朱堅民　 何丹丹　 田豐慶　 趙全龍

上海理工大學(xué)，上海，200093

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一種新的預(yù)測銑刀刀尖頻響函數(shù)的方法

朱堅民 何丹丹 田豐慶 趙全龍

上海理工大學(xué)，上海，200093

為準確快速地預(yù)測銑刀刀尖點頻響函數(shù)，提出一種基于逆響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析(IRCSA)法辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)的刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測方法。該方法通過建立計算刀柄末端頻響函數(shù)矩陣和刀尖點頻響函數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)模型，利用逆響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法求取隨頻率變化的刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)。通過Cuckoo search算法及有限元分析確定刀尖點頻響函數(shù)中對刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣變化最為敏感的固有頻率，取該頻率對應(yīng)的結(jié)合面參數(shù)為刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的辨識結(jié)果，由此計算出刀尖點頻響函數(shù)。通過硬質(zhì)合金圓柱棒、2刃銑刀和4刃銑刀進行驗證，對比了所提預(yù)測方法、Cuckoo search優(yōu)化算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)與實測值三者之間的差異，實驗結(jié)果表明該預(yù)測方法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率和實測固有頻率的誤差在5%以內(nèi)，所用時間約為Cuckoo search優(yōu)化算法的1%，達到了較高的預(yù)測精度，并且更加省時、簡便。

刀尖點頻響函數(shù)；逆響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析(IRCSA)；結(jié)合面復(fù)剛度矩陣；Cuckoo search算法；預(yù)測

0　引言

數(shù)控機床主軸系統(tǒng)包含主軸-刀柄、刀柄-刀具等特性較為復(fù)雜的結(jié)合面，結(jié)合面作為主軸系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，其模型的準確性直接影響到主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)的預(yù)測精度[1]。

國內(nèi)外學(xué)者在考慮主軸系統(tǒng)結(jié)合面建模預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)的研究方面進行了較多的探索和嘗試，主要可歸納為兩大類，第一類是通過優(yōu)化算法辨識結(jié)合面參數(shù)，即以主軸系統(tǒng)中的結(jié)合面參數(shù)為優(yōu)化變量，以刀尖點頻響函數(shù)(frequency response function,FRF)的實測值和理論值之間誤差的最小值為目標函數(shù)，通過優(yōu)化算法搜索到結(jié)合面參數(shù)的最優(yōu)解。如Schmitz等[2]基于響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析 (receptance coupling substructure analysis，RCSA) 法，采用集中的彈簧阻尼單元建立刀柄-刀具結(jié)合面模型，通過最小二乘法辨識結(jié)合面參數(shù)。Wang等[3]基于RCSA法，采用粒子群優(yōu)化(PSO)算法辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)。閆蓉等[4]以均勻分布的彈簧-阻尼單元模擬刀柄-刀具結(jié)合部之間的柔性連接，采用遺傳算法(GA)辨識刀柄-刀具結(jié)合部的剛度和阻尼系數(shù)。Xiao等[5]建立了模擬主軸-刀柄錐部結(jié)合面的實驗?zāi)Ｐ蛣恿W(xué)方程，采用非線性最小二乘法識別出結(jié)合部參數(shù)。第二類是通過建立結(jié)合面的理論分析模型確定結(jié)合面參數(shù)。如趙萬華等[6]基于經(jīng)典力學(xué)和吉村允孝結(jié)合面接觸剛度積分計算法，提出一種考慮刀具-夾套、夾套-刀柄以及刀柄-主軸結(jié)合部特性的主軸系統(tǒng)動力學(xué)建模方法。Yang等[7]基于振動理論建立了刀柄-彈性夾頭-刀具三者之間無質(zhì)量連續(xù)彈性層的動力學(xué)模型。Schmitz等[8]提出了基于刀柄-刀具多點結(jié)合面參數(shù)模型的刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測方法，利用胡克定理和黏性阻尼等效原理，通過ANSYS分析計算出結(jié)合面參數(shù)。陳建等[9]基于文獻[8]的方法辨識了主軸-刀柄、刀柄-刀具的結(jié)合面參數(shù)，探究了主軸系統(tǒng)中各個結(jié)合面對主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

上述文獻中，采用優(yōu)化算法辨識結(jié)合面參數(shù)的方法雖然可達到一定的辨識精度，但是需要在測試頻帶內(nèi)進行全頻帶的搜索，計算量較大、尋優(yōu)時間長，且參數(shù)的辨識精度依賴于優(yōu)化算法的性能和搜索空間的合理設(shè)置。理論分析法雖然有助于深入了解結(jié)合面的特性，但是采用該方法進行分析計算時，需對結(jié)合面的實際結(jié)構(gòu)進行簡化，并對結(jié)合面模型進行假設(shè)，導(dǎo)致該方法的建模精度與實際情況存在一定的差異。

此外，多數(shù)文獻未考慮結(jié)合面模型中力矩對位移的耦合作用以及力對轉(zhuǎn)角的耦合作用，而Park等[10]認為準確預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)時需考慮主軸系統(tǒng)各個子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動頻響函數(shù)。Burns等[11]也指出基于考慮耦合作用的結(jié)合面模型所預(yù)測出的刀尖點頻響函數(shù)更加準確。

針對上述問題，本文提出了一種基于逆響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析(inverse receptance coupling substructure analysis，IRCSA)法快速辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)的刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測方法。通過Cuckoo search優(yōu)化算法和ANSYS仿真分析，確定對刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)變化最為敏感的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率，取該頻率下的結(jié)合面參數(shù)為刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的數(shù)值，并據(jù)此預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)。

1　主軸系統(tǒng)刀柄-刀具結(jié)合面建模

主軸系統(tǒng)主要包括主軸、刀柄、刀具，對于確定的主軸系統(tǒng)，與之配合的刀柄基座的幾何尺寸是確定不變的[12]，而安裝在刀柄中的刀具經(jīng)常更換，因此本文將主軸和刀柄基座視為一體，僅考慮刀柄-刀具之間結(jié)合面的建模。本文采用IRCSA法辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)，并據(jù)此預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)。IRCSA是RCSA的逆過程，RCSA法是Schmitz等[2]于2000年提出用于預(yù)測銑削系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)的方法，該方法將機床整機劃分為若干個子結(jié)構(gòu)，通過理論計算或?qū)嶒灉y試確定各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣，然后通過位移協(xié)調(diào)方程和力平衡方程耦合各子結(jié)構(gòu)，進而獲得結(jié)構(gòu)整體的頻響函數(shù)矩陣。而IRCSA則是利用系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣反求出RCSA中除系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣以外的其他未知參數(shù)矩陣的過程，與RCSA相比，其關(guān)鍵點在于系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣的計算。

本文先將機床-主軸系統(tǒng)劃分為刀具(子結(jié)構(gòu)Ⅰ)、機床-主軸-刀柄(子結(jié)構(gòu)Ⅱ)兩個子結(jié)構(gòu)，兩個子結(jié)構(gòu)之間通過彈簧阻尼單元連接，如圖1所示。

圖1　機床-主軸系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分示意圖

圖1中，K表示子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ之間的結(jié)合面復(fù)剛度矩陣?；赗CSA原理耦合子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ得

GSHT11=T11-T12a(T2a2a+GSH2b2b+K-1)-1T2a1

(1)

其中，GSHT11為刀尖點頻響函數(shù)矩陣；GSH2b2b為刀柄末端的頻響函數(shù)矩陣；K為未知參數(shù)矩陣，根據(jù)IRCSA得

K=(T2a1(T11-GSHT11)-1T12a-T2a2a-GSH2b2b)-1

(2)

其中，Tij為子結(jié)構(gòu)Ⅰ在自由狀態(tài)下的頻響函數(shù)矩陣(i,j=1,2a)。K可表示為

(3)

式中，k1、c1分別為刀柄-刀具結(jié)合面受力載荷作用的平動剛度和平動阻尼；k2、c2分別為刀柄-刀具結(jié)合面受力矩作用的平動剛度和平動阻尼；k3、c3分別為刀柄-刀具結(jié)合面受力載荷作用的轉(zhuǎn)動剛度和轉(zhuǎn)動阻尼；k4、c4分別為刀柄-刀具結(jié)合面受力矩作用的轉(zhuǎn)動剛度和轉(zhuǎn)動阻尼；ω為角頻率。

對于本文所研究的主軸系統(tǒng)，根據(jù)Maxwell互易性原理[13]，可知k2=k3，c2=c3。則K中只有k1、k2、k4、c1、c2、c4六個未知參數(shù)。

目前在結(jié)合面建模研究方面，一般將刀柄-刀具結(jié)合面簡化為一個集中的彈簧阻尼單元或多個并聯(lián)的均勻彈簧阻尼單元，即將刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)視為不隨頻率變化的常數(shù)。所以理論上，通過式(2)求解刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)時，同一個結(jié)合面參數(shù)在任意頻率處的計算結(jié)果應(yīng)相等。但是在實際測量與計算時，由于系統(tǒng)在不同頻率處的頻響函數(shù)幅值大小不等，在固有頻率處的頻響幅值較大，而在非固有頻率處的頻響幅值較小，一般接近于0，因此通過式(2)計算得到的刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)在測試頻帶內(nèi)的數(shù)值大小不等。為確定刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)，本文首先通過比PSO算法[3]、GA算法[4]搜索性能更好的Cuckoo search算法辨識出刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)，確定結(jié)合面復(fù)剛度矩陣，然后通過改變結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的放大倍數(shù)，利用ANSYS仿真分析出對刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)變化最為敏感的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率，結(jié)合式(2)，取該頻率下的結(jié)合面參數(shù)為K的取值。

為準確求解式(2)，還需確定GSHT11、GSH2b2b以及Tij(i,j=1,2a)，具體推導(dǎo)見第2節(jié)。

2　各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣的計算

式(1)、式(2)中，Tij、GSHT11依次表示為

(4)

(5)

式中，Hij、Lij、Nij和Pij依次為子結(jié)構(gòu)Ⅰ在j點激勵下i點獲得響應(yīng)的位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩頻響函數(shù)(i,j=1,2a)；Fj、Mj分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ在j點處所受到的外力和外力矩；Xi、θi分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ在外力和外力矩的作用下i點處的平動位移和轉(zhuǎn)角。HSHT11、LSHT11、NSHT11和PSHT11依次表示刀尖點的位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩頻響函數(shù)，其中HSHT11也可稱為刀尖點原點頻響函數(shù)，以下簡稱為刀尖點頻響函數(shù)。

圖1中，刀具(子結(jié)構(gòu)Ⅰ)可簡化為EB梁模型，其頻響函數(shù)Tij(i,j=1,2a)的計算可參考文獻[13]。

式(2)中，GSH2b2b和GSHT11包含轉(zhuǎn)動頻響函數(shù)，因轉(zhuǎn)角不易測量，故與轉(zhuǎn)動自由度相關(guān)的頻響函數(shù)難以得到。目前，一般采用間接法求解轉(zhuǎn)動頻響函數(shù)，如一階、二階有限差分法[14]以及多段EB梁優(yōu)化法[15]。有限差分法的計算精度依賴于所設(shè)激勵點之間的距離大小，目前沒有確定該距離的理論依據(jù)；多段EB梁優(yōu)化法需要優(yōu)化的待定參數(shù)較多，方法相對繁瑣。為此，本文建立了計算GSH2b2b和GSHT11的數(shù)學(xué)模型，分別進行一次實驗測量，通過求解方程組分別得到GSH2b2b和GSHT11。本節(jié)以求解刀柄末端的頻響函數(shù)矩陣GSH2b2b為例進行說明。

將機床-主軸-刀柄(子結(jié)構(gòu)Ⅱ)進一步劃分為機床-主軸-刀柄基座和剩余刀柄兩個子結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

(a)機床-主軸-刀柄的結(jié)構(gòu)示意圖

(b)機床-主軸-刀柄基座和剩余刀柄子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖圖2　刀柄末端頻響函數(shù)矩陣GSH2b2b的計算模型

圖2中，XS2、θS2分別表示在外力和外力矩的作用下刀柄基座末端處的平動位移和轉(zhuǎn)角。XH2、θH2分別表示在外力和外力矩的作用下剩余刀柄子結(jié)構(gòu)在點2處的平動位移和轉(zhuǎn)角。XH1、θH1分別表示在外力和外力矩的作用下剩余刀柄子結(jié)構(gòu)在點1處的平動位移和轉(zhuǎn)角。XSH1、θSH1分別表示在外力和外力矩的作用下機床-主軸-刀柄在點1處的平動位移和轉(zhuǎn)角。XSH2、θSH2分別表示在外力和外力矩的作用下機床-主軸-刀柄在點2處的平動位移和轉(zhuǎn)角。

根據(jù)圖2中兩個子結(jié)構(gòu)之間的位移協(xié)調(diào)方程和力平衡方程，可得

(6)

(7)

結(jié)合式(6)、式(7)，消去FH2和MH2。由于FH2和MH2的展開式較為復(fù)雜，故需對FH2和MH2進行簡化。由式(6)可知，F(xiàn)H2和MH2可表示成FSH1、FSH2、MSH2的函數(shù)，即

(8)

聯(lián)立式(6)、式(8)，根據(jù)等式兩邊FSH2、MSH2前的系數(shù)對應(yīng)項相等，可得

(9)

聯(lián)立式(7)、式(8)，經(jīng)過整理得

(10)

式(10)中，HSHX1F1、HSHX1F2、HSHX2F1、HSHX2F2可通過實驗測試得到。

根據(jù)互易性原理，式(10)中，HSHX2F1=HSHX1F2。再根據(jù)RCSA原理，將剩余刀柄子結(jié)構(gòu)劃分成多段EB梁，如圖3所示。根據(jù)文獻[13]計算各子結(jié)構(gòu)在自由狀態(tài)下兩端的頻響函數(shù)矩陣，經(jīng)過耦合得到

會上，牟嘉云在致辭中說：“2018年，云圖控股在國際國內(nèi)經(jīng)濟形勢如此嚴峻的情況下，依然取得了驕人的業(yè)績?！彼硎?，前三個季度云圖控股的復(fù)合肥、聯(lián)堿、品種鹽、磷酸一銨等產(chǎn)品銷量業(yè)績突出，實現(xiàn)銷售收入59.3億元，歸屬上市公司股東的凈利潤比去年同期增長68.23%。她說：“預(yù)計到2018年可實現(xiàn)銷售收入80億元，上交稅費3.3億元?！?/p>

圖3　剩余刀柄子結(jié)構(gòu)劃分示意圖

GSH2b2b=DH2b2b-DH2b5a(DH5a5a+S5b5b)-1DH5a2b

(11)

式(11)中，GSH2b2b可寫成

(12)

DH2b2b、DH2b5a分別表示為圖2b中剩余刀柄子結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)下在點1處的原點頻響函數(shù)矩陣和跨點頻響函數(shù)矩陣，可分別寫成

(13)

(14)

DH5a5a、DH5a2b分別表示圖2b中剩余刀柄子結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)下在點2處的原點頻響函數(shù)矩陣和跨點頻響函數(shù)矩陣，根據(jù)互易性原理，DH2b5a=DH5a2b，DH5a5a可寫成

(15)

S5b5b為刀柄基座的頻響函數(shù)矩陣，可寫成

(16)

聯(lián)立式(9)、式(10)，可求得S5b5b，通過RCSA原理可求得DH2b2b、DH2b5a、DH5a5a、DH5a2b，代入式(11)可得GSH2b2b。同理可得刀尖點的頻響函數(shù)矩陣GSHT11。

3　主軸系統(tǒng)刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)辨識

根據(jù)式(2)以及第2節(jié)中計算得到的Tij(i,j=1,2a)、GSH2b2b和GSHT11，可得主軸系統(tǒng)刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣K。由第1節(jié)分析可知，為確定K的取值，應(yīng)分析出對刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣變化最敏感的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率，具體步驟如下。

(1)采用優(yōu)化算法辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)。為提高結(jié)合面參數(shù)的辨識效率和精度，獲得較為準確的刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)，本文以主軸系統(tǒng)的實測刀尖點頻響函數(shù)HSHTm11和理論計算得到的刀尖點頻響函數(shù)HSHTt11之間差值的Frobenius范數(shù)為目標函數(shù)，以K中的未知參數(shù)k1、k2、k4、c1、c2、c4為優(yōu)化變量，通過Cuckoo search算法辨識結(jié)合面參數(shù)。

E=min‖HSHTt11-HSHTm11‖

(17)

Cuckoo search算法[16]是英國劍橋大學(xué)學(xué)者楊新社等2009年提出的一種新興的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，該算法簡單易行，需要確定的參數(shù)較少，在解決特殊問題時無需重新匹配大量參數(shù)，相對于GA、PSO等經(jīng)典的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，該算法在解決很多優(yōu)化問題上更勝一籌[17]。為說明Cuckoo search算法比目前文獻[3]中的PSO算法、文獻[4]中的GA算法在辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)方面更為有效，本文在第4節(jié)中對比了基于Cuckoo search、PSO以及GA三種算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)的前四階固有頻率。

(2)基于IRCSA辨識結(jié)合面復(fù)剛度矩陣。根據(jù)Cuckoo search算法辨識的結(jié)合面參數(shù)，在ANSYS中采用matrix27單元模擬刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣，通過改變結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的倍數(shù)，觀察主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)的變化，結(jié)合式(2)，確定變化最顯著的固有頻率對應(yīng)的結(jié)合面參數(shù)為K的取值。

4　實驗驗證

為驗證本文方法的有效性，基于VMC850E立式加工中心，先以一把硬質(zhì)合金圓柱棒為例，對上述理論進行驗證，再將該方法推廣到常用的2刃銑刀和4刃銑刀，刀具參數(shù)如表1所示，實驗和計算步驟如下。

表1　實驗刀具的參數(shù)

圖4　計算GSH2b2b搭建的實驗平臺

圖5　計算GSHT11搭建的實驗平臺

(1)通過理論計算得到K。按照圖4搭建實驗平臺，將BT40 ER32-100L型刀柄安裝在主軸中，將兩個BK 4525B三向加速度傳感器安裝在刀柄的相應(yīng)位置，利用Kistler 9724A激振力錘分別錘擊圖4中的點A、點B，通過LMS SCADAS Mobile數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步采集加速度信號和激振力信號，配合使用LMS Test Lab軟件對每個點分別進行5次測量取平均值，分別得到HSHX1F1、HSHX2F1、HSHX2F2。根據(jù)式(9)、式(10)計算得到S5b5b。S5b5b是刀柄基座處的頻響函數(shù)矩陣，對于確定的主軸系統(tǒng)，與之配合的刀柄基座的尺寸是確定不變的，因此可將S5b5b視為確定不變的常數(shù)矩陣，將其代入式(11)計算得到GSH2b2b。同理按照圖5的安裝，使用激振力錘分別錘擊點C、點D，按照以上步驟可計算得到GSHT11，最后根據(jù)式(2)可得到刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣K，通過第1節(jié)分析可知，K中各個參數(shù)隨頻率變化，在頻率范圍內(nèi)的數(shù)值大小不等。

(2)采用優(yōu)化算法辨識K值。根據(jù)第3節(jié)的原理，為說明Cuckoo search算法的有效性，本文對比了基于Cuckoo search、PSO以及GA三種優(yōu)化算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)的前4階固有頻率，如表2所示。

表2　三種算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)和實測刀尖點頻響函數(shù)固有頻率對比

由表2可知，總體來說，基于三種優(yōu)化算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)和實測值的差別較小，誤差均在4%之內(nèi)。但Cuckoo search算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)的前四階固有頻率和實測值的誤差，除了前二階的誤差和其他兩種算法相同外，第3階、第4階的誤差要低于另外兩種算法的預(yù)測結(jié)果，并且搜索耗時更少。因此Cuckoo search算法在辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)方面要比文獻[3]中的PSO算法和文獻[4]中的GA算法更加有效。

(3)建立刀柄-刀具的有限元模型。在SolidWorks中建立刀柄-刀具的實體模型，忽略較小的倒角、圓弧以及螺紋，簡化實體模型，導(dǎo)入HyperMesh中，設(shè)置單元為solid186，并進行網(wǎng)格劃分，劃分得到283 388個節(jié)點，98 379個單元，如圖6所示。施加約束條件，將刀柄與主軸接觸的一面設(shè)置成只保留軸向轉(zhuǎn)動自由度，約束其他5個自由度，拉釘和刀柄的接觸面、圓螺母和彈性夾頭的接觸面均設(shè)為剛性連接。彈性夾頭-刀具結(jié)合面采用matrix27單元進行模擬，然后導(dǎo)入ANSYS中，在刀尖點處施加單位力載荷，進行諧響應(yīng)分析，得到刀尖點的頻響函數(shù)(FRF)。通過改變結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的放大倍數(shù)，得到不同放大倍數(shù)的結(jié)合面復(fù)剛度矩陣預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)，如圖7所示。

圖6　刀柄-刀具的有限元模型

圖7　刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣對刀尖點頻響函數(shù)的影響

由圖7可知，刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣影響刀尖點頻響函數(shù)的第3階固有頻率。因此，取刀尖點頻響函數(shù)第3階固有頻率下對應(yīng)的結(jié)合面參數(shù)為K的取值，如表3所示。將該值代入式(1)中計算得到刀尖點頻響函數(shù)的理論值，并和Cuckoo search算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)以及實測值進行對比，如圖8所示，三者的前四階固有頻率的對比如表4所示。

表3　本文方法辨識的刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)

由圖8和表4可知，基于本文方法、Cuckoo search算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)與實測值的前四階固有頻率的誤差均在4%之內(nèi)。對于第1階、第2階固有頻率的預(yù)測，兩種方法預(yù)測的精度相同。對于第3階固有頻率的預(yù)測，相比于Cuckoo search算法的預(yù)測值，本文預(yù)測的結(jié)果更加接近實測值。對于第4階固有頻率的預(yù)測，本文方法的預(yù)測精度稍低于Cuckoo search算法，但是由于第4階固有頻率實測值的幅值較小，因此可忽略其影響。此外，通過本文方法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)耗時僅為21.3 s，而通過Cuckoo search算法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)則需2089.72 s，本文方法耗時約為Cuckoo search算法的1.02%。其原因在于，采用Cuckoo search算法辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)時，需在測試頻帶內(nèi)進行全頻帶的搜索，而本文方法在分析出對刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)變化最敏感的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率之后，只需取對應(yīng)頻率下的結(jié)合面參數(shù)作為K的取值，然后直接計算刀尖點頻響函數(shù)。通過以上分析可知，在預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)方面，本文方法比Cuckoo search算法更加省時，且達到了較高的預(yù)測精度。

圖8　基于Cuckoo search算法、本文方法預(yù)測的銑刀刀尖點頻響函數(shù)和實測值的對比

模態(tài)階次實測值(Hz)Cuckoosearch算法本文方法預(yù)測值(Hz)誤差(%)預(yù)測值(Hz)誤差(%)11651603.031603.0324354320.694320.6938588640.708570.124114311571.2211702.36耗時2089.72s21.3s

為驗證本文方法的普適性，采用常用的2刃銑刀和4刃銑刀分別進行驗證。其中銑刀子結(jié)構(gòu)按照下式采用等效質(zhì)量法[18]等效為兩段均質(zhì)EB梁：

(18)

式中，M、ρ、ds、ls、lf依次為銑刀的質(zhì)量、銑刀的密度、銑刀的刀桿直徑、銑刀的刀桿長度以及銑刀的刀齒長度。

按照上述步驟，得到了基于本文方法、Cuckoo search算法預(yù)測的2刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)以及實測值，如圖9所示?；趦煞N方法辨識的結(jié)合面復(fù)剛度矩陣如表5所示?；诒疚姆椒?、Cuckoo search算法預(yù)測的2刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)以及實測值的前3階固有頻率的對比如表6所示。

圖9　基于Cuckoo search算法、本文方法預(yù)測的2刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)和實測值的對比

Cuckoosearch算法本文方法k1(N/m)2.95×1063.18×106k2(N·m/m)5.93×1054.39×105k3(N/rad)5.93×1054.39×105k4(N·m/rad)4.91×1044.46×104c1(N·s/m)374.15787.58c2(N·m·s/m)71.5954.10c3(N·s/rad)71.5954.10c4(N·m·s/rad)7.905.54

表6　基于Cuckoo search算法、本文方法預(yù)測的2刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)和實測值的固有頻率對比

由圖9和表6可知，基于本文方法、Cuckoosearch算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)與實測值的前3階固有頻率的誤差均在4%之內(nèi)。對于第1階、第3階固有頻率的預(yù)測，兩種方法預(yù)測的精度相同，但是預(yù)測的幅值和實測幅值之間的誤差均較大，其原因可能在于測試過程中產(chǎn)生了測量誤差，不過兩種方法預(yù)測的固有頻率和實測值的差別較小。對于第3階固有頻率的預(yù)測，相比于Cuckoosearch算法的預(yù)測值，本文方法的預(yù)測值和實測值之間的誤差較小。此外，通過本文方法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)耗時僅為18.06s，而通過Cuckoosearch算法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)則需2008.3s，本文方法耗時約為Cuckoosearch算法的0.90%，由此可見，在預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)方面，本文方法比Cuckoosearch算法更加省時，且達到了較高的預(yù)測精度。

同理，基于上述理論對4刃銑刀的刀尖點頻響函數(shù)進行了預(yù)測，表7所示為基于本文方法、Cuckoosearch算法預(yù)測的4刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)以及實測值的前5階固有頻率。

表7基于Cuckoo search算法、本文方法預(yù)測的4刃銑刀刀尖點頻響函數(shù)和實測值的固有頻率對比

模態(tài)階次實測值(Hz)Cuckoosearch算法本文方法預(yù)測值(Hz)誤差(%)預(yù)測值(Hz)誤差(%)11551560.651560.6524374321.144321.1439569223.569124.604114511853.4911792.975135013450.3713351.11耗時2193.3s23.6s

由表7可以看出，基于本文方法、Cuckoo search算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)與實測值的前五階固有頻率的誤差均在5%之內(nèi)。對于第1階、第2階固有頻率的預(yù)測，兩種方法的預(yù)測精度相同。對于第3階固有頻率的預(yù)測，相比于Cuckoo search算法的預(yù)測值，本文方法的預(yù)測值和實測值之間的誤差稍大，但是不超過5%，與目前預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)的方法[6-7,15,18]相比，該誤差并不大。對于第4階、第5階固有頻率的預(yù)測，本文方法預(yù)測的結(jié)果和實測值之間的誤差較小。此外，通過本文方法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)耗時僅為23.6 s，而通過Cuckoo search算法預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)則需2193.3 s，本文方法耗時約為Cuckoo search算法的1.08%，由此可見，在預(yù)測刀尖點頻響函數(shù)方面，本文方法比Cuckoo search算法更加省時，且達到了較高的精度。

綜上所述，本文提出的基于IRCSA快速辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)的刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測方法是正確的、有效的，并且達到了較高的預(yù)測精度。

5　結(jié)論

(1)提出了一種快速辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)的刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測方法。該方法將機床-主軸系統(tǒng)劃分為機床-主軸-刀柄和刀具兩個子結(jié)構(gòu)，通過彈簧阻尼單元連接兩個子結(jié)構(gòu)，基于IRCSA快速準確地辨識刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)，進而預(yù)測出刀尖點頻響函數(shù)。

(2)建立了求解刀柄末端頻響函數(shù)矩陣和刀尖點頻響函數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)模型，分別進行一次實驗測量，通過求解方程組得到刀柄末端的頻響函數(shù)矩陣和刀尖點頻響函數(shù)矩陣，進而計算出測試頻帶內(nèi)的刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)隨頻率變化的數(shù)值。基于Cuckoo search算法和ANSYS仿真分析得到對刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)變化最敏感的刀尖點頻響函數(shù)的固有頻率，并取對應(yīng)頻率下的結(jié)合面參數(shù)為刀柄-刀具結(jié)合面復(fù)剛度矩陣的數(shù)值，避免了優(yōu)化算法在測試頻帶內(nèi)進行全面搜索的過程。

(3)以硬質(zhì)合金圓柱棒為例，對比了Cuckoo search、PSO以及GA三種優(yōu)化算法對刀尖點頻響函數(shù)的預(yù)測精度，結(jié)果表明Cuckoo search算法更加有效；在此基礎(chǔ)上，以硬質(zhì)合金圓柱棒、2刃銑刀以及4刃銑刀為試驗對象，對比了基于本文方法、Cuckoo search算法預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)與實測值之間的差異，結(jié)果表明，本文方法比Cuckoo search算法更加省時，并且達到了較高的預(yù)測精度。因此本文方法是一種計算刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)快速而有效的方法，并為辨識同類結(jié)合面參數(shù)提供了參考。

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(編輯王旻玥)

A New Prediction Method of Tool Point Frequency Response Function for Milling Cutters

Zhu JianminHe DandanTian FengqingZhao Quanlong

University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

To predict tool point frequency response function of milling cutters accurately and rapidly, a new tool point frequency response function prediction method was proposed, which was based on IRCSA to identify joint parameters of holder-tool. Firstly, the joint parameters of holder-tool changing with the frequency were obtained by calculating frequency response function matrixes of holder end and tool point based on the mathematical models, and applying IRCSA. Secondly, the natural frequency of tool point frequency response function was determined, which was sensitive to variations of the complex stiffness matrixes of holder-tool joints by Cuckoo search algorithm and finite element analysis. At last, the joint parameters under the determined frequency were taken as the result of the complex stiffness matrix, which was used to predict the tool point frequency response function. To confirm the presented theory, a carbide cylindrical rod, 2 fluted milling cutter and 4 fluted milling cutter were taken as examples, and the predicted tool point frequency response functions based on the new method and Cuckoo search algorithm of them were compared with measured ones. It is experimentally demonstrated that the new method has high prediction precision and is time-saving, the errors between the natural frequencies of the predicted tool point frequency response functions based on the new method and measured ones are within 5%, and time the new method used is about 1% of the Cuckoo search algorithm used.

tool point frequency response function; inverse receptance coupling substructure analysis(IRCSA); complex stiffness matrix of holder-tool joint; Cuckoo search algorithm; prediction

2016-06-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(50975179)；上海市教委科研創(chuàng)新項目(11ZZ136)；上海市科委科研計劃資助項目(12DZ2252300)

TH113

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.20.013

朱堅民，男，1968年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為精密測試技術(shù)、機電系統(tǒng)的智能測控。何丹丹，女，1992年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。田豐慶，男，1982年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。趙全龍，男，1989年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。