孫延超，陳亮名，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江　哈爾濱 150001）

考慮時延的多Euler-Lagrange系統(tǒng)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)跟蹤控制

孫延超，陳亮名，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

考慮存在通訊時延，在有向通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下研究多Euler-Lagrange系統(tǒng)的協(xié)調(diào)跟蹤控制問題。僅有部分跟隨者可以獲得靜態(tài)領(lǐng)航者信息。對每一個跟隨者設(shè)計了一種分布式觀測器，以獲得領(lǐng)航者的狀態(tài)量。針對系統(tǒng)模型具有非線性不確定性和外部擾動情況，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法提出了兩種分布式自適應(yīng)協(xié)調(diào)控制律，分別使每一個跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零。運用Lyapunov穩(wěn)定性理論對兩種控制律的穩(wěn)定性進行了證明。數(shù)值仿真驗證了本文提出的控制律的有效性。

分布式控制；Euler-Lagrange系統(tǒng)；協(xié)調(diào)跟蹤；通訊時延；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)址：www.sys-ele.com

0　引　言

近年來，多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制問題引起了廣泛的關(guān)注，在許多領(lǐng)域呈現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。例如，文獻［1］針對航天器編隊飛行問題，基于多智能體協(xié)調(diào)控制方法使系統(tǒng)的狀態(tài)最終趨于一致。文獻［2］研究了傳感器網(wǎng)絡(luò)的協(xié)調(diào)控制問題，并設(shè)計了完全分布式控制器。文獻［3］研究了移動機器人的協(xié)調(diào)控制問題。在多智能體系統(tǒng)中，通過智能體間的相互協(xié)作能夠完成單個運動體無法完成的復(fù)雜任務(wù)，并提高系統(tǒng)的效率、靈活性和可靠性［4］。

多智能體協(xié)調(diào)控制可以分為兩大類問題：無領(lǐng)航者的一致性問題和有領(lǐng)航者的跟蹤控制問題。對于無領(lǐng)航者的一致性，每個智能體通過和鄰居進行信息交互來更新自己的狀態(tài)，從而使所有智能體的狀態(tài)趨于一個共同值。文獻［5］研究了一類機械系統(tǒng)的一致性問題，提出了一種有效的分布式控制律。文獻［6］考慮了系統(tǒng)的有限時間特性，對多智能體系統(tǒng)的一致性問題進行了研究。文獻［7］針對多機械臂系統(tǒng)，考慮了非線性動態(tài)特性，提出一種自適應(yīng)一致控制律使所有系統(tǒng)狀態(tài)趨于共同值。然而，一致性問題最終的共同值往往是假定的一個常數(shù)或者是初始狀態(tài)的加權(quán)和，這給應(yīng)用帶來較大的限制。作為一種更有效的協(xié)調(diào)控制方案，有領(lǐng)航者的協(xié)調(diào)跟蹤控制是指對跟隨者設(shè)計分布式控制律，使所有跟隨者的狀態(tài)都趨于領(lǐng)航者的狀態(tài)。其中領(lǐng)航者的運動獨立于跟隨者，但會影響跟隨者，因此通過設(shè)定領(lǐng)航者的目標(biāo)軌跡就可以達到整個智能體系統(tǒng)的控制目標(biāo)，因此降低了設(shè)計和控制成本。文獻［8］針對一類機械物理系統(tǒng)，考慮領(lǐng)航者具有時變軌跡情況，研究了協(xié)調(diào)跟蹤控制問題。文獻［9］在只有部分跟隨者可以獲得領(lǐng)航者信息的前提下，研究了機械系統(tǒng)的協(xié)調(diào)跟蹤控制問題，但沒有考慮通訊時延的影響。文獻［10］分別在固定和切換通訊拓?fù)湎?，研究了一類非線性系統(tǒng)的協(xié)調(diào)跟蹤控制問題，同樣沒有考慮時延的影響。實際上大多系統(tǒng)都存在模型非線性情況，因此按一階或二階積分系統(tǒng)進行建模存在一定問題［11-12］。Euler-Lagrange（EL）方程可以用來對大多實際系統(tǒng)進行建模，如航天器、自動車輛、操作機器人、多機械臂等［6，13］。因此，多EL系統(tǒng)分布式協(xié)調(diào)控制問題具有更強的實際應(yīng)用價值。文獻［14］對多EL系統(tǒng)的分布式跟蹤控制問題進行了研究，考慮系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性，假設(shè)EL系統(tǒng)滿足參數(shù)線性化條件，通過分布式滑模估計器補償系統(tǒng)不確定性，并設(shè)計分布式控制律使系統(tǒng)狀態(tài)達到一致。文獻［15］通過參數(shù)線性化的方法處理系統(tǒng)的不確定性，研究了多EL系統(tǒng)的蜂擁控制問題。

對于多智能體協(xié)調(diào)控制的研究，考慮系統(tǒng)模型存在非線性不確定性和外部擾動具有一定的挑戰(zhàn)性。文獻［16］針對多EL系統(tǒng)，設(shè)計了兩種分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律，實現(xiàn)了跟蹤誤差的漸近收斂。文獻［17］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法逼近與補償系統(tǒng)的非線性不確定性，針對多EL系統(tǒng)提出了一種不利用鄰居信息的分布式跟蹤控制律，并保證了跟蹤誤差的有界性。針對輸入干擾問題，文獻［18］針對多EL系統(tǒng)，基于終端滑模技術(shù)提出了分布式魯棒控制律，使系統(tǒng)狀態(tài)趨于一致。在實際情況下，由于多智能體系統(tǒng)必須通過通訊才能交互信息，因此不可避免地存在通訊時延現(xiàn)象。通訊時延是多智能體協(xié)調(diào)控制研究必須考慮的一個問題?；贓L模型方法，文獻［19］針對多星編隊系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤控制問題，考慮通訊時延，設(shè)計分布式控制律使所有跟隨星的姿態(tài)趨于領(lǐng)航星的姿態(tài)；文獻［20］研究無人機的編隊飛行問題，在考慮通訊時延的情況下，同樣實現(xiàn)了編隊控制任務(wù)。考慮切換通訊拓?fù)浜屯ㄓ崟r延影響，文獻［21］針對異構(gòu)多EL系統(tǒng)，提出了一種分布式控制算法，使所有系統(tǒng)的運動狀態(tài)趨于一致；文獻［22］研究了多EL系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制問題，并同時考慮了系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性和通訊時延的情況，但假設(shè)期望軌跡全局已知。目前對存在通訊時延的多EL系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制的研究還比較少，從工程實際的角度有必要進行深入的研究。

基于上述文獻綜述，本文針對多EL系統(tǒng)，在有向通訊拓?fù)湎?，同時考慮存在通訊時延以及模型非線性不確定性、外部擾動的情況，通過設(shè)計兩種分布式協(xié)調(diào)控制律使所有跟隨者實現(xiàn)對靜態(tài)領(lǐng)航者的跟蹤控制，并分別使跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零。和已有文獻相比，本文的研究特色在于：①本文考慮的通訊拓?fù)浜型ㄓ崟r延，模型具有非線性不確定性及外部擾動，更符合實際情況；②對每一個跟隨者設(shè)計分布式觀測器，在存在通訊時延情況下有效觀測出領(lǐng)航者的狀態(tài)量；③基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法分別設(shè)計了兩種自適應(yīng)協(xié)調(diào)控制律，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論對兩種控制律的穩(wěn)定性進行了證明，并利用數(shù)值仿真驗證了兩種控制律的有效性。

1　數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和問題描述

1.1EL動力學(xué)方程

本文假設(shè)系統(tǒng)由n+1個智能體組成，其中有n個跟隨者（記為Ι=｛1，2，…，n｝）和1個靜態(tài)領(lǐng)航者（記為n+1）。跟隨者i的動力學(xué)模型由EL方程表示為

在本文分析中，假設(shè)如式（1）所示的EL方程滿足以下假設(shè)和性質(zhì)：

假設(shè)1外部擾動ωi是有界的，并存在正常數(shù)ωMi，使‖ωi‖≤ωMi。

式中，v∈Rm為輔助狀態(tài)量；S∈Rm×m和F∈Rp×m為常值實數(shù)矩陣。

注1通過合理選取v的初值以及矩陣S和F的維數(shù)和元素，可以保證qn+1保持為常值向量。

1.2代數(shù)圖論

用有向圖來描述智能體間的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。有向圖G=（υ，ε，A由頂點集υ=｛1，…，n，n+1｝，邊集ε?υ×υ和鄰接矩陣組成。有向圖的邊（υi，υj）∈ε 表示智能體j能夠獲取智能體i的信息，υi為υj的父節(jié)點，υj為υi的子節(jié)點，并記υi為υj的鄰居，υi所有父節(jié)點組成的集合Ni為智能體i的鄰居集。若有向圖中除了一個節(jié)點（稱為根節(jié)點）外，其余每個節(jié)點均有且僅有一個父節(jié)點，且存在根節(jié)點到其余任何節(jié)點的路徑，則稱該有向圖為有向樹。有向圖的有向生成樹為包含該有向圖所有節(jié)點的有向樹。如果有向圖存在一個為有向生成樹的子圖，則稱該有向圖具有有向生成樹。

假設(shè)2有向圖G具有一個有向生成樹。

1.3問題描述

本文研究在有向圖G下由n個跟隨者和1個領(lǐng)航者組成的多EL系統(tǒng)，在存在模型非線性不確定性、外部擾動和恒定通訊時延的情況下，通過設(shè)計合適的分布式觀測器和分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律，實現(xiàn)跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤控制。

2　分布式協(xié)調(diào)跟蹤控制律設(shè)計

2.1分布式觀測器設(shè)計與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)

由于領(lǐng)航者的狀態(tài)不是全局已知，為了實現(xiàn)所有跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤控制，對于每一個跟隨者，首先設(shè)計分布式觀測器為

式中，ηi∈Rm、τ分別為跟隨者i對領(lǐng)航者輔助狀態(tài)v的估計、智能體間通訊的固定時延。其中

并且假設(shè)ηn+1=v。

引理1對于分布式觀測器（3），在滿足假設(shè)2的條件下，如果存在正定對稱矩陣P，T∈Rnm×nm，使得Q矩陣為負(fù)定

證明由于領(lǐng)航者為靜態(tài)，所以根據(jù)式（2b）可得v為常值，所以有v（t-τ）=v（t），因此將式（2）代入式（3）可以得到

由于矩陣Q的形式與文獻［25］中的式（9.1.2）形式類似，因此根據(jù)文獻［25］中定理9.1.1可以得到當(dāng)存在正定對稱矩陣P和T，使Q負(fù)定時，有證畢

注2對于矩陣P和T的求解過程，采用的是比較成熟的線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）求解技術(shù)。具體的求解方法和程序可以參考文獻［25］“附錄A.4”內(nèi)容。并且值得說明的是，由于矩陣Q的形式和維數(shù)不是非常復(fù)雜，所以一般可以找到滿足要求的矩陣解。

提出輔助變量

式中，α為正常數(shù)。將式（6）帶入式（1），可以得到

基于本節(jié)提出的分布式觀測器（3）、輔助變量（5）以及估計方程（9），以下分別設(shè)計兩種分布式自適應(yīng)控制律，以實現(xiàn)跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤控制。

2.2跟蹤誤差最終有界的分布式控制律設(shè)計

對跟隨者系統(tǒng)（1），提出分布式控制律

式中，Wi為最優(yōu)權(quán)值矩陣；φi為激活函數(shù)；εi表示有界逼近誤差。那么跟隨者i對fi的估計變量可以設(shè)計為

定理1在假設(shè)1、假設(shè)2成立的條件下，考慮存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統(tǒng)（1），通過有向圖G進行通訊，且存在恒定通訊時延τ的情況下，在分布式觀測器（3）和自適應(yīng)控制律（10）的作用下，當(dāng)滿足δλmin（K）＞1/2時，可以使跟隨者和靜態(tài)領(lǐng)航者間的跟蹤誤差趨于最終有界。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對V求導(dǎo)可得

將式（7）、式（9）和式（10）帶入式（12），并根據(jù)性質(zhì)1可以得

式中，δ為正常數(shù)。

根據(jù)矩陣相關(guān)的放縮運算，式（16）關(guān)系式成立。

根據(jù)式（13）～式（16）可以得到

記λmin（·）表示矩陣的最小特征值，則式（17）可以寫為

式（18）可以表示為

式中

由式（19）可得

因此，可以通過選取K和δ使得δλmin（K）＞1/2，則β＞0。又因為C＞0，因此可得

由si的定義，可以得到

根據(jù)引理1和式（21）～式（22）可以得到

進一步求解計算可得

又因為

根據(jù)引理1和式（24）可得

因此得出在分布式觀測器（3）和自適應(yīng)控制律（10）作用下各跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤誤差最終有界的結(jié)論。證畢

2.3跟蹤誤差漸近收斂的分布式控制律設(shè)計

本節(jié)在第2.2節(jié)基礎(chǔ)上提出一種改進的分布式自適應(yīng)控制律，保證所有跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤誤差漸近收斂到零。

對跟隨者系統(tǒng)（1），提出分布式控制律

式中，γ為正常數(shù)；Ki為正定對稱矩陣；ki為正常數(shù)且滿足ki≥‖ωi+εi‖1。

定理2在假設(shè)1、假設(shè)2成立的條件下，考慮存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統(tǒng)（1），通過有向圖G進行通訊，且存在恒定通訊時延τ的情況下，在分布式觀測器（3）和自適應(yīng)控制律（26）的作用下，可以使跟隨者和靜態(tài)領(lǐng)航者間的跟蹤誤差漸近收斂到零。

證明構(gòu)造以下Lyapunov函數(shù)

將控制器（26）代入式（7）有

仿照定理1的證明過程式（11）～式（13）可以得到

由式（14）和式（15）可得

根據(jù)式（27）與式（30）可以得到si∈L∞，并且存在V∞∈［0，V（0）］使得lim V（t）=V∞。對式（30）兩邊積分可得

由si的定義，給出穩(wěn)態(tài)一階微分方程

由式（32）和引理1（即ˉηi→0m），可以得到

因此得出在分布式觀測器（3）和自適應(yīng)控制律（26）作用下各跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤誤差漸近收斂到零的結(jié)論。證畢

根據(jù)式（24）和式（34）可以得到

3　仿真實驗

通過仿真實驗驗證兩種控制律的有效性?？紤]由5個兩自由度機械臂構(gòu)成的有向通訊網(wǎng)絡(luò)，其中編號1～4為跟隨者，編號5為領(lǐng)航者，如圖1所示。

圖1　智能體間通訊拓?fù)鋱D

每個跟隨者的EL動力學(xué)方程為

靜態(tài)領(lǐng)航者的位置選取為

相對應(yīng)的式（2）中的模型參數(shù)分別取為

跟隨者狀態(tài)的初始參數(shù)取為

考慮系統(tǒng)通訊時延為τ=0.05 s。對跟隨者i（i=1，2，3，4），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)向量取為

式中，φij（z）是Guassian函數(shù)，即

控制律（10）的控制參數(shù)選取為Ki=36I2，γ=1，μ= 10，α=10。控制律（26）的控制參數(shù)選取為Ki=36I2，ki= 300，γ=1，α=10。

圖2和圖3分別表示在自適應(yīng)控制律（10）的作用下，各跟隨者跟蹤領(lǐng)航者的運動軌跡。

圖2　各跟隨者關(guān)節(jié)1跟蹤領(lǐng)航者關(guān)節(jié)1的運動軌跡

圖3　各跟隨者關(guān)節(jié)2跟蹤領(lǐng)航者關(guān)節(jié)2的運動軌跡

圖4和圖5分別表示在自適應(yīng)控制律（26）的作用下，各跟隨者跟蹤領(lǐng)航者的運動軌跡。

圖4　各跟隨者關(guān)節(jié)1跟蹤領(lǐng)航者關(guān)節(jié)1的運動軌跡

由圖2～圖5可知，在分布式觀測器（3）和自適應(yīng)控制律式（10）與式（26）作用下，所有跟隨者與領(lǐng)航者間的跟蹤誤差均可趨于收斂。對比圖2與圖4以及圖3與圖5可以發(fā)現(xiàn)，相比于控制律式（10），在控制律式（26）作用下跟隨者對領(lǐng)航者的跟蹤過程具有更小的超調(diào)和更好的動態(tài)特性，證明了控制律式（26）是相對于控制律式（10）的改進。

圖5各跟隨者關(guān)節(jié)2跟蹤領(lǐng)航者關(guān)節(jié)2的運動軌跡

4　結(jié)　論

在有向通訊拓?fù)湎?，針對時延網(wǎng)絡(luò)中存在模型非線性不確定性和外部擾動的多EL系統(tǒng)的分布式協(xié)調(diào)跟蹤控制問題，提出了兩種分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律，分別使跟隨者和領(lǐng)航者間的跟蹤誤差最終有界和漸近收斂到零?？紤]通訊時延，本文首先設(shè)計了一種分布式觀測器，實現(xiàn)了對領(lǐng)航者狀態(tài)量的觀測。然后，提出了第一種分布式控制律，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法逼近模型的非線性不確定性，理論上證明了跟蹤誤差可以最終有界；在此基礎(chǔ)上，提出了改進的控制律，通過引入符號函數(shù)項，設(shè)置符號函數(shù)的增益值，得到了跟蹤誤差漸近收斂到零的結(jié)論。仿真實驗驗證了所提出的控制律的有效性。在本文研究結(jié)果基礎(chǔ)上，下一步將考慮動態(tài)領(lǐng)航者，且存在通訊時變時延情況下的分布式協(xié)調(diào)控制問題。

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制、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

E-mail：sunyanchao@hit.edu.cn

陳亮名（1993-），男，博士研究生，主要研究方向為多智能體協(xié)同控制、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

E-mail：chenlm_hit@163.com

李傳江（1978-），男，教授，博士，主要研究方向為最優(yōu)控制、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

E-mail：lichuan@hit.edu.cn

馬廣富（1963-），通訊作者，男，教授，博士，主要研究方向為最優(yōu)控制、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

E-mail：magf@hit.edu.cn

Adaptive neural-network coordinated tracking control of multiple Euler-Lagrange systems with communication delays

SUN Yan-chao，CHEN Liang-ming，LI Chuan-jiang，MA Guang-fu
（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Considering communication delays，the coordinated tracking control problems of multiple Euler-Lagrange systems under a directed graph are investigated.The information of the static leader is available to only a subset of the followers.First，the distributed observer is designed so that the state information of the leader can be estimated by every follower.Then，considering model nonlinear uncertainties and external disturbances，two distributed adaptive control algorithms based on neural networks are proposed to make sure that the tracking errors for every follower can be bounded and asymptotically convergent，respectively.The closed-loop systems are investigated by using the Lyapunov theory and the graph theory.Numerical simulations are provided to verify the effectiveness of the proposed methods.

distributed control；Euler-Lagrange system；coordinated tracking；communication delays；neural networks

TP 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.25

1001-506X（2016）05-1132-07

2015-02-10；

2015-10-19；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-01-12。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1743.018.html

國家自然科學(xué)基金（61174200，61304005）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20102302110031）資助課題

孫延超（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為多智能體協(xié)同控