李兵強，陳曉雷，林　輝，戴志勇

（西北工業(yè)大學自動化學院，陜西　西安 710129）

飛機全電防滑剎車系統(tǒng)穩(wěn)定動態(tài)面控制

李兵強，陳曉雷，林輝，戴志勇

（西北工業(yè)大學自動化學院，陜西西安 710129）

針對機電作動的飛機防滑剎車模型具有的高階非線性及參數(shù)時變特點，提出一種基于障礙Lyapunov函數(shù)的動態(tài)面控制方法，實現(xiàn)對滑移率的上界約束，保障防滑剎車系統(tǒng)的穩(wěn)定性。建立飛機剎車動力學模型，與機電作動器的數(shù)學模型聯(lián)立得到整體剎車系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并合理簡化為嚴格反饋形式。將剎車系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性問題等效描述為含輸出約束的非線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題，設(shè)計動態(tài)面控制律并通過Lyapunov方法證明滑移率跟蹤誤差半全局一致最終有界，剎車工作點始終保持在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。仿真結(jié)果表明，本文所提控制策略具有穩(wěn)定性優(yōu)勢，且改善了傳統(tǒng)控制存在的中低速時滑移率振蕩問題，控制效果有顯著提升。

機電作動器；防滑剎車系統(tǒng)；動態(tài)面控制；障礙李亞普諾夫函數(shù)；無刷直流電機

網(wǎng)址：www.sys-ele.com

0　引　言

航空技術(shù)的發(fā)展日新月異，但剎車安全性始終是人們關(guān)注的焦點。傳統(tǒng)剎車系統(tǒng)存在油液泄漏的風險，伺服閥易受污染且維護昂貴。機電作動器（electromechanical actuator，EMA）［1］的成功應用使剎車機構(gòu)徹底擺脫了對飛機主液壓系統(tǒng)的依賴，也被稱為全電剎車系統(tǒng)，顯著提升了剎車效率和安全性，是飛機剎車系統(tǒng)的發(fā)展方向［2］。國內(nèi)研究起步較晚，處于原理驗證階段。

剎車制動效能不僅依賴于作動機構(gòu)性能，還取決于剎車控制策略的先進性?，F(xiàn)有飛機防滑剎車系統(tǒng)（antiskid braking system，ABS）通常采用滑移率式控制策略，其核心思想是在不同跑道條件下，實現(xiàn)最優(yōu)滑移率的設(shè)定點控制，使結(jié)合系數(shù)保持最大值，以獲得最大結(jié)合力矩?，F(xiàn)有文獻已提出若干種滑移率式控制策略，如模糊控制［3］、神經(jīng)網(wǎng)絡控制［4］、滑模控制［5］、極值搜索控制［6］等，但對剎車系統(tǒng)穩(wěn)定性問題則少有研究。

滑移率控制中，根據(jù)滑移率和結(jié)合系數(shù)的關(guān)系曲線，將剎車工作點劃分為穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域［7］。不穩(wěn)定區(qū)域意味著輪胎將深度打滑至抱死狀態(tài)，此時飛機側(cè)向穩(wěn)定性大為降低，可能引起側(cè)滑或甩尾，造成安全事故。近年來，考慮剎車系統(tǒng)穩(wěn)定性的ABS控制設(shè)計已引起普遍關(guān)注，但依賴于對物理量（如機輪角加速度、輪胎摩擦力）的測量［8］或估計［9 10］，需要增加傳感器或算法復雜程度，造成實際應用的困難。

實現(xiàn)剎車控制器設(shè)計的基本前提是對數(shù)學模型的研究，飛機地面運動的真實動力學特性及為復雜，文獻［11］建立15個自由度的飛機剎車系統(tǒng)模型，文獻［12］考慮起落架與剎車系統(tǒng)的相互作用，然而復雜模型并不利于指導剎車控制律設(shè)計。文獻［13］假定飛機處于最大著陸狀態(tài)，僅考慮縱向運動且忽略氣動力作用，對作動機構(gòu)特性也未有分析，類似還有文獻［14］。實際上，剎車控制設(shè)計必須立足于合理簡化的數(shù)學模型，此外需考慮空氣動力對系統(tǒng)的影響，以及作動機構(gòu)本身的非線性特性。

在以上研究的基礎(chǔ)上，建立合理簡化的飛機剎車動力學模型，與全電作動機構(gòu)模型相結(jié)合，得到完整的剎車系統(tǒng)模型，并將剎車穩(wěn)定性問題歸結(jié)為含輸出約束的非線性系統(tǒng)控制問題。設(shè)計對稱結(jié)構(gòu)的障礙Lyapunov函數(shù)（barrier Lyapunov function，BLF）［15］實現(xiàn)對滑移率的約束，并采用動態(tài)面控制（dynamic surface control，DSC）避免了常規(guī)反演控制中對虛擬控制量求取多次微分的困難［16］，可實現(xiàn)滑移率跟蹤誤差的全局一致最終有界，使剎車工作點始終保持在穩(wěn)定區(qū)域，保證飛機的側(cè)向穩(wěn)定性。

1　系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1飛機剎車動力學模型

模型基于如下假設(shè)：①僅考慮縱向運動；②忽略輪胎壓縮；③受剎機輪機構(gòu)性能一致且同步控制。該模型結(jié)構(gòu)簡單卻保留了剎車過程本質(zhì)特征，適用于ABS控制器設(shè)計［14，17］。飛機剎車過程受力分析如圖1所示。

圖1　飛機剎車過程受力分析

圖1中，Vx為飛機速度，mA為飛機質(zhì)量，g為重力加速度，F(xiàn)R為發(fā)動機反推力，F(xiàn)X為氣動阻力，F(xiàn)f為受剎機輪與跑道間的結(jié)合力，F(xiàn)L為飛機升力，N2為前輪載荷，N1為主輪載荷，b為前輪到飛機重心的水平距離，a為主輪到飛機重心水平距離，hc為飛機重心高度，he為發(fā)動機距重心的垂直距離。飛機縱向運動方程、垂直方向力平衡方程、力矩平衡方程分別為

式中，Cd為氣動阻力系數(shù)；ρa為空氣密度；SA為機翼面積；CL為升力系數(shù)。

受剎機輪的動力學方程為

式中，R為主輪半徑；Tb為剎車力矩；Bw為輪軸摩擦系數(shù)；ω為主輪角速度；Iw為機輪轉(zhuǎn)動慣量。

剎車盤的溫度變化及材料、磨損等復雜因素均會影響Tb，忽略上述非線性因素，可認為Tb取決于剎車壓力PA：

式中，Kb為力矩轉(zhuǎn)化系數(shù)。

1.2滑移率—結(jié)合系數(shù)模型

剎車過程中，由于剎車力矩Tb的作用，使得Vx＞Rω，由此定義滑移率λ［18］，表示機輪相對跑道的滑動運動比率：

剎車過程依賴為Ff，影響Ff大小的因素稱為結(jié)合系數(shù)μ［19］，定義為

μ難于直接測量或精確計算，與其他變量間的定量關(guān)系依賴試驗數(shù)據(jù)擬合獲取，通常將μ表示為λ的單變量擬合函數(shù)，如圖2所示。

圖2　輪胎/路面摩擦模型

剎車過程中，隨著λ的增大，μ隨之增大，F(xiàn)f及.Vx也隨之增大，直到λ=λ*時得到最大結(jié)合系數(shù)μmax及最大結(jié)合力矩。若λ＞λ*，則μ將顯著減小，若λ繼續(xù)增大至機輪趨于抱死，此時飛機側(cè)向穩(wěn)定性將迅速降低，因此將λ大于容許上限值λp的區(qū)域定性稱為不穩(wěn)定區(qū)域。滑移率控制目標是實現(xiàn)λ對λ*的跟蹤以獲取最大結(jié)合力矩，理想的控制效果應使λ（t）保持在λ*有限鄰域內(nèi)，不能進入不穩(wěn)定區(qū)域。

對式（5）求導可得

將式（1）～式（3）、式（6）聯(lián)立，求得Ff，并計算.Vx及.ω，式（7）可寫為

1.3EMA模型

剎車EMA結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3　全電剎車機電作動器結(jié)構(gòu)圖

由無刷直流電機（brushless DC motors，BLDCM）通過傘齒輪驅(qū)動滾珠絲杠，將絲杠的旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)變?yōu)檩S向運動，驅(qū)動壓緊盤，產(chǎn)生剎車力矩。與傳統(tǒng)液壓剎車相比，不存在液壓油充填活塞腔的過程，具有響應快速優(yōu)勢。BLDCM模型簡化為

式中，Uc為電樞電壓；Rm為定子電阻；i為電樞電流；L為定子電感；Ea為電樞反電動勢；J為轉(zhuǎn)動慣量；ωm為電機角速度；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；Tl為負載轉(zhuǎn)矩；Bυ為粘滯阻尼系數(shù)；KT為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；Ke為反電動勢常數(shù)。

EMA輸出力即剎車壓力PA為

式中，cb為剎車盤剛度系數(shù)；xEMA為滾珠絲杠位移；xb為剎車盤側(cè)向位移，可認為壓緊盤在剎車過程中僅存在彈性形變，即xb=0。滾珠絲杠的負載力方程及運動方程為

式中，L0為滾珠絲杠導程。

對式（10）求導有

1.4全電剎車系統(tǒng)整體模型

將式（8）～式（12）聯(lián)立可得到整體剎車系統(tǒng)模型：

式中，g1=KbR/VxIw；b1=cbL0/2π；c1=L0/2πJ；c2=Bυ/J；c3=KT/J；d1=Ke/L；d2=Rm/L；u=Uc/L。u為系統(tǒng)輸入，y為系統(tǒng)輸出?？芍Ｐ途哂懈唠A非線性及參數(shù)時變特性。

控制目標：對式（14）描述的全電剎車系統(tǒng)設(shè)計控制器，使剎車過程中λ（t）實現(xiàn)對期望滑移率λ*的跟蹤，且實現(xiàn)λ（t）＜λp，?t＞0，保障剎車系統(tǒng)穩(wěn)定性。

假設(shè)1期望滑移率指令連續(xù)且二階導數(shù)存在并滿足λ*2+.λ*2+¨λ*2≤Χ1，Χ1為一正數(shù)；

假設(shè)2μ（λ）為連續(xù)可微凸函數(shù)，即f1（x1）連續(xù)可微；

假設(shè)3Vx、ω、PA、ωm及i可測。

實際系統(tǒng)中，已知跑道條件下的λ*為設(shè)定常數(shù)，滿足假設(shè)1。假設(shè)2符合現(xiàn)有μ-λ關(guān)系曲線，假設(shè)3是工程實現(xiàn)全電剎車的必要條件。

2　控制器設(shè)計

2.1障礙Lyapunov函數(shù)

本文提出控制器設(shè)計思想是將滑移率控制視為含輸出約束條件的控制問題，通過約束使得在剎車過程中λ始終不超過λp，避免剎車工作點處于不穩(wěn)定區(qū)域。對式（14）中的非線性系統(tǒng)，要求y（t）滿足約束|y|≤λp?t≥0。提出基于BLF的動態(tài)面控制方法。

定義1對自治系統(tǒng).x=f（x），若標量函數(shù)V（x）滿足以下性質(zhì)：在開區(qū)域D內(nèi)連續(xù)、正定且一階偏導數(shù)連續(xù)；當x趨近于D的邊界時，有V（x）→∞；且存在一正常數(shù)M，若x（0）∈D，則沿方程.x=f（x）的解始終滿足V（x（t））≤M，?t≥0，則稱V（x）為系統(tǒng).x=f（x）的一個BLF［15］。

2.2動態(tài)面控制器設(shè)計

由假設(shè)2可知式（14）為嚴格反饋型系統(tǒng)，借鑒反演控制逐層設(shè)計虛擬控制量的思想，引入低通濾波器實現(xiàn)動態(tài)面控制，降低控制律復雜程度。設(shè)計步驟如下：

步驟1設(shè)λ*=x1d為期望滑移率，定義跟蹤誤差為z1= x1-λ*，求導并將式（14）代入，可得

選取如下對數(shù)型Lyapunov函數(shù)：

由定義1可知V1為BLF。其中kb=λp-λ*，設(shè)系統(tǒng)起始剎車時刻狀態(tài)為x（0），則有z1（0）=-λ*∈（-kb，kb）。對式（16）求導得

式中，κ1為正實數(shù)。將x-2經(jīng)過低通濾波器，得到輸出x2d滿足

2.3穩(wěn)定性分析

首先給出穩(wěn)定性分析需要的兩個引理：

引理2對任意正實數(shù)kb，若|z1|＜kb，則下列不等式［20］成立：

定義濾波誤差為

對zi=xi-xid求導，聯(lián)立式（32），并將式（20）、式（24）、式（28）和式（32）代入，得誤差面導數(shù)為

根據(jù)式（21）、式（25）、式（29）可得

對式（32）求導，將式（20）、式（24）、式（28）求導并代入，與式（34）聯(lián)立可得

為簡化式（35），定義函數(shù)Θi滿足下式：

設(shè)計Lyapunov函數(shù)為

定理1對式（14）所示全電剎車系統(tǒng)，采用式（18）、式（22）、式（26）所示虛擬控制量，式（30）所示動態(tài)面控制律，若滿足假設(shè)1～假設(shè)3，選取適當?shù)臑V波器及控制器參數(shù)κi（i= 1，2，3，4）、τj（j=2，3，4），可保證滑移率始終小于給定上界，穩(wěn)態(tài)誤差可以任意小。

證明對式（37）求導，將式（33）和式（36）代入可得

參考如下Young不等式：

利用式（39）及其類似不等式，式（38）可整理為

由式（42）可知，當V=η，取r＞3σ/2·2η，有.V=-2rη+ 3σ/2≤0。此時V≤η是不變集，若V（0）≤η，則V（t）≤η，?t＞0。求解有

故緊集Ω1：=｛z1，z2，z3，z4，y1，y2，y3｝內(nèi)所有信號半全局一致最終有界，取合適的控制器及濾波器參數(shù)，Ω1可隨意縮小，即跟蹤誤差z1可以任意小。z1（0）在集合z1∈（-kb，kb）內(nèi)，由引理1可知，z1（t）∈（-kb，kb）?t∈［0，∞），由x1（t）=z1（t）+λ*，考慮滑移率的物理意義，實際剎車過程中λ恒為正數(shù)，可知λ∈（0，λp），?t∈［0，∞），剎車過程中滑移率不會超過設(shè)定上界，從而保障剎車系統(tǒng)的穩(wěn)定性。證畢

3　仿真分析

3.1仿真參數(shù)

冰跑道著陸時結(jié)合系數(shù)較小，對剎車機構(gòu)性能和剎車控制律提出更為苛刻的要求。以冰跑道上的全電剎車為例進行數(shù)值仿真，驗證控制算法的有效性。設(shè)起始剎車時刻Vx（0）=72 m/s，ω（0）=180 rad/s，xi（0）=0，λ*=0.15，λp=

系統(tǒng)主要參數(shù)見表1。

表1　系統(tǒng)參數(shù)

3.2仿真結(jié)果

穩(wěn)定性相關(guān)的參數(shù)設(shè)置為r=10，σ=2，控制器參數(shù)設(shè)置為：κ1=10，κ2=103，κ3=100，κ4=200，濾波參數(shù)設(shè)置為：τ2=0.02，τ3=0.01，τ4=5×10-3，按本文方法設(shè)計控制律，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4　本文算法仿真結(jié)果

從圖4可以看出，本文算法對期望滑移率實現(xiàn)較良好跟蹤，起始剎車效果較顯著，說明機電作動機構(gòu)具有較快的啟動速度，剎車工作點始終位于μmax兩側(cè)小范圍內(nèi)。

與常規(guī)動態(tài)面控制相對比，驗證本文算法約束滑移率上界的作用。在本文算法中，式（16）取二次型Lyapunov函數(shù)V1=z21/2，控制器參數(shù)及穩(wěn)定性結(jié)論不變。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5　常規(guī)動態(tài)面控制仿真結(jié)果

由圖4可知，在剎車起始階段機輪速度呈現(xiàn)一定程度的振蕩，此后迅速趨于平穩(wěn)，這說明常規(guī)動態(tài)面控制可實現(xiàn)對滑移率的良好跟蹤，但在飛機縱向速度較高時出現(xiàn)嚴重機輪打滑，這意味著剎車工作點已進入不穩(wěn)定區(qū)域，此時飛機升力作用較顯著，主輪載荷較小，尚未完全實現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定，在冰跑道這種低摩擦路面下保持側(cè)向穩(wěn)定性極為關(guān)鍵，實際工程中應著力避免高速階段出現(xiàn)的機輪深度打滑現(xiàn)象。

現(xiàn)有防滑控制通常采用多門限PID控制器，缺陷在于控制效果依賴于參數(shù)整定，且無法保障飛機側(cè)向穩(wěn)定性，相同初始條件下的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6　多門限PID算法仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果可以看出，隨著剎車進程滑移率逐漸加大，在中速階段較為明顯，低速階段更為嚴重，機輪逐漸處于深打滑狀態(tài)，這是實際剎車系統(tǒng)的常態(tài)。對比結(jié)果體現(xiàn)出本文方法具有較好的控制性能，顯著提升飛機側(cè)向穩(wěn)定性。

4　結(jié)　論

在分析飛機全電防滑剎車系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于BLF的動態(tài)面控制算法，對控制器進行穩(wěn)定性分析及仿真驗證，得到如下結(jié)論：

（1）剎車系統(tǒng)存在側(cè)向穩(wěn)定性問題，采用傳統(tǒng)控制策略難以保障剎車工作點的穩(wěn)定性；

（2）基于BLF方法的動態(tài)面控制可實現(xiàn)對滑移率的實時約束，保障飛機側(cè)向穩(wěn)定性，改善了常規(guī)控制存在的低速段滑移率振蕩問題；

（3）不同跑道下結(jié)合系數(shù)變化很大，需要不同的目標滑移率設(shè)定，這是由剎車系統(tǒng)的本質(zhì)特征決定的。如何針對不同跑道實現(xiàn)控制器參數(shù)的自整定，是需要進一步研究的課題。

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陳曉雷（1980），男，博士研究生，主要研究方向為非線性控制、伺服系統(tǒng)。

E-mail：chenilc@126.com

林輝（1957-），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為迭代學習控制、電力電子技術(shù)。

E-mail：linhui@nwpu.edu.cn

戴志勇（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為電機驅(qū)動技術(shù)。

E-mail：daizhiyong9251@163.com

Enhanced stability dynamic surface control for aircraft antiskid braking system using electromechanical actuator

LI Bing-qiang，CHEN Xiao-lei，LIN Hui，DAI Zhi-yong
（School of Automation，Northwestern Polytechnical Uniυersity，Xi'an 710129，China）

For overcoming the higher order nonlinearity and parameters variability in the model of the antiskid braking system（ABS）of aircraft，a dynamic surface control approach based on the barrier Lyapunov function（BLF）is proposed to design the slip ratio tracking control with an output upper constraint.The primary purpose of the BLF is to keep the closed-loop system operates within the stable region of the adhesion coefficient curve.As for control purpose，only longitudinal dynamics of the aircraft are considered，in combination with the model of the electromechanical actuator，the whole state space model of the ABS is described as the strict feedback form.In some ways，the control objective should be regarded as the stabilization of the nonlinear system with output constraints.Lyapunov stability analysis of the closed-loop system indicates that the proposed control strategy guaranteed the tracking error of slip ratio is semi-globally uniformly ultimately bounded and converging toward an arbitrarily small neighborhood of the origin.Simulation results validate the effectiveness of the proposed method.Compared with the traditional control method，this control scheme not only has an obvious advantage in its stability but also avoid the large oscillation of the slip ratio particularly at the end of the braking.As a result，the performance of the system is enhanced significantly.

electromechanical actuator；antiskid braking system（ABS）；dynamic surface control；barrier Lyapunov function（BLF）；brushless DC motors

TP 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.26

1001-506X（2016）05-1139-07

2015-02-26；

2015-07-15；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2016-01-12。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1742.016.html

國家自然科學基金（51407143）；高等學校博士學科點專項科研基金（20136102120049）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金（3102014JCQ01066）；陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃青年項目（2014JQ7264）；陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃面上項目（2015JM5227）；陜西省微特電機及驅(qū)動技術(shù)重點實驗室開放基金（2013SSJ10022）資助課題

李兵強（1982-），男，副教授，博士后，主要研究方向為現(xiàn)代電機控制技術(shù)、迭代學習控制。

E-mail：libingqiang@nwpu.edu.cn