安徽省太和中學(xué) 岳峻

盤點(diǎn)以線性規(guī)劃為載體的試題

安徽省太和中學(xué) 岳峻

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃是考查同學(xué)們數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的重要切入點(diǎn)，特別是以線性規(guī)劃為載體，融匯多個(gè)知識(shí)點(diǎn)于一體的創(chuàng)新試題，逐漸成為體現(xiàn)新課程數(shù)學(xué)高考“在知識(shí)的交匯處命題”這一基本原則的亮點(diǎn)?，F(xiàn)分類舉例分析。

題型一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍

解析不等式組表示的可行域是以A（1，1）、B（0，2）、C（-1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（含邊界，如右圖陰影部分所示），作出直線l0：3x+y=0，平移直線l0，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，故z=3x+y的最大值為4。

評(píng)注此類問題是線性規(guī)劃中最為常見的題型，利用轉(zhuǎn)化與歸納思想，首先把目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)式化成直線的斜截式方程y=kx+b，然后通過平移直線y=kx，在約束條件的可行域內(nèi)探求目標(biāo)函數(shù)化成的直線的截距取得的最值或所處的范圍。

題型二：平面區(qū)域的面積問題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B= {（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面積為。

評(píng)注本題需結(jié)合平面區(qū)域A的約束條件，并通過換元對(duì)平面區(qū)域B的約束條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后直接求出平面區(qū)域的面積。

題型三:含參數(shù)的線性規(guī)劃

評(píng)注約束條件中含有參數(shù)，意味著約束條件是變化的，約束條件所表示的可行域也隨之相應(yīng)地變化，從而導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)最值的變化。

變式3

題型四：目標(biāo)函數(shù)非線性

方法2當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）在線段AB上時(shí)，xy取得最大值，此時(shí)2x+y=10，

評(píng)注此類問題的特點(diǎn)是具有線性的約束條件，但目標(biāo)函數(shù)是非線性的，解決的方法是利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義或不等式等知識(shí)來求解。

題型五：與其他知識(shí)點(diǎn)的整合

故a2+b2的最小值為4。故選B。

例6已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_________。

解析因?yàn)閤2+y2≤1，則2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，

所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y。

令10-3x-4y=z，得3x+4y+z-10=0，

解得z=15或z=5（舍去）。故答案為15。

六、以線性規(guī)劃為載體，考查綜合應(yīng)用能力

例7某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如下表所示。如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（）。

A.12萬(wàn)元B.16萬(wàn)元C.17萬(wàn)元D.18萬(wàn)元

平移直線3x+4y=0可得，z=3x+4y在點(diǎn)B（2，3）處取得最大值，即zmax=3×2+4×3=18（萬(wàn)元）。