王延忠，吳朝陽，卞　勇，劉　旸

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100191；2.中國兵器工業(yè)新技術(shù)推廣研究所，北京 100089)

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航空弧齒錐齒輪輪齒應(yīng)力譜精確獲取及分布估計(jì)*

王延忠1，吳朝陽1，卞勇2，劉旸1

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100191；2.中國兵器工業(yè)新技術(shù)推廣研究所，北京 100089)

航空弧齒錐齒輪在服役過程中，工況惡劣，振動(dòng)沖擊多，工作過程中的輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜分布規(guī)律對(duì)弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)和壽命預(yù)測(cè)具有重要作用。根據(jù)弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算各工況下的動(dòng)載系數(shù)，建立綜合考慮支持剛度變形和動(dòng)載荷的弧齒錐齒輪加載接觸分析有限元模型，通過計(jì)算和處理得到弧齒錐齒輪工作過程中的齒面接觸應(yīng)力譜和齒根彎曲應(yīng)力譜樣本，進(jìn)而利用混合正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)法對(duì)輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜分布進(jìn)行估計(jì)。

弧齒錐齒輪;動(dòng)載荷;支承剛度變形;加載接觸分析;輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜分布

航空弧齒錐齒輪是直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中最重要、最復(fù)雜和最薄弱的動(dòng)力元件。其常處在高速、重載條件下工作，工況惡劣，振動(dòng)沖擊多，由齒輪失效導(dǎo)致的后果往往是災(zāi)難性的。精確獲取齒面應(yīng)力譜的分布規(guī)律對(duì)航空弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和壽命預(yù)測(cè)具有重大意義。

為了研究弧齒錐齒輪的輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜分布，就有必要對(duì)齒輪應(yīng)力進(jìn)行分析。目前，齒輪應(yīng)力計(jì)算分析通常是利用LTCA有限元法[1-2]；但這是建立在靜力分析基礎(chǔ)上，并未考慮動(dòng)力因素的影響。由于嚙合剛度的時(shí)變性和制造誤差而產(chǎn)生的振動(dòng)和沖擊，使得齒輪傳遞的載荷遠(yuǎn)大于靜態(tài)載荷，國內(nèi)外研究學(xué)者通常利用集中參數(shù)法建立多自由度的齒輪振動(dòng)模型,進(jìn)而通過數(shù)值方法進(jìn)行求解[3-4]。

本文根據(jù)航空弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的功率譜，通過對(duì)弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解獲取動(dòng)載荷系數(shù)；建立弧齒錐齒輪加載接觸分析有限元模型，將動(dòng)載系數(shù)以及支承剛度和軸系變形量作為有限元模型的邊界條件輸入，精確獲取各個(gè)工況下的輪齒應(yīng)力，結(jié)合各工況時(shí)間比對(duì)輪齒應(yīng)力進(jìn)行擴(kuò)展，得到齒面整個(gè)工作過程的隨機(jī)應(yīng)力數(shù)據(jù)樣本；最后利用混合正態(tài)分布參數(shù)法進(jìn)行估計(jì)，得到弧齒錐齒輪整個(gè)工作過程中的輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜分布規(guī)律。

1　弧齒錐齒輪系統(tǒng)參數(shù)和功率譜

弧齒錐齒輪的參數(shù)見表1?；↓X錐齒輪工作功率譜見表2。其中，時(shí)間百分比η為該工況運(yùn)行時(shí)間占所有工況運(yùn)行時(shí)間和的比例。

表1　齒輪相關(guān)參數(shù)

表2　弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輸入功率譜

2　各工況下的弧齒錐齒輪動(dòng)載系數(shù)獲取

2.1動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立

在齒輪動(dòng)力學(xué)模型中(見圖1)，兩齒輪用集中質(zhì)量和集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來模擬，軸模擬成無質(zhì)量的剛體，用彈簧和阻尼器來模擬，輪齒嚙合剛度用一對(duì)彈簧和阻尼器模擬。

圖1　弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型

弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可以等效為八自由度的動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)的自由度表示為列向量：

q={X1,Y1,Z1,θ1x,X2,Y2,Z2,θ2y}T

式中，Xi、Yi和Zi(i=1,2) 分別為齒輪沿x軸、y軸移動(dòng)和z軸橫向振動(dòng)位移；θ1x、θ2y分別為主動(dòng)齒輪繞x軸、被動(dòng)齒輪繞y軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移。

齒面嚙合點(diǎn)間由于振動(dòng)和誤差產(chǎn)生的沿嚙合點(diǎn)法線方向的相對(duì)位移為：

λn=(x1-x2)a1-(y1-y2)a2-

式中，a1=cosδ1sinαn；a2=cosδ1cosαnsinβ1，a3=cosαncosβ1；en(t)為齒輪副的法向靜態(tài)誤差；δ1為主動(dòng)輪的節(jié)錐角；αn為法面壓力角；β1為主動(dòng)輪的中點(diǎn)螺旋角；r1、r2為兩齒輪嚙合點(diǎn)半徑。

齒形誤差通常用正弦簡(jiǎn)諧函數(shù)表示：

en(t)=e0+ercos(Ωht+φ)

式中，e0、er為輪齒誤差的常值和幅值，通常取e0=0；Ωh為齒輪的嚙合頻率；φ為相位角，通常取φ=0。

齒輪副在嚙合時(shí)的法向動(dòng)載荷及沿坐標(biāo)方向的分力如下：

嚙合剛度取為：

式中，ch為嚙合阻尼；km為嚙合剛度的平均值；Akl為剛度的l階諧波幅值；Φkl為剛度的l階初相位。弧齒錐齒輪的嚙合剛度可以根據(jù)LTCA原理獲取并進(jìn)行公式擬合[5]。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，齒輪嚙合阻尼為：

式中，J1，J2分別為主、從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；R1，R2分別為主、從動(dòng)輪的基圓半徑；ξg為輪齒嚙合阻尼比，本文取ξg=0.1。

弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組為：

將λn作為新的自由度，消去θ1x和θ2y，系統(tǒng)的自由度數(shù)由8個(gè)降為7個(gè)，合并后的方程為：

做如下變換：

引入狀態(tài)變量：

將上式中的7個(gè)二階微分方程變?yōu)?4個(gè)一階微分方程，可以通過龍格庫塔數(shù)值積分法進(jìn)行求解。

2.2動(dòng)載系數(shù)的求解

圖2　不同工況下齒輪的動(dòng)載系數(shù)

從圖2中工況1～工況3可以看出，保持齒輪的轉(zhuǎn)速不變，隨著轉(zhuǎn)矩的增加，弧齒錐齒輪的動(dòng)載系數(shù)減小，這是因?yàn)殡S著載荷的增大，弧齒錐齒輪的傳動(dòng)比增大，傳動(dòng)誤差變小，傳動(dòng)更加平穩(wěn)；由工況4和工況5可以看出，弧齒錐齒輪的動(dòng)載系數(shù)隨著載荷的增大而增大，這是因?yàn)楫?dāng)載荷超過一定范圍后，齒輪的動(dòng)態(tài)沖擊激勵(lì)占主導(dǎo)作用，隨著載荷的增大，齒輪的動(dòng)態(tài)沖擊激勵(lì)變大，因而，弧齒錐齒輪的動(dòng)載系數(shù)增大。

3　考慮動(dòng)載荷和支承剛度的輪齒應(yīng)力獲取

3.1有限元模型的建立

由于動(dòng)力學(xué)因素的影響，弧齒錐齒輪的實(shí)際工作載荷會(huì)比額定載荷增大；同時(shí)弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在載荷作用下，軸承支承和軸系會(huì)發(fā)生變形，致使齒輪的嚙合位置發(fā)生變化，這些因素都在不同程度上影響了弧齒錐齒輪的傳動(dòng)性能。為了提高弧齒錐齒輪的輪齒應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性，應(yīng)考慮弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)因素和支承剛度變形的影響。

結(jié)合弧齒錐齒輪的加載接觸有限元分析原理，建立該對(duì)考慮動(dòng)力學(xué)因素和支承剛度變形的弧齒錐齒輪加載接觸分析有限元模型，大小輪設(shè)置同樣的材料屬性：彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3?？臻g問題中對(duì)計(jì)算對(duì)象形狀適應(yīng)較好的是四面體單元，四面體單元對(duì)邊界擬合的能力強(qiáng)；因此，本文選擇四面體單元C3D10進(jìn)行網(wǎng)格劃分。劃分網(wǎng)格后的有限元模型如圖3所示。

圖3　四面體單元C3D10劃分網(wǎng)格后的模型

軸承剛度采用彈簧進(jìn)行模擬(見圖4)，將軸承支承面與參考點(diǎn)RP-pp-1在x,y和z方向的平移自由度進(jìn)行耦合，然后將參考點(diǎn)采用“Spring>Creat>Connect points to ground”命令與空間固定點(diǎn)連接起來，設(shè)置彈簧的x、y和z方向的剛度值。

圖4　軸承剛度模擬

本文中的弧齒錐齒輪在傳動(dòng)過程中發(fā)生二、三齒嚙合交替變化，一個(gè)輪齒嚙合周期歷程中的動(dòng)載系數(shù)變化如圖5所示。根據(jù)輪齒的嚙合位置，將ABAQUS軟件中的Amplitude幅值曲線設(shè)置成相應(yīng)的動(dòng)載系數(shù)。分別設(shè)定5個(gè)工況的載荷大小，提交Job，進(jìn)行計(jì)算分析。

圖5　一個(gè)嚙合周期歷程中的動(dòng)載系數(shù)變化

3.2有限元計(jì)算結(jié)果

圖6～圖10分別為5個(gè)工況有限元計(jì)算結(jié)果的齒面中點(diǎn)接觸應(yīng)力和齒根中點(diǎn)彎曲應(yīng)力在嚙合過程中的曲線變化圖，其中，曲線1、曲線2分別為不考慮和考慮動(dòng)載系數(shù)的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。

圖6　工況1的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖7　工況2的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖8　工況3的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖9　工況4的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖10　工況5的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

由圖6～圖10可知，考慮動(dòng)載系數(shù)的弧齒錐齒輪有限元模型會(huì)使輪齒載荷增大，齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力都會(huì)相應(yīng)地提升，受載時(shí)間也會(huì)變長；由于考慮支承剛度和軸系變形，輪齒在受載情況下會(huì)明顯發(fā)生提前嚙合，輪齒嚙合位置發(fā)生改變，進(jìn)而會(huì)影響輪齒的應(yīng)力值，因此，考慮動(dòng)載系數(shù)和支承剛度變形的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果會(huì)更精確。

將各工況下提取的齒面接觸應(yīng)力值和齒根彎曲應(yīng)力值擴(kuò)展該工況的時(shí)間百分比η×104次，然后將各工況擴(kuò)展后的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力值分別進(jìn)行疊加，得到弧齒錐齒輪整個(gè)工作過程中的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力數(shù)據(jù)樣本。

4　輪齒應(yīng)力譜統(tǒng)計(jì)及分布估計(jì)

為了對(duì)弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與壽命預(yù)測(cè)，就需要得到該弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的輪齒應(yīng)力譜的總體分布規(guī)律；因此，有必要對(duì)應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和統(tǒng)計(jì)。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法一般假設(shè)應(yīng)力譜數(shù)據(jù)來自于某種分布的樣本，然后進(jìn)行研究推斷；但是由于數(shù)據(jù)形態(tài)面臨越來越復(fù)雜的趨勢(shì)，很多情況下不同的局部表現(xiàn)出不同的特性，利用單一參數(shù)分布族函數(shù)將帶來較大的偏差，現(xiàn)在比較成熟的有混合分布模型分析法[6-7]?；旌戏植寄Ｐ褪怯蒏. Person提出的，隨著計(jì)算機(jī)事業(yè)的蓬勃發(fā)展，計(jì)算能力不斷提高，混合分布已經(jīng)成為數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要工具，并得到了廣泛的應(yīng)用。

本文先對(duì)輪齒應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行載荷等級(jí)分組，然后統(tǒng)計(jì)各載荷等級(jí)的幀數(shù)以及概率密度，最后利用混合正態(tài)分布法對(duì)輪齒應(yīng)力譜進(jìn)行分布估計(jì)。混合正態(tài)分布模型概率密度函數(shù)為：

式中，w-li為各正態(tài)分布的權(quán)重系數(shù)；μi為各正態(tài)分布的期望；σi為各正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；l為需要估計(jì)的正態(tài)分布的個(gè)數(shù)。具體數(shù)據(jù)處理流程如圖11所示。

編制相應(yīng)的計(jì)算程序，對(duì)弧齒錐齒輪整個(gè)工作過程中的齒面接觸應(yīng)力譜和齒根彎曲應(yīng)力譜樣本進(jìn)行處理，得到輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜的總體分布結(jié)果(見圖12和圖13)。

圖11　流程圖

圖12　齒面接觸應(yīng)力譜分布

由圖12可知，齒面接觸應(yīng)力譜的分布為：w-l1=0.335，μ1=10，σ1=5.4；w-l2=0.079，μ2=129.3，σ2=4.5；w-l3=0.532，μ3=148.6，σ3=107；w-l4=0.054，μ4=298，σ4=3.5。

由圖13可知，齒根彎曲應(yīng)力譜的分布為：w-l1=0.247，μ1=50.6，σ1=20.5；w-l2=0.183，μ2=215.5，σ2=22.7；w-l3=0.165，μ3=500.1，σ3=23.5；w-l4=0.405，μ4=266.9，σ4=95.1。

5　結(jié)語

通過上述分析，得到如下結(jié)論。

1)通過建立弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算得到了某弧齒錐齒輪系統(tǒng)的各工況下的動(dòng)載系數(shù)。

2)建立了一種綜合考慮動(dòng)力學(xué)因素和支承剛度變形影響的弧齒錐齒輪的加載接觸分析有限元模型，計(jì)算結(jié)果表明，綜合考慮動(dòng)力學(xué)因素和支承剛度變形，輪齒在受載情況下會(huì)明顯發(fā)生提前嚙合，齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力會(huì)增大，受載時(shí)間也會(huì)變長。

3)基于某弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的功率譜，通過計(jì)算分析得到弧齒錐齒輪整個(gè)工作過程中的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力數(shù)據(jù)樣本，并基于混合正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)法對(duì)輪齒應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到了輪齒隨機(jī)應(yīng)力譜的分布，為弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)和壽命預(yù)測(cè)提供了重要依據(jù)。

[1] 王延忠,劉溢溥,張祖智,等. 重載弧齒錐齒輪承載特性分析[J]. 新技術(shù)新工藝，2014(1)：60-63.

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[7] Nagode M F M.On a new method for prediction of the scatter of loading spectra[J].International Journal of Fatigue，1998，20(4)： 271-277.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275020)

國家高科技支撐項(xiàng)目(2014BAF08B01)

航空A計(jì)劃項(xiàng)目(ATR-125-02-101)

責(zé)任編輯馬彤

Precise Acquisition and Distribution Estimation of Tooth Random Stress Spectrum of Aviation Spiral Bevel Gear

WANG Yanzhong1, WU Zhaoyang1, BIAN Yong2, LIU Yang1

(1.School of Mechanical Engineering and Automation Beihang University， Beijing 100191， China；2.Chinese Advanced Technology Generalization Institute of CNGC， Beijing 100089， China)

Aviation spiral bevel gear is working under severe conditions which are full of vibration and impact. Tooth random stress distribution is important for spiral bevel gear design and life prediction. The loaded contact analysis with finite element model of spiral bevel gear is established, considering deformation of support stiffness and dynamic load, which is calculated based on the dynamic model. Samples of tooth contact stress and tooth root bending stress spectrum are obtained. Then use the mixed normal distribution parameter method to estimate the distribution of tooth stress spectrum.

spiral bevel gear，dynamic load，deformation of support stiffness，loaded contact analysis，distribution of tooth random stress spectrum

TH 132.41

A

王延忠 (1963-),男，教授，主要從事先進(jìn)精密傳動(dòng)加工技術(shù)等方面的研究。

2016-04-02