王國(guó)棟，卓春英

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，重慶 402160)

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電力市場(chǎng)中Bertrand模型的復(fù)雜性分析

王國(guó)棟，卓春英

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，重慶 402160)

為了模擬電力市場(chǎng)中發(fā)電商采取不同策略的博弈行為,在考慮輸電網(wǎng)約束條件下將動(dòng)態(tài)Bertrand博弈模型引入電力市場(chǎng)，建立有限理性條件下的投資模型,并運(yùn)用有限理性法和不完全信息法實(shí)現(xiàn)了投資模型由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化過程，求解了動(dòng)態(tài)模型的價(jià)格均衡，并分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)，給出其經(jīng)濟(jì)解釋。

電力市場(chǎng)；Bertrand模型；有限理性法；不完全信息法

0　引言

發(fā)電商、用戶以及龐大的輸電網(wǎng)組成了十分復(fù)雜的電力市場(chǎng),追求自身利益最大化是各市場(chǎng)成員的唯一目標(biāo),最大利潤(rùn)點(diǎn)也是其運(yùn)動(dòng)方向.在市場(chǎng)供需關(guān)系和電價(jià)的調(diào)控下,發(fā)電商不斷調(diào)整自己的發(fā)電量,用戶不斷改變自己的用電量,最終實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)資源的優(yōu)化配置[1]。電力市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)演化,即發(fā)電量、用電量與電價(jià)等隨時(shí)間演化的行為包含了市場(chǎng)中的各種信息，分析并掌握電力市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)行為，有助于市場(chǎng)管理者制定有效的市場(chǎng)規(guī)則來合理運(yùn)營(yíng)電力市場(chǎng),也有助于市場(chǎng)參與者制定有效的交易計(jì)劃來獲得最大的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)[2-3]。楊洪明[4]等在考慮輸電網(wǎng)約束下對(duì)有限理性古諾博弈的動(dòng)態(tài)演化進(jìn)行了分析,傳統(tǒng)的Cournot模型參與博弈的雙方是以產(chǎn)量作為決策，而Bertrand模型參與博弈的雙方是以價(jià)格為決策變量，會(huì)導(dǎo)致每個(gè)企業(yè)的定價(jià)采用完全競(jìng)爭(zhēng)情況下的價(jià)格，即所謂的邊際成本定價(jià)法。近年來，有限理性法與Puu的不完全信息法也被用來研究企業(yè)處于壟斷市場(chǎng)的分析，有限理性的企業(yè)是基于離散時(shí)間和邊際利潤(rùn)的局部估計(jì)來實(shí)現(xiàn)其生產(chǎn)策略。而Puu的不完全信息法[5]最大的特點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)性，在預(yù)測(cè)一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量時(shí)不需要知道利潤(rùn)函數(shù)在當(dāng)前時(shí)間步驟的具體形式，而只需要知道利潤(rùn)和價(jià)格在過去兩個(gè)時(shí)間步驟的數(shù)值?，F(xiàn)階段對(duì)Bertrand模型的研究較多，大多集中在靜態(tài)模型到動(dòng)態(tài)模型的轉(zhuǎn)化以及模型均衡點(diǎn)的求解，姚洪興[6]等在動(dòng)態(tài)Bertrand模型的復(fù)雜性現(xiàn)象與混沌控制一文中對(duì)模型進(jìn)行了混沌控制，但只考慮到需求函數(shù)與成本函數(shù)為線性的，考慮到電力市場(chǎng)的復(fù)雜性，本文將成本函數(shù)定義為非線性，對(duì)模型實(shí)現(xiàn)由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化，并且對(duì)模型的均衡點(diǎn)進(jìn)行分析。

1　模型的建立與分析

假設(shè)市場(chǎng)由兩個(gè)區(qū)域市場(chǎng)組成,記發(fā)電商為A,B，他們通過一條輸電線路連接,線路的最大傳輸功率為k ,且滿足如下要求:

-2k≤q1-q2≤2k。

(2)當(dāng)輸電線出現(xiàn)阻塞時(shí),且線路上傳輸功率為k時(shí),電價(jià)函數(shù)為:

當(dāng)線路上傳輸功率為-k時(shí),電價(jià)函數(shù)為:

(3)于是在考慮輸電網(wǎng)約束的情況下,電力市場(chǎng)的電價(jià)函數(shù)為:

(1)

和

(2)

2　動(dòng)態(tài)Bertrand模型分析

(1)有限理性方法是使用基于局部評(píng)價(jià)調(diào)整機(jī)制的邊際利潤(rùn)，描述動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制的動(dòng)力系統(tǒng)如下：

(3)

發(fā)電商A,B的利潤(rùn)函數(shù)為：

因此，發(fā)電商A,B組成動(dòng)力系統(tǒng)：

(4)

當(dāng)a>e1,a>e2時(shí)(可以保證平衡發(fā)電量為正)，均衡點(diǎn)E1,E2被定義為壟斷平衡點(diǎn)。為了得到更多關(guān)于兩個(gè)壟斷點(diǎn)的信息，現(xiàn)進(jìn)行如下分析與證明。

命題1如果a>e1,a>e2，則有(i)均衡點(diǎn)E0為排斥節(jié)點(diǎn)；(ii)壟斷點(diǎn)E1,E2是不穩(wěn)定均衡點(diǎn)；(iii)E3在滿足一定條件下為局部漸進(jìn)穩(wěn)定點(diǎn)。

證明：基于標(biāo)準(zhǔn)的特征值分析，在點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為：

在E1處的Jacobian矩陣為：

特征值：

因?yàn)閍>e1,a>e2，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：

進(jìn)一步研究穩(wěn)定點(diǎn)E3的穩(wěn)定性，在E3處的Jacobian矩陣為：

由非線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件可得到：

圖1　變量q1、q2隨k值變化的分岔圖

當(dāng)系數(shù)k,a,d1,d2,e1,e2滿足上述條件①②時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)系數(shù)k,a,d1,d2,e1,e2超出條件①②時(shí)，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入混沌狀態(tài)，由于上述方程難于求解，下面將用軟件來模擬系統(tǒng)的發(fā)展過程。

當(dāng)a=4,d1=d2=0,e1=e2=0.5,0

(2)采用Puu的不完全信息法來研究Bertrand模型[7-8]，此方法中發(fā)電商的發(fā)電量可以表達(dá)為;

(5)

(6)

證明：s0的證明同命題1，這里略去證明。為了討論均衡點(diǎn)s1的局部穩(wěn)定性，給出它的Jacobian矩陣，如下：

3　結(jié)論

本文為了模擬電力市場(chǎng)中發(fā)電商采取不同策略的博弈行為,在考慮輸電網(wǎng)約束條件下將動(dòng)態(tài)Bertrand博弈模型引入電力市場(chǎng)，由于電力市場(chǎng)的復(fù)雜性，考慮成本函數(shù)為非線性，并通過有限理性方法與Puu的不完全信息方法來描述這兩個(gè)模型，從而為發(fā)電商做出決策。在不完全信息下，發(fā)電商通過過去兩次的發(fā)電量來決定未來的發(fā)電量，而在其他方法中，未來的發(fā)電量取決于隨之增長(zhǎng)的利潤(rùn)方法。

[1] 湯振飛,唐國(guó)慶,于爾鏗,等.電力市場(chǎng)動(dòng)態(tài)分析[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2001,21(12):88-92.

[2] 白利超,康重慶,夏清.不確定性電價(jià)分析[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2002,22(5):36-41.

[3] 白利超,康重慶,夏清.電力市場(chǎng)中發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)決策[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2004,24(8):1-6.

[4] 楊洪明,賴明勇.考慮輸電網(wǎng)約束的電力市場(chǎng)有限理性博弈模型的動(dòng)態(tài)演化研究[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2005,25(23)：71-79.

[5] Ahmed E.On Puu's Incomplete Information Formulation for the Standard and Multi-team Bertrand Game[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(5)：1180-1184.

[6] 姚洪興，王梅.動(dòng)態(tài)Bertrand模型的復(fù)雜現(xiàn)象與混沌控制[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015，43(2)：24-27.

[7] Ahmed E,Elsadany A A,Puu T.On Bertrand Duopoly Game with Differentiated Goods[J].Applied Mathematics and Computation,2015,251(C):169-179.

[8] Wu F,Ma J H.Hyperchaotic Dynamic of Cournot-bertrand Duopply Game with Multi-Product and Chaos Control[J].Wseas Transactions on Mathematics,2014,13(1):152-160.

[責(zé)任編輯、校對(duì)：周千]

Complexity Analysis of Bertrand Model in the Electric Power Market

WANGGuo-dong,ZHUOChun-ying

(Department of Basic Courses,Chongqing Water Resources and Electric Engineering College,Chongqing 402160,China)

To simulate the game playing of different power suppliers in the electric power market,the paper introduces the dynamic Bertrand game model into the electric power market under the constraint conditions of the power transmission grid,establishes the investment model under the bounded rationality,realizes the static-to-dynamic transition process of the investment model through the bounded rationality method and incomplete information method,finds solution to the price equilibrium of the dynamic model,analyzes the stability status of the equilibrium point,and presents the economic explanation.

electric power market;Bertrand model;bounded rationality;incomplete information

2016-09-01

王國(guó)棟(1981-)，男，副教授，主要從事非線性系統(tǒng)復(fù)雜性分析研究。

O211;F224.9 ;F270

A

1008-9233(2016)05-0078-04