肖滿生 肖哲

摘要：

針對傳統(tǒng)模糊C均值（FCM）算法在聚類過程中存在收斂速度慢、對大數(shù)據(jù)處理實時性不強等問題，提出了一種基于懲罰因子的樣本隸屬度改進算法。首先分析抑制式模糊C均值（SFCM）聚類特點，研究懲罰因子對樣本隸屬度修正的觸發(fā)條件，進而設計出基于懲罰因子的SFCM聚類隸屬度動態(tài)修正算法。通過算法實現(xiàn)樣本向“兩極移動”，達到快速收斂之目的。理論分析與實驗結果表明，在相同的初始化條件下，改進算法的執(zhí)行時間效率比傳統(tǒng)FCM算法提高約40%，比基于優(yōu)化選擇的SFCM（OSSFCM）算法提高10%，其聚類準確度與其他兩種算法相比也有一定的提高。

關鍵詞：

抑制式模糊C均值；懲罰因子；模糊隸屬度；快速收斂

中圖分類號：

TP391.4

文獻標志碼：A

Abstract：

Aiming at the problem of slow convergence and weak realtime processing of large data in general Fuzzy CMeans （FCM） algorithm， an improved method of penalty factor on sample membership was proposed. Firstly， the characteristics of Suppressed Fuzzy CMeans （SFCM） clustering were analyzed， and the trigger condition for adjusting sample membership by penalty factor was studied， and then the dynamic membership adjusting scheme of SFCM based on penalty factor was designed. By using the algorithm， the samples are “moved to the poles” to achieve the purpose of rapid convergence. Theoretical analysis and experimental result show that under the same initial condition， the execution time efficiency of the improved algorithm is increased by 40% and 10% respectively compared with the traditional FCM and OptimalSelectionbased SFCM （OSSFCM）， at the same time， the clustering accuracy is also improved.

英文關鍵詞Key words：

Suppressed Fuzzy CMeans （SFCM）； penalty factor； fuzzy membership； fast convergence

0引言

基于目標函數(shù)的模糊C均值 （Fuzzy CMeans， FCM） 聚類在20世紀七八十年代由Dunn[1]提出、并由Bezdek等[2-3]完善和發(fā)展，它是一個帶約束的非線性規(guī)劃過程，通過迭代優(yōu)化獲得樣本集的模糊劃分或聚類。與傳統(tǒng)的硬C均值（Hard CMeans， HCM）聚類算法相比，F(xiàn)CM聚類把HCM聚類的隸屬度從{0，1}二值集合擴展到了[0，1]區(qū)間，從而把非此即彼的硬聚類推廣到亦此亦彼的模糊聚類，建立了樣本分屬于各個類的不確定性程度，因此能更客觀地反映現(xiàn)實世界。然而，F(xiàn)CM聚類的一個不可忽視的缺點是算法的收斂速度慢，特別是在處理大型復雜的數(shù)據(jù)集時，其實時性不強而失去應用價值。針對這個問題，本世紀初范九倫Fan等[4]提出了一種既能體現(xiàn)HCM聚類的快速性、又能反映FCM聚類準確性的抑制式模糊C均值（Suppressed Fuzzy CMeans， SFCM）聚類算法，該算法基于競爭學習思想[5]，在模糊聚類迭代優(yōu)化求解過程中引入懲罰因子α，通過對樣本的最大隸屬度進行獎勵的同時對其他隸屬度進行抑制，使樣本快速向最大隸屬度對應的聚類原型靠近，從而達到快速收斂之目的。

然而，文獻[4]提出的SFCM算法在實際應用中又發(fā)現(xiàn)了幾個問題亟待解決：一是懲罰因子α的確定問題，包括α是動態(tài)取值還是固定取值、α的取值范圍、取值方法等；二是樣本在什么情況下其隸屬度需要修正，包括獎勵或抑制，即當樣本的最大隸屬度為0.5左右時，或樣本對任何類的隸屬度近似相等，這時對隸屬度的獎勵或抑制也就失去了意義。針對這些問題，目前眾多專家學者都在進行研究，且取得了一系列的研究成果[6-18]，如關于懲罰因子α的設計問題，臺灣學者楊敏生教授及其學生等通過深入研究，給出了SFCM算法中懲罰因子α的柯西型指數(shù)固定選擇公式[8-9]，并在磁共振圖像（Magnetic Resonance Image， MRI）分割中進行了實驗，該方法對模糊聚類收斂速度有所改進，但效果不明顯；羅馬尼亞和匈牙利學者Szilgyi等[6-7，12] 基于競爭學習思想，提出了7種α因子的固定設計函數(shù)，并在測試過程中與傳統(tǒng)FCM算法進行了比較，但他們并沒有給出α函數(shù)設計的理論依據(jù)和推導過程，也沒有給出其設計的物理意義；Lan等[10]和蘭紅等[18]綜合圖像像素的空間信息，通過在圖像聚類分割中動態(tài)設置懲罰因子來提高聚類收斂速度，對大型圖像處理有一定的實際意義，但該方法僅限于灰度圖像，對其他樣本聚類沒有意義。關于何時樣本隸屬度需要調整的問題，Zhao等[11]提出了一種基于圖像像素灰度值的加權排名來選擇樣本隸屬度的抑制策略，即排名靠前的樣本隸屬度需要修正、靠后的不修正；黃建軍等[16]則在SFCM算法中引入一個抑制門限，只有超過門限值的樣本最大隸屬度才得以修正，其他則不修正。但這兩種方法又引入了新的問題，包括排名靠前的合理比例、抑制門限值的具體選擇等。此外，人們還提出了懲罰因子的其他問題與選擇方法，如國內學者Li等[14]給出的基于模糊偏差的選擇方法，韓國學者Nyma等[13]提出的含有模糊加權指數(shù)m的懲罰因子選取方法，孟加拉國學者Saad等[15]基于圖像清晰度的抑制率選擇公式等。這些方法大部分是從具體應用出發(fā)，給出了懲罰因子α的經(jīng)驗值，但沒有合理的推導過程和依據(jù)，不具備通用性；部分只考慮了單一因素，沒有綜合考慮懲罰因子的設計對其他參數(shù)設置的影響，甚至懲罰因子的引入破壞了其他模糊聚類參數(shù)，使聚類有效性并沒有得到實質性的提高[19]。

針對上述問題，本文在國內外研究的基礎上，提出了一種SFCM聚類懲罰因子α的改進方法，綜合不同樣本特點來設計懲罰函數(shù)，實現(xiàn)模糊隸屬度的動態(tài)調整；同時也給出了懲罰因子α的自動觸發(fā)方法，即樣本隸屬度何時需要修正，從而達到SFCM聚類快速收斂之目的。

1.1通用SFCM聚類算法

SFCM聚類算法由范九倫（J. L. Fan）Fan等[4]于2003年提出，其的基本思想是基于懲罰對手的競爭機制，即假定樣本對離它最近的聚類原型（具有最大隸屬度）的吸引力最大，因而在每次優(yōu)化迭代過程中對其隸屬度進行獎勵，來進一步提高樣本對該聚類原型的吸引力而減小對其他聚類原型的吸引力，達到提高收斂速度之目的，同時也保證了良好的聚類精度。在SFCM迭代過程中，由于每次迭代都對隸屬度進行修正，而每次修正后再求解得到的目標函數(shù)值不一定等于修正前的值，因而SFCM聚類不能使目標函數(shù)值最小化，其隸屬度值的修正只能在傳統(tǒng)模糊聚類中極小化目標函數(shù)值后所得到的隸屬度的基礎上進行。

1.2懲罰因子的改進

懲罰因子α在聚類中起著重要作用。但如何合理選取α值，使得算法在實際應用過程中既能保證良好的聚類精度，又能獲得較快的收斂速度，上述SFCM算法中并沒有具體給出，雖然目前諸多學者在此方面有過相關研究，但都存在一定的局限性（如引言中所述）；另外，一個樣本（如噪聲），它相對各聚類中心的隸屬度基本相等，或者它對各類的隸屬度都小于或等于0.5，這時如采用上述SFCM算法人為地獎勵其最大隸屬度，而抑制其他隸屬度，使該樣本強制性向“兩極”運動，顯然沒有意義。因此，本文提出了一種懲罰因子α的改進方法，以期較好解決上述問題。

設lij表示樣本xi到聚類中心vj的距離，uw為修正前樣本xi對各聚類中心的最大隸屬度，lw為對應的距離，根據(jù)“強者更強、弱者更弱、兩極運動、中間保持”的競爭機制，懲罰因子定義為：

α=uw（1-lw/∑cj=1lij）2（6）

理論分析：在模糊聚類中，樣本隸屬度的大小與樣本所在的位置有關，因此用于隸屬度修正的懲罰因子也應當與樣本的距離lij 有關。

1）當樣本的最大隸屬度uw（設其所在的類為p）一定時，此時lw也為定值，相對于其他聚類中心（非p），如果lij（j≠p）越大，即樣本越遠離該聚類中心，式（6）中α值越小，根據(jù)式（5）中的條件，其修正后的uij越小，即抑制程度越大；反之，其抑制程度越小。

2）當uw很大時，因lij（lij=lw， j=p）較?。礃颖倦x該聚類中心很近），式（6）中α值則較大，根據(jù)式（5），修正后最大隸屬度變化量為：（1-α+αuw）-uw=（1-α）（1-uw）>0，從此可以看出，由于α和uw都很大，修正后的隸屬度增加不多，但uw已經(jīng)足夠大，再明顯增加已沒有意義。且uw越大，修正后的隸屬度增加得越少，反之亦然。

3）由于0

結合這些分析，可以實現(xiàn)SFCM算法中樣本隸屬度根據(jù)其特點動態(tài)調整，實現(xiàn)樣本較好分離，這樣既能保證聚類的質量，又提高了聚類的收斂速度。

另外，一個噪聲樣本，由于它不屬于任何類，因此它對各類的隸屬度都很小，這樣的樣本，采用SFCM算法強制其靠近某類而遠離其他類的意義不大；同樣，如果樣本的最大隸屬度值不超過0.5，即：uw≤0.5，采用SFCM算法的意義也不大，因此，懲罰因子α的約束條件為：

uij-1c∑cj=1uij>σ； i， j或uw>0.5（7）

其中：c為聚類數(shù)目，σ為一設定值。式（7）表明，如果樣本隸屬度與其對各類的平均隸屬度之差小于某一設定值或其最大隸屬度小于0.5，則該樣本的隸屬度無需修正，反之則修正。

算法描述：

步驟1對于給定樣本集X={x1，x2，…，xn}，設其初始聚類中心V（t）={v1，v2，…，vc}，c為聚類數(shù)，迭代次數(shù)t的初始值為0，最大迭代次數(shù)為T，聚類終止條件值為ε，模糊加權指數(shù)m。

步驟2基于傳統(tǒng)FCM聚類的求解過程，根據(jù)式（2）計算樣本隸屬度u（t）ij （i = 1，2，…，n， j = 1，2，…，c）。

步驟3根據(jù)式（4），找出樣本xi（i=1，…，n）對于各類的最大隸屬度uip，并求出樣本xi對于各類的平均隸屬度：1c∑cj=1uij。

步驟4如果隸屬度滿足式（7）（此時uip即式（7）中的uw），式（7）中的σ為一定值（如σ=0.05），則用式（6）計算SFCM算法中的懲罰因子α，并將α值代入式（5）對xi隸屬度進行修正；如果樣本的隸屬度不滿足式（7），則α=1，代入式（5）后，隸屬度保持原值，不修正。

步驟5根據(jù)式（3），利用修正后的隸屬度，計算各類的聚類中心V（t+1）。

步驟6判斷是否終止迭代，如果V（t+1）-V（t）<ε，或者t≥T，則迭代終止，輸出V（t+1）；否則，t=t+1，轉到步驟2，繼續(xù)進行。

從上面的實現(xiàn)過程可以看出，在迭代過程中，相對于傳統(tǒng)FCM聚類，樣本將以更快速度向隸屬度大的聚類中心“靠近”，同時也以較快的速度“遠離”其他聚類中心，從而實現(xiàn)快速聚類，且不同的樣本，其懲罰因子會隨著聚類中心對它的“吸引力”大小不同而動態(tài)改變。另外，如果xi是噪聲樣本，則它相對于所有聚類的隸屬度都很小，且各隸屬度值也相差不大，根據(jù)式（7）可知，懲罰因子不起作用，其聚類過程等同于傳統(tǒng)FCM算法。

3實驗結果分析

為驗證本文改進方法的有效性，本研究以圖像聚類分割

及UCI數(shù)據(jù)庫[20]中的相關數(shù)據(jù)集聚類劃分兩方面來進行實驗。其中圖像實驗分別采用了標準測試圖像以及人造含噪聲的圖像作為實驗對象。實驗環(huán)境：PC Intel Pentium CPU G3220@3.00GHz（雙核），RAM 4GB，Windows 7操作系統(tǒng)、Matlab 7.0。同時，為了評價改進方法的聚類效果，實驗中采用了傳統(tǒng)FCM算法（General Fuzzy CMeans， GFCM）以及文獻[11]中所提出的最新基于優(yōu)化選擇的抑制式模糊C均值聚類算法（OptimalSelectionbased Suppressed Fuzzy CMeans， OSSFCM）進行對比實驗。OSSFCM方法在聚類過程中通過對最大隸屬度排序，只有當樣本最大隸屬度超過某一門限值（如排在最前面的61.8%，黃金分割點），懲罰因子才起作用，大量的實驗及應用證明，OSSFCM算法是目前最有說服力的SFCM方法之一，因此用來作為對比實驗較為合適。另外，為了描述方便，本文所提出基于懲罰因子改進的抑制式模糊C均值算法簡稱IαSFCM（Improved the factor α in Suppressed Fuzzy CMeans）。實驗中主要評價指標包括：1）運行時間（Runtime），指完成聚類迭代所需的時間，包括懲罰因子α的計算時間等，單位為s（second），但不包括圖像重建等后續(xù)處理時間。2）分割精度（Segmentation Accuracy， SA），定義為：在標準測試圖像聚類分割中，正確分割的像素占圖像總像素的百分比；在人造樣本圖像中則為迭代終止后的聚類中心與原始（正確）的聚類中心的重合度，用1-vj′-vjmaxni=1（xi-vj）表示，其中vj′-vj表示算法執(zhí)行后聚類中心與原始中心的距離，maxni=1（xi-vj）表示各樣本與vj的最大距離，它是一個重要的圖像質量評價指標。3）聚類準確度（Clustering Accuracy， CA），指正確聚類的樣本數(shù)與樣本集中樣本總數(shù)之比。需要說明的是，F(xiàn)CM算法在聚類過程中對初始值的選取極為敏感，即選擇不同的初始聚類中心對聚類結果（包括運行時間、分割精度及聚類準確度等）有很大影響，因此，本文在實驗過程中，為了能正確比較三種算法的聚類效果，選擇了同一初始聚類中心分別對三種算法進行聚類實驗，至于初始聚類中心如何選取，包括自適應選取方法等問題，目前國內外已研究出了很多方法，可參考其他文獻，限于篇幅，本文不再一一詳述。

3.1圖像聚類分割實驗

采用2個圖像分別進行實驗，一個是標準測試圖像Lena，大小為156×156像素，256級灰度，如圖1（a）所示；另一個是在干凈無噪聲的人造樣本數(shù)據(jù)集組成的圖上，加上30個均勻分布的噪聲點像素構成的圖像，如圖2（a）、（b）所示，它由一大兩小三個樣本子集構成（圖2（a）中3個黑粗點為原始類中心，為了突出實驗效果特別標出，實際不存在），其主要參數(shù)如表1所示。實驗分別采用傳統(tǒng)的GFCM、OSSFCM以及本文的IαSFCM算法進行聚類分割，每種算法各進行50次聚類取平均值，其中迭代終止閾值（兩次迭代間聚類中心之差）ε=0.001，OSSFCM算法中的懲罰因子α取常規(guī)值0.5，懲罰因子α起作用分界點γ=0.618（黃金分割點，即按隸屬度值大小排序，前61.8%的隸屬度可用懲罰因子修正），IαSFCM中約束條件即式（7）中σ為0.01。三種算法對上述兩圖像聚類分割的效果如圖1（b）～（d）與圖2（c）所示。圖3（c）中黑粗點代表原始聚類中心、“◇”代表采用經(jīng)典GFCM算法聚類后得到的3個聚類中心、“（”代表采用OSSFCM算法得到的聚類中心，“*”代表采用本文IαSFCM算法得到的聚類中心，三種算法對上述兩圖實驗測得的運行時間（Runtime）及分割精度（SA）如表2所示。

從圖1（b）～（d）及表2中Lena數(shù)據(jù)可以看出，在Lena圖像聚類分割實驗時，三種算法的實現(xiàn)效果差別不大，但在運行時間上，IαSFCM算法比其他兩種方法要短，GFCM運行時間最長，表明IαSFCM方法確實能提高收斂速度；同樣，對比圖2（c）及表2中人造樣本重合度SA值的可以看出，在有噪聲點存在的情況下，本文所提出的IαSFCM算法其聚類中心與原始中心的重合度最高、相應的SA值也最大，另從表2中人造樣本的runtime也可以看出，IαSFCM算法運行時間比經(jīng)典GFCM算法更短，與OSSFCM相比其運行時間幾乎相等，這是因為在本文算法中設置的α因子約束條件對噪聲樣本隸屬度不起作用。

3.2UCI數(shù)據(jù)集實驗

本實驗采用來自UCI樣本庫[20]的6個樣本數(shù)據(jù)集Iris、Seeds、BreastCancer、Soybean、Segment以及Yeats進行實驗，各數(shù)據(jù)集的基本組成如表3所示。實驗方法同3.1節(jié)，即分別采用經(jīng)典GFCM算法、優(yōu)化選擇算法OSSFCM與本文IαSFCM算法對上述6個樣本集進行聚類實驗，每種算法各進行50次取平均值，相關算法中的參數(shù)設置不變，本實驗主要對兩個聚類指標進行測定，一個是聚類的運行時間Runtime，另一個是聚類準確度和CA進行測定，各算法在實驗中所得的結果如表4所示。

從表4可以看出，對于聚類準確度指標CA，三種算法對6個樣本集聚類所得到的值相差不大，且其準確度都很高，表明三種算法都能很好地對真實數(shù)據(jù)集實現(xiàn)聚類劃分；但從運行時間指標Runtime上來看，三種算法中，經(jīng)典GFCM算法遠大于其他兩種算法，IαSFCM算法在聚類過程中，除了樣本集Iris與Segment聚類，其運行時間略長于OSSFCM算法外，其他4類樣本的運行時間IαSFCM比OSSFCM算法都要少。

從上述兩個實驗可以看出，本文提出的改進懲罰因子的SFCM算法在聚類過程中，在保證聚類質量的前提下，其運行時間更短，能更好地滿足那些實時性要求很高的樣本集處理，特別在含有噪聲點的圖像樣本的聚類分割中，其具有更大的優(yōu)勢。

4結語

本文基于競爭學習思想，利用樣本與聚類中心的關系，改進了SFCM算法中的懲罰因子，便于樣本在聚類過程中根據(jù)自身特點進行隸屬度的動態(tài)修正，實現(xiàn)快速聚類；同時在修正過程中，通過設置懲罰因子的約束條件，避免了包括噪聲樣本在內的隸屬度較小的樣本在聚類中的過度修正。多次實驗結果表明，本文提出的改進懲罰因子的SFCM聚類算法在保證聚類質量的前提下，其算法的執(zhí)行速度比經(jīng)典的FCM算法快得多，比其他SFCM算法聚類的有效性也有較大的提高。本文的主要創(chuàng)新點在于：一是改進SFCM算法的懲罰因子，實現(xiàn)模糊隸屬度在競爭修正過程中根據(jù)樣本自身特點的動態(tài)調整，即怎么抑制的問題；二是給出了α參數(shù)起作用的觸發(fā)條件，提出何時樣本的隸屬度需要抑制修正。需要指出的是，本文所提出的懲罰參數(shù)對隸屬度進行修正后，其迭代終止后目標函數(shù)值是否達到最小，是否同經(jīng)典FCM算法一樣也會收斂到局部極值點，這些問題有待進一步研究論證。

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