楊曉京，彭蕓浩，李　堯

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

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壓電微位移臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯建模及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

楊曉京*，彭蕓浩，李堯

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

為了提高壓電微位移平臺(tái)快速定位的精確度，建立了一種表征壓電微位移平臺(tái)驅(qū)動(dòng)電壓與輸出位移關(guān)系的定位模型?？紤]壓電工作臺(tái)在快速、大行程精確定位過(guò)程中會(huì)受壓電陶瓷遲滯特性及本身動(dòng)態(tài)特性的影響，本文采用Bouc-Wen模型描述壓電陶瓷遲滯特性，并結(jié)合壓電工作臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行共同建模，使模型同時(shí)體現(xiàn)壓電工作臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性與遲滯特性。為了驗(yàn)證模型的正確性，搭建了基于壓電微位移平臺(tái)和相關(guān)驅(qū)動(dòng)器的實(shí)驗(yàn)設(shè)備對(duì)模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并進(jìn)行了測(cè)控程序的二次開(kāi)發(fā)。研究結(jié)果表明，與單純的Bouc-Wen模型相比，提出模型在最大位移輸出為40 μm，輸入電壓頻率為40 Hz時(shí)的最大誤差由3.04 μm下降到了0.67 μm，此時(shí)最大相對(duì)誤差為1.68%。得到的結(jié)果驗(yàn)證了提出的模型可較好地模擬壓電工作臺(tái)的遲滯特性與動(dòng)態(tài)特性，大大提高壓電微位移平臺(tái)在快速、大行程定位中的精確度。

壓電微位移臺(tái)；動(dòng)態(tài)特性；遲滯特性；Bouc-Wen模型；運(yùn)動(dòng)定位

1　引　言

壓電微位移平臺(tái)是基于柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)，由壓電陶瓷提供驅(qū)動(dòng)力的微位移精密機(jī)構(gòu)。具有分辨率高、無(wú)摩擦、響應(yīng)快和無(wú)噪音等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于超精密加工制造、微納定位、生物工程、微機(jī)電系統(tǒng)等領(lǐng)域[1]。但是，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓與輸出位移之間存在的遲滯非線(xiàn)性，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器本身具有的蠕變性以及壓電工作臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性，都會(huì)對(duì)壓電工作臺(tái)的定位準(zhǔn)確度造成影響，使其定位精度降低[2]。

為了提高微位移平臺(tái)的定位精度，國(guó)內(nèi)外很多專(zhuān)家學(xué)者提出了不同的壓電驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)方案[3-5]，同時(shí)也對(duì)壓電陶瓷微位移器的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了大量的研究，建立了Preisach模型[6-7]、Prandtle-Ishlinskii模型[8-9]、Duhem模型[10-11]、Bouc-Wen模型[12-14]等遲滯模型。但是，這些模型均不能表示微位移平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的全部信息，大部分模型僅能表示壓電執(zhí)行器的遲滯性、蠕變性或平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性。由于壓電驅(qū)動(dòng)器的蠕變性在平臺(tái)的慢速定位中影響顯著，遲滯性在大行程定位中顯示明顯，而平臺(tái)快速運(yùn)動(dòng)中主要體現(xiàn)動(dòng)態(tài)特性[2]，這就使得在進(jìn)行大行程、快速定位的時(shí)候，微位移平臺(tái)的定位精度不高。為了提高平臺(tái)的定位精度，就必須將壓電微位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性和遲滯特性結(jié)合起來(lái)建模。

本文選取Bouc-Wen模型對(duì)平臺(tái)的遲滯特性進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。Bouc-Wen模型是由Bouc[15]于1967年提出，并由Wen[16]于1976年完善的微分方程。該方程由一系列不定參數(shù)構(gòu)成，不同的參數(shù)對(duì)應(yīng)于不同的遲滯環(huán)。近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)該模型模擬壓電陶瓷的遲滯性進(jìn)行了研究[12-14]，取得了一定成果。同時(shí)，該模型本身為動(dòng)態(tài)模型，與靜態(tài)模型相比，能較好的反應(yīng)壓電執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)遲滯性，但隨著輸入信號(hào)頻率的上升，模型的準(zhǔn)確性會(huì)逐步下降。為了進(jìn)一步提高平臺(tái)在大行程、較快速度下的定位精度，本文研究了壓電工作臺(tái)的線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型，并通過(guò)將線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型與遲滯模型相結(jié)合，得到了更加精確的動(dòng)態(tài)遲滯模型，使得該模型能夠同時(shí)表示壓電微位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性和遲滯特性。最后，以三維壓電微位移平臺(tái)為對(duì)象，驗(yàn)證了由線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型與遲滯模型結(jié)合的動(dòng)態(tài)遲滯模型的精確性，并將其與單純基于Bouc-Wen模型建模的結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了模型的優(yōu)越性。

2　動(dòng)態(tài)遲滯模型

2.1動(dòng)態(tài)遲滯模型的建立過(guò)程

壓電微位移平臺(tái)主要由壓電驅(qū)動(dòng)器和柔性鉸鏈等組成，其特性主要由壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯性、蠕變性，位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性來(lái)表現(xiàn)。因此，微位移平臺(tái)系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)[17]。當(dāng)壓電工作臺(tái)的工作頻率遠(yuǎn)小于其諧振頻率時(shí)，可將工作臺(tái)系統(tǒng)看做一個(gè)彈簧-阻尼系統(tǒng)。其中，彈簧表示壓電驅(qū)動(dòng)器的特性，阻尼表示柔性鉸鏈的特性。則系統(tǒng)的力與位移的關(guān)系為：

(1)

同時(shí)，工作臺(tái)的輸出力還與壓電驅(qū)動(dòng)器的輸出力呈遲滯非線(xiàn)性關(guān)系：

F(t)=H{V(t)}.

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式：

(3)

式(3)即為壓電微位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯模型，既體現(xiàn)出了微位移平臺(tái)的遲滯特性，又表示出了平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性。

2.2Bouc-Wen模型的建立過(guò)程

圖1所示為壓電微位移平臺(tái)的遲滯曲線(xiàn)。圖中虛線(xiàn)所示為遲滯曲線(xiàn)上位移最大值與最小值的連線(xiàn)。壓電微位移平臺(tái)的遲滯曲線(xiàn)即可看成是該直線(xiàn)加上曲線(xiàn)的遲滯分量構(gòu)成的：

x(t)=kvu(t)+h(t)+x0，

(4)

式中：x(t)為輸出位移，u(t)為輸入電壓，kv為構(gòu)成輸入電壓與輸出位移線(xiàn)性關(guān)系的比例常量，h(t) 為遲滯分量，x0為初始位移。

其中，h(t)的一階導(dǎo)數(shù)為[15]：

，

(5)

式中：A、β、γ為待求參數(shù)。為了簡(jiǎn)化辨識(shí)過(guò)程，降低辨識(shí)難度，通常情況下將n設(shè)為1，則有：

(6)

則只需要確定參數(shù)kv，A、β、γ便能得到相應(yīng)的Bouc-Wen模型。

圖1壓電微位移平臺(tái)輸入電壓與輸出位移的遲滯曲線(xiàn)

Fig.1Hysteresis curves of input voltage and output displacement of piezoelectric positioning stage

3　模型參數(shù)的辨識(shí)

壓電微位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯模型由平臺(tái)的遲滯特性和動(dòng)態(tài)特性組成，因此，建模也可以分成這兩個(gè)部分進(jìn)行。當(dāng)壓電平臺(tái)進(jìn)行慢速定位時(shí)，平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)不明顯，平臺(tái)主要表現(xiàn)為遲滯特性。則模型方程可簡(jiǎn)化為：

x(t)=H*{V(t)}.

(7)

此時(shí)，僅需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行遲滯模型的建立即可。Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識(shí)過(guò)程如下：

對(duì)壓電微位移平臺(tái)輸入兩組電壓u(t)和u′(t)，它們之間的關(guān)系為u′(t)=u(t)±c(c為常數(shù))，將其分別代入式(4)，得：

(8)

由式(8)可解得：

(9)

又對(duì)于一個(gè)完整的遲滯過(guò)程來(lái)說(shuō)，h(t)的變化量為0，則有：

(10)

由式(10)和式(8)，可以確定初始位移x0：

(11)

由式(6)可得：

(12)

在圖1中求得直線(xiàn)與遲滯曲線(xiàn)的交點(diǎn)(u0，x0)，由Bouc-Wen模型的性質(zhì)可知，此時(shí)h(t)為0。則由式(8)、(12)可得：

(13)

在上升曲線(xiàn)中，當(dāng)點(diǎn)(u1，x1)處于(u0，x0)下方時(shí)，由式(12)可得：

(14)

同樣，在上升曲線(xiàn)上取點(diǎn)(u2，x2)處于(u0，x0)上方，同理可得：

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)可得：

(16)

至此，Bouc-Wen模型的所有參數(shù)均求解完成，平臺(tái)的遲滯模型也建立完成。當(dāng)壓電微位移平臺(tái)進(jìn)行小行程快速定位時(shí)，平臺(tái)的遲滯性表現(xiàn)不明顯。此時(shí)，平臺(tái)表現(xiàn)線(xiàn)性動(dòng)態(tài)性，則式(3)可寫(xiě)為：

(17)

此時(shí)，需要確定的參數(shù)為ξ和ωn，可由線(xiàn)性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)辨識(shí)法獲得。

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1實(shí)驗(yàn)裝置

采用如圖2所示的實(shí)驗(yàn)裝置，來(lái)完成Bouc-Wen模型和線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型的數(shù)據(jù)采集和模型的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)裝置采用哈爾濱芯明天科技有限公司生產(chǎn)的三維壓電微位移平臺(tái)XP-611.XYZ和XE-500/501 D系列壓電陶瓷控制器搭建組成，并進(jìn)行了測(cè)控程序的二次開(kāi)發(fā)。

以X軸方向?yàn)槔M(jìn)行實(shí)驗(yàn)。壓電微位移平臺(tái)X軸的基本參數(shù)如下：輸入電壓為0～150 V；最大輸出位移為120 μm(±20%)；開(kāi)環(huán)定位分辨率為0.2 nm；重復(fù)定位精度為30 nm；空載響應(yīng)頻率為350 Hz。XE-500/501 D系列壓電陶瓷控制器由放大器模塊、傳感器控制模塊和顯示與接口模塊等組成。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)壓電陶瓷控制器驅(qū)動(dòng)微位移平臺(tái)，并與計(jì)算機(jī)相連，采用基于LabVIEW的數(shù)據(jù)采集處理程序，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集處理。

圖2　實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

4.2Bouc-Wen模型參數(shù)辨識(shí)

為了得到準(zhǔn)確的參數(shù)值，先讓壓電微位移平臺(tái)輸入一組0.2 Hz，電壓分別為0～61 V、30～91 V，最大位移分別為40 μm、62 μm的正弦信號(hào)，如圖3所示。

(a)輸入電壓時(shí)間曲線(xiàn)

(b)輸出位移時(shí)間曲線(xiàn)

由圖3和式(9)、(11)、(13)、(16)可得模型的參數(shù)分別為：kv=7.015×10-7，x0=0.354×10-6，A=-1.87×10-7，β=0.085 4，γ=-0.093 5。

再將各參數(shù)代入式(4)、(6)，即可求出Bouc-Wen模型的表達(dá)式，完成模型的建立。

4.3動(dòng)態(tài)特性的辨識(shí)

平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)由頻域響應(yīng)法獲取，由于壓電微位移平臺(tái)X軸向的空載響應(yīng)頻率為350 Hz，所以，將輸入電壓信號(hào)由0 Hz逐步加至550 Hz，平臺(tái)的最大位移控制在6 μm左右。通過(guò)MATLAB以二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的形式，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。得到的動(dòng)態(tài)特性的參數(shù)為：

(18)

4.4動(dòng)態(tài)遲滯模型的驗(yàn)證

結(jié)合遲滯模型和平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性模型，將兩模型代入式(3)中，即可建立平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯模型。為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，將平臺(tái)的輸入電壓信號(hào)設(shè)置為40 Hz的正弦信號(hào)，最大位移定為40 μm，并與單純的Bouc-Wen模型建模進(jìn)行比較，結(jié)果如圖4所示。

圖4　Bouc-Wen模型與實(shí)際遲滯環(huán)

圖4所示為單純的Bouc-Wen模型與實(shí)際遲滯環(huán)的電壓-位移曲線(xiàn)圖。從圖中可以看出，在壓電微位移平臺(tái)較快速、大行程定位時(shí)，用單純的Bouc-Wen模型進(jìn)行壓電微位移平臺(tái)遲滯模型的描述時(shí)，出現(xiàn)了較大的誤差，模型最大誤差出現(xiàn)于最大位移40 μm處，誤差為3.04 μm，且模型較實(shí)際遲滯環(huán)有向下的偏移，這是由于單純的Bouc-Wen模型沒(méi)有考慮到平臺(tái)自身的動(dòng)態(tài)特性，因此在平臺(tái)快速定位的過(guò)程中產(chǎn)生了較大的誤差，且隨著平臺(tái)位移的增大，誤差也隨之增大。圖5所示為改進(jìn)后的動(dòng)態(tài)遲滯模型與實(shí)際遲滯環(huán)的電壓-位移曲線(xiàn)圖、誤差曲線(xiàn)圖和輸出位移時(shí)間曲線(xiàn)圖。由于改進(jìn)后的動(dòng)態(tài)遲滯模型考慮到了平臺(tái)本身的動(dòng)態(tài)特性，在單純的Bouc-Wen模型中加上了平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性，所以得到了較好的精度，提高了模型的精確度，最大誤差為0.67 μm，最大相對(duì)誤差為1.68%。

(a)動(dòng)態(tài)模型與實(shí)際遲滯環(huán)

(b)動(dòng)態(tài)模型的位移誤差與驅(qū)動(dòng)電壓之間的關(guān)系曲線(xiàn)

(c)輸出位移時(shí)間曲線(xiàn)

圖5模型預(yù)測(cè)的壓電陶瓷微位移平臺(tái)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的比較

Fig.5Comparisons between predicted results from piezoelectric micro displacement platform by model and measured results

5　結(jié)　論

本文提出了一種表征壓電微位移平臺(tái)輸出位移與輸入電壓之間關(guān)系的動(dòng)態(tài)遲滯模型。主要應(yīng)用于壓電微位移平臺(tái)進(jìn)行較大行程、快速定位過(guò)程中。模型是在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上加上了壓電微位移平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性而建立起來(lái)的動(dòng)態(tài)遲滯模型，既能表現(xiàn)出微位移平臺(tái)在快速定位過(guò)程中出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性，又能體現(xiàn)出平臺(tái)在大行程定位過(guò)程中出現(xiàn)的遲滯特性。實(shí)驗(yàn)表明，在最大位移輸出為40 μm，輸入電壓頻率為40 Hz時(shí)，模型的最大誤差由單純使用Bouc-Wen模型時(shí)的3.04 μm 下降到了0.67 μm。此時(shí)，模型的最大相對(duì)誤差為1.68%，驗(yàn)證了該模型能大大提高壓電微位移平臺(tái)在快速、大行程定位中的精確度。需要說(shuō)明的是，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以國(guó)產(chǎn)代表性的哈爾濱芯明天科技有限公司生產(chǎn)的壓電微位移平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)器為基礎(chǔ)進(jìn)行的。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)壓電微位移平臺(tái)類(lèi)型，僅需在模型的基礎(chǔ)上對(duì)其主要參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，即可得到一種能更加精確描述壓電微位移臺(tái)動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象的模型，模型具有廣泛適用性。為高性能壓電微位移平臺(tái)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了參考。

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楊曉京(1971-)，男，云南大理人，教授，博士生導(dǎo)師，1993年、1996年于中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位，2008年于浙江大學(xué)獲得博士學(xué)位，2013年于昆明理工大學(xué)博士后出站。主要從事超精密驅(qū)動(dòng)與傳動(dòng)理論及新技術(shù)等方面的研究。E-mail:xjyang@vip.sina.com

彭蕓浩(1991-)，男，廣東樂(lè)昌人，碩士研究生，2014年于長(zhǎng)春理工大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事精密工作臺(tái)設(shè)計(jì)及精密工作臺(tái)系統(tǒng)建模、控制方面的研究。E-mail:1713142503@qq.com

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Dynamic hysteresis modeling and experimental verification of piezoelectric positioning stage

YANG Xiao-jing*， PENG Yun-hao， LI Yao

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，KunmingUniversityofScienceandTechnology，Kunming650500，China)*Correspondingauthor，E-mail：xjyang@vip.sina.com

To improve the precision of rapid positioning of a piezoelectric positioning stage， a positioning model is established to characterize the relationship between driving voltage and output displacement of the platform. As the piezoelectric positioning stage for precision position in the fast and large stroke is not only affected by the hysteresis characteristics of the piezoelectric ceramics， but by the dynamic characteristics， this paper uses Bouc-Wen model to describe the hysteresis characteristics of piezoelectric ceramics， combines with the dynamic characteristics of the piezoelectric positioning stage to establish model， and lets the model reflect the dynamic characteristics and hysteresis characteristics of the platform. To verify the correctness of the model， the experimental equipment based on the piezoelectric micro displacement platform and the related driver is built， and model is verified by experiments， and a secondary development of monitor-control program is performed.The results show that, compared with the previous Bouc-Wen model,when proposed model in the maximum displacement output is 40 μm and the input voltage frequency is 40 Hz,the maximum error is reduced from 3.04 μm to 0.67 μm and the maximum relative error is 1.68%.The results show that the proposed model can better simulate the hysteresis characteristics and dynamic characteristics of the piezoelectric stage, and greatly improve the accuracy of the piezoelectric micro displacement platform in the fast and large stroke positioning.

piezoelectric positioning stage; dynamic characteristics; hysteresis characteristics; Bouc-Wen model; dynamic position

2016-04-10；

2016-05-21.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.51365021)

1004-924X(2016)09-2255-07

TP271.4；TH701

A

10.3788/OPE.20162409.2255