且集中分布在0附近,說明新得到的巖石物理模型可以有效地計(jì)算泥質(zhì)砂巖的縱、橫波速度。

圖2　不同孔隙縱橫比下常規(guī)Xu-White模型(實(shí)線)與本文新模型(紅色星號(hào)線)預(yù)測(cè)的縱(a)、橫(b)波速度

3　實(shí)際應(yīng)用效果分析

利用新的巖石物理模型對(duì)某口常規(guī)砂泥巖井資料進(jìn)行橫波速度估算。在已知的測(cè)井資料與實(shí)驗(yàn)室測(cè)量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上,利用新得到的巖石物理模型計(jì)算干巖石骨架彈性模量,通過Gassmann方程進(jìn)行流體替換得到飽和巖石彈性模量,進(jìn)而計(jì)算縱、橫波速度。在計(jì)算過程中,砂巖的體積模量與剪切模量分別為Ks=37GPa,μs=44GPa,泥巖的體積模量與剪切模量分別為Ksh=21GPa,μsh=7GPa,孔隙度(φ)、泥質(zhì)含量(Vsh)與含水飽和度(Sw)等物性參數(shù)由測(cè)井曲線給出(圖4)。與實(shí)測(cè)縱波速度進(jìn)行對(duì)比,利用模擬退火算法調(diào)整輸入?yún)?shù),迭代計(jì)算,優(yōu)化孔隙度,最終得到橫波速度。

圖4　孔隙度、密度與泥質(zhì)含量測(cè)井曲線

橫波速度估算流程如圖5所示,主要計(jì)算步驟如下。

1) 給定初始孔隙度φ。

3) 由新推導(dǎo)的巖石物理模型計(jì)算干巖石骨架彈性模量,通過Gassmann流體替換計(jì)算飽和巖石彈性模量。

4) 計(jì)算縱波速度vPcal(Ks,μs,Ksh,μsh,φ,Vsh,Sw),與實(shí)際測(cè)井縱波速度vPmea建立迭代格式,即:|vPcal(Ks,μs,Ksh,μsh,φ,Vsh,Sw)-vPmea|<ε,ε為一極小的常數(shù);利用模擬退火算法逐漸修正孔隙度尋找最優(yōu)解,反演得到最優(yōu)孔隙度。

圖5　橫波速度估算流程

5) 利用反演的孔隙度,通過步驟2)和步驟3)計(jì)算橫波速度。

橫波速度估算結(jié)果如圖6所示,圖中藍(lán)色曲線為測(cè)井得到的縱、橫波速度,紅色曲線為新模型估算得到的縱、橫波速度。由圖6可見,估算的橫波速度與實(shí)測(cè)的橫波速度吻合較好,兩者的變化趨勢(shì)基本一致,橫波速度相對(duì)誤差基本在5%以內(nèi),表明新得到的巖石物理模型比較合理。

圖6　實(shí)測(cè)縱、橫波速度(藍(lán)色曲線)與預(yù)測(cè)縱、橫波速度(紅色曲線)及其相對(duì)誤差

4　認(rèn)識(shí)與結(jié)論

通過對(duì)干巖石模量比與孔隙度關(guān)系的近似簡化,得到極化因子與孔隙度的線性關(guān)系,結(jié)合Kuster & Toks?z方程和微分等效介質(zhì)理論,推導(dǎo)得到一個(gè)新的巖石物理模型。該方法避免了微分等效介質(zhì)方法的迭代計(jì)算,簡化了K-T方程的求解過程,因此可以提高計(jì)算效率,但要求孔隙滿足稀疏分布條件。該模型綜合考慮了泥質(zhì)砂巖中礦物基質(zhì)、孔隙度、孔隙縱橫比與泥質(zhì)含量對(duì)干巖石彈性模量的影響,且與包含物添加的順序無關(guān)。數(shù)值模擬分析結(jié)果表明,新的巖石物理模型可以較準(zhǔn)確地計(jì)算干巖石骨架的彈性模量。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與實(shí)際資料應(yīng)用結(jié)果表明,該模型可以較好地估算泥質(zhì)砂巖的縱、橫波速度。

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附錄A極化因子近似表達(dá)式的推導(dǎo)

根據(jù)BERRYMAN[27],極化因子P和Q的表達(dá)式為：

(A1)

干巖石模量比與孔隙度之間的線性關(guān)系表示為：

(A2)

式中:φ為孔隙度。

極化因子P和Q對(duì)孔隙度φ的一階導(dǎo)數(shù)為：

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

式中：R為干巖石模量比的函數(shù);R′為其對(duì)孔隙度的一階導(dǎo)數(shù);f和θ為孔隙縱橫比α的函數(shù)表達(dá)式。

(A14)

(A15)

式中：x′為干巖石模量比對(duì)孔隙度的一階導(dǎo)數(shù)。

在φ=0處對(duì)極化因子P和Q取泰勒一階近似,最后得到：

(A16)

式中：P0,Q0分別為φ=0時(shí)的極化因子值;P1,Q1分別對(duì)應(yīng)于其一階導(dǎo)數(shù)值。

(編輯：顧石慶)

An improved rock physics model for shale sandstone

HUA Shibang,YIN Xingyao,ZONG Zhaoyun,ZHANG Jiajia

(SchoolofGeosciences,ChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China)

The construction of rock physics model contributes to understanding the characteristics and fluid distribution regularities of hydrocarbon reservoirs.Based on previous study of the relationship between dry rock modulus ratio (bulk modulus/shear modulus) and porosity,a new rock physics model is derived combined with the Kuster & Toks?z (K-T) formula and differential effective medium (DEM) theory.The model avoids the iterative of differential effective medium equations,with simplifying the solution of dry rock elastic modulus and improving the computational efficiency.Based on the test results of numerical simulation and experimental data,the new model can effectively estimate the elastic parameters of shale sandstone.We apply the new model to actual well data and get good application results.

rock physics model,dry rock modulus ratio,K-T equations,DEM theory,elastic parameter

2015-09-08;改回日期：2015-12-12。

化世榜(1989—),男,碩士在讀,研究方向?yàn)榈厍蛭锢硖綔y(cè)方法與技術(shù)。

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2013CB228604)、中國博士后科學(xué)基金(2014M550379)、山東省博士后創(chuàng)新基金(2014BSE28009)、國家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05009)及國家自然科學(xué)基金(41204085)聯(lián)合資助。

P631

A

1000-1441(2016)05-0649-08

10.3969/j.issn.1000-1441.2016.05.003

This project is financially supported by the National Key Basic Research Program of China (973 Program) (Grant No.2013CB228604),the China Postdoctoral Science Foundation Project (Grant No.2014M550379),the Postgraduate Innovation Project of Shandong Province (Grant No.2014BSE28009),the National Science and Technology Major Project of China (Grant No.2011ZX05009) and the National Natural Science Foundation of China (Grant No.41204085).