劉夕慶

自從數(shù)字被發(fā)明之后，數(shù)字無(wú)時(shí)無(wú)刻不充斥于我們的生活中。我們?cè)诶L畫中體現(xiàn)著數(shù)字元素，進(jìn)而揭示大自然是怎樣按照含有“數(shù)”的規(guī)則來(lái)運(yùn)行的。德國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的二進(jìn)制，也給我們身處的“數(shù)字時(shí)代”奠定了二進(jìn)制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

這是中世紀(jì)晚期的一幅木刻畫，表現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“數(shù)”的和諧理論，讀者朋友可以看到，在第2、3、4幅圖中，特別標(biāo)注出了音的和諧數(shù)字

數(shù)字的誕生和對(duì)計(jì)數(shù)的描繪

“萬(wàn)物皆數(shù)”是公元前500多年，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在其音樂(lè)研究的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。到了17世紀(jì)初，德國(guó)天文學(xué)家開普勒繼承了畢達(dá)哥拉斯的研究，對(duì)數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步的發(fā)展。而美國(guó)現(xiàn)代天體物理學(xué)家泰格馬克則提出了“數(shù)之宇宙假說(shuō)”，認(rèn)為不是數(shù)學(xué)描述宇宙，而是“宇宙即數(shù)學(xué)”。然而，這些都是產(chǎn)生于數(shù)字發(fā)明之后的論斷。

世界各地、各民族或多或少都有著對(duì)數(shù)字誕生的歷史及其計(jì)數(shù)與表達(dá)方法的描繪。對(duì)數(shù)的研究，是人類早期開始的研究活動(dòng)之一，其源頭現(xiàn)在已經(jīng)很難考證。早期的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)出現(xiàn)在今天伊拉克的底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間的美索不達(dá)米亞平原。在早期的文明社會(huì)中，人們已經(jīng)熟練地使用“數(shù)”這一抽象工具。比如，在陶器標(biāo)記、編織模式、有齒紋的骨頭、繩子打的結(jié)、石碑等各處都能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”的存在。而算術(shù)、幾何、音樂(lè)、天文等4門學(xué)科的發(fā)展，也得益于“數(shù)”的智慧。

從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，人們就需要計(jì)數(shù)和測(cè)量周圍物體的數(shù)量。早期的計(jì)數(shù)方法包括把石頭分堆、在木棒上刻楔形刻痕和用手指計(jì)數(shù)，可以說(shuō)，正是10個(gè)手指的計(jì)數(shù)方法，產(chǎn)生了現(xiàn)在我們熟悉的十進(jìn)制系統(tǒng)。公元前3000年左右，蘇美爾人的計(jì)數(shù)泥板上用來(lái)計(jì)數(shù)的圖案，看起來(lái)像極了今天的大麥，而三條指甲形痕跡，則代表著所計(jì)物的數(shù)量。蘇美爾人的計(jì)數(shù)系統(tǒng)以60為基礎(chǔ)，后來(lái)逐步演變成了六十進(jìn)制，我們現(xiàn)在的鐘表計(jì)時(shí)，仍采用這一古老的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。

大約在公元1500年，生活在中美洲以南的秘魯印加人發(fā)明了結(jié)繩文字，他們用各種顏色與形式的繩結(jié)來(lái)記數(shù)和記事。結(jié)繩文字都有一根主繩，上面系著許多打了結(jié)的各種顏色的細(xì)繩，每個(gè)繩結(jié)的大小和位置對(duì)應(yīng)著十進(jìn)制中的數(shù)，而不同的顏色傳達(dá)著不同的信息。這種結(jié)繩文字可用于計(jì)數(shù)，也可記錄其他類型的數(shù)據(jù)。這些信息由“印加信使”在所轄地區(qū)傳遞，他們訓(xùn)練有素，一天能走很遠(yuǎn)的路程，與現(xiàn)在爬山涉水送信的郵遞員很像。

表達(dá)數(shù)字變化與計(jì)算的繪畫

數(shù)字的發(fā)明代表著特定的含義，并且會(huì)發(fā)生變化，最重要的是數(shù)可以用來(lái)計(jì)算，一般也會(huì)有計(jì)算結(jié)果。倘若人類認(rèn)為計(jì)算結(jié)果是有意義的，人類對(duì)自然宇宙的認(rèn)識(shí)就會(huì)更進(jìn)一步—這也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)之所以能發(fā)展起來(lái)的基礎(chǔ)之基礎(chǔ)。

20世紀(jì)60年代，美國(guó)藝術(shù)家姜斯就注重?cái)?shù)字與圖像的含意，在作品中對(duì)科學(xué)的新觀念作出過(guò)驚人的視覺解釋。姜斯有許多以數(shù)學(xué)知識(shí)為主題的繪畫。2500多年前，希臘人著重探求數(shù)字的實(shí)在意義的科學(xué)活動(dòng)；而到了現(xiàn)代，姜斯探討了藝術(shù)活動(dòng)中數(shù)字的潛在意義。以姜斯的作品《從0到9》（1961年）為例，在這幅畫里，他向數(shù)字序列的不可變更性提出了挑戰(zhàn)。

自亞里士多德時(shí)起，數(shù)字序列的不可變更性是最神圣不可侵犯的信條之一，而算術(shù)級(jí)數(shù)屬于最根本的數(shù)字序列。在時(shí)間領(lǐng)域和空間領(lǐng)域里，1、2、3、4……按部就班地接續(xù)出現(xiàn)。姜斯卻將這兩個(gè)不同的時(shí)空概念糅合到一起并使之互補(bǔ)，在這幅畫中，這些數(shù)疊壓得無(wú)法一一分辨。在數(shù)字式鐘表上，一秒一秒的時(shí)間一個(gè)接一個(gè)地出現(xiàn)，而在姜斯的作品上，整齊的一套數(shù)字同時(shí)出現(xiàn)。

而在格列高·萊許的作品《瑪格麗塔哲學(xué)》中，同樣表達(dá)了數(shù)字的序列。繪畫中描述了畢達(dá)哥拉斯在使用中世紀(jì)的算盤排列數(shù)字1241和82（下圖右側(cè)）；數(shù)學(xué)家博伊修斯在用現(xiàn)在我們熟悉的阿拉伯?dāng)?shù)字做計(jì)算（下圖左側(cè)）；在圖中間那位女士的裙子上出現(xiàn)的數(shù)字，為算術(shù)等比級(jí)數(shù)1、2、4、8和1、3、9、27。

上文我們提到過(guò)，數(shù)字不但會(huì)發(fā)生變化，同時(shí)也

可用來(lái)計(jì)算。以十進(jìn)制的數(shù)學(xué)計(jì)算游戲（幻方）為例，在文藝復(fù)興時(shí)期，德國(guó)畫家丟勒所作的銅版畫《憂郁》中，一位憂郁的女性，她手持圓規(guī)，正陷入沉思之中。畫面上還有一個(gè)碩大的多面體、一個(gè)圓球、一個(gè)沙漏，以及一個(gè)4 x 4（階）的幻方。在這個(gè)4 x 4（階）的幻方中，每行、每列以及每個(gè)對(duì)角線上的數(shù)字之和均為34。這幅畫完成于1514年—其創(chuàng)作的年代數(shù)字，恰好出現(xiàn)在幻方的最后一行中。

數(shù)字與圖形的統(tǒng)一表達(dá)

我們知道，大自然與人類社會(huì)中的一些數(shù)包含了一些基本的數(shù)字規(guī)律和現(xiàn)象：一個(gè)音階包含7個(gè)音符、一條小凳最少有3條腿、一朵花可以有多種數(shù)目的花瓣……而像這些基本的數(shù)字規(guī)律和現(xiàn)象，其實(shí)很早就已為人們所觀察和了解。

在數(shù)學(xué)上，數(shù)與形的統(tǒng)一表述和計(jì)算是以法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)明的解析幾何為標(biāo)志的。而在畫家的筆下，表現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一畫面較為困難，但一些對(duì)數(shù)字青睞的畫家仍然將它們統(tǒng)一了起來(lái)，并創(chuàng)作了一些經(jīng)典之作。

二進(jìn)制與數(shù)字化生成的描繪

幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，十進(jìn)制以外的進(jìn)位制被應(yīng)用于趣味數(shù)學(xué)，但萊布尼茨認(rèn)為二進(jìn)制具有特殊的意義。萊布尼茨琢磨建造了以二進(jìn)制為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)，他記載的有些部分很清晰實(shí)用。

現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)及其網(wǎng)絡(luò)就是建立在萊布尼茲創(chuàng)立的二進(jìn)制（一種最簡(jiǎn)單的數(shù)字進(jìn)位制）基礎(chǔ)之上的，所以有些學(xué)者將計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)世界稱為“數(shù)字化生成”。

在萊布尼茨之后的數(shù)個(gè)世紀(jì)里，幾乎沒(méi)人用二進(jìn)制做出些許成果，直到數(shù)字計(jì)算機(jī)的興起才使得二進(jìn)制發(fā)展起來(lái)。所以，在當(dāng)時(shí)，萊布尼茨用二進(jìn)制進(jìn)行的計(jì)算已經(jīng)相當(dāng)“超越時(shí)代”—他推論出了“由最少的規(guī)則構(gòu)建出最多樣化現(xiàn)象”的進(jìn)位機(jī)制。

所有精確的科學(xué)都建立在數(shù)學(xué)之上?？上攵瑪?shù)字的發(fā)明與描繪有多么重要。而以繪畫的形式，將抽象的數(shù)字變?yōu)樾蜗蟮乃囆g(shù)，則有助于我們更全面直觀地了解數(shù)理知識(shí)，豐富其外延。

（責(zé)任編輯/房寧）