田海燕，陳 富，康淑瑰

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同 037009)

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具有體液免疫反應的傳染病模型穩(wěn)定性分析*

田海燕，陳 富，康淑瑰

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同 037009)

建立考慮潛伏感染細胞并具有體液免疫反應的傳染病模型，討論其解的非負性和有界性，得到確定模型動力學性態(tài)的基本再生數(shù)，再通過構造適當?shù)腖yapunov泛函，并利用LaSalle不變原理證明模型無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性.

病毒感染 全局穩(wěn)定性 免疫反應 李雅普諾夫函數(shù)

0 引言

近年來，越來越多的學者利用數(shù)學模型分析宿主細胞和病毒之間的相互作用， 研究過的病毒有人類免疫缺陷病毒(HIV),乙肝病毒(HBV) ，丙肝病毒(HCV),SEIR傳染病毒等[1-7].為了描述易感染細胞，感染細胞以及乙肝病毒顆粒之間的關系，建立了如下基本的病毒動力學模型：

(1)

然而要建立更精確的病毒感染數(shù)學模型，必須考慮免疫反應.免疫系統(tǒng)中對病毒感染有影響的兩個主要反應是細胞免疫和體液免疫.細胞免疫中細胞毒性T淋巴細胞在病毒防御中起著關鍵的作用， 因為細胞毒性T淋巴細胞可以攻擊并殺死被感染細胞.而體液免疫是基于B細胞產(chǎn)生的抗體攻擊并殺死被感染細胞.在一些病毒感染中，比如瘧疾，細胞免疫比體液免疫的效果差[8-10].Muras等[9]已經(jīng)建立了體液免疫的基本動力學模型：

(2)

其中x,y,v分別表示易感染細胞，受感染細胞以及游離病毒顆粒的數(shù)量，z表示B細胞的數(shù)量.未感染細胞以常速率λ產(chǎn)生，死亡速率dx，細胞被感染的速率為βxv，受感染的細胞死亡率為by.游離病毒顆粒從受感染的細胞中產(chǎn)生的速率為ky，死亡率為uv，同時被抗體作用移除體內(nèi)的速率為rzv.B細胞被激活的速率為gzv，死亡率為μz.所有系數(shù)為正.

(3)

其中γ和α是正常數(shù)，w和y分別表示潛伏的感染細胞和活動性感染細胞的濃度.潛伏感染細胞死亡的速率ew， 轉(zhuǎn)化為活動性感染細胞的速率δw.1-q和q(0

1 模型基本性質(zhì)

系統(tǒng)(3)的所有解都非負有界.解的非負性從生物學意義上講顯然成立，只需證明其有界性.

定理1 系統(tǒng)(3)的所有解x(t),w(t),y(t),v(t),z(t)都是非負且有界的，即存在Mi>0,i=1,2,3使得0≤x(t),w(t),y(t)≤M1，0≤v(t)≤M2，0≤z(t)≤M3成立.

證明 設X1(t)=x(t)+w(t)+y(t)，則有

所以0≤x(t),w(t),y(t)≤M1.

2 模型無病平衡點的穩(wěn)定性

證明 構造Lyapunov函數(shù)：

結合系統(tǒng)(3)有

(4)

3 結論

本文討論了一類考慮潛伏感染細胞的具有體液免疫反應的傳染病模型，該模型描述了未受感染的靶細胞，潛伏感染的細胞，活動性感染的細胞，自由的病毒顆粒與B細胞之間的相互作用.利用Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變原理，證明了當基本再生數(shù)R0≤1時，模型無病平衡點全局漸近穩(wěn)定.

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(責任編輯：尹 闖)

Stability Analysis of an Infection Model with Humoral Immunity

TIAN Haiyan,CHEN Fu,KANG Shugui

(School of Mathematics and Computer Science,Datong University,Datong,Shanxi,037009,China)

In this paper,we built a virus dynamics model with humoral immune response including latently infected cells,and then discussed the nonnegativity and boundedness of the solution.The basic reproduction number was obtained,which determined the dynamical behaviors of the infection model.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we proved that the infection-free equilibrium was globally asymptotically stable.

virus infection,global stability,immune response,Lyapunov function

2016-03-20

田海燕(1984-), 女,助教,主要從事微分方程定性理論研究,E-mail:tianhaiyan668@163.com。

*國家青年科學基金項目(11301312),山西大同大學青年科學基金項目(2014Q10)和山西大同大學青年科學基金(2015K5)資助。

網(wǎng)絡優(yōu)先數(shù)字出版時間：2016-09-13 【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160913.006

http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160913.0948.012.html

O175

A

1005-9164(2016)04-0378-03

廣西科學Guangxi Sciences 2016,23(4):378～380