【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)從培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題和解決問題的角度出發(fā)開展教學(xué)活動，著力培養(yǎng)學(xué)生的思考問題的能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).以“圖形的旋轉(zhuǎn)”課堂教學(xué)為例，我們不妨從感悟生活明確目標(biāo)直觀辨別激活經(jīng)驗、操作觀察抽象比較確認(rèn)要素生成概念、研究要素升華經(jīng)驗靈動生成完善體系和作圖運用類比聯(lián)想強(qiáng)化本質(zhì)提升能力等四個方面進(jìn)行課堂教學(xué)的深入思考，深悟概念要素，研獲思考方法.

【關(guān)鍵詞】概念要素；旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度

“圖形的旋轉(zhuǎn)”被多個省市作為初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比課題，并不是因為學(xué)習(xí)的內(nèi)容多的緣故，更重要的原因是本節(jié)課是一節(jié)典型的數(shù)學(xué)概念生成和概念性質(zhì)探索課.教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生抽象出旋轉(zhuǎn)的概念？如何從概念出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)？教師如何把看似分離的東西聯(lián)系起來，如何把較多的內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩幔绾我龑?dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考？如何就教學(xué)內(nèi)容通過創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計問題進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)引領(lǐng)，使得學(xué)習(xí)過程順乎自然.

下面借助于初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動關(guān)于“圖形的旋轉(zhuǎn)”（蘇科版）的教學(xué)片段進(jìn)行分析，闡明“深悟概念要素，研獲思考方法”的道理，以此昭示同仁，引發(fā)思考.

1感悟生活明確目標(biāo)，直觀辨別激活經(jīng)驗

教學(xué)片段1

師：同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)過哪些圖形的變換方式呢？圖1生：平移和翻折.

師：請同學(xué)們欣賞一組圖片（圖1），你能根據(jù)圖形的運動方式給它們歸歸類嗎？

生：①，④，⑨（平移）；②，⑤，⑦（翻折）

師：剩下的這些屬于哪一類變換方式呢？

生：旋轉(zhuǎn).

師：非常好，今天我們就來認(rèn)真地研究一下《圖形的旋轉(zhuǎn)》.【板書】

師：請大家回顧一下，我們當(dāng)初是怎樣研究平移和翻折的呢？我們可以從哪些方面去思考？

生：……

分析與思考課本直接給出幾個旋轉(zhuǎn)圖形，讓學(xué)生說說旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，這樣的安排指向性太直接，沒有比照對象參考，也不利于學(xué)生感悟?qū)ο蟮谋举|(zhì)，領(lǐng)悟概念的要素.教者怎么處理好呢？首先考慮到了學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)開始新知識的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過兩種圖形的全等變換：平移和翻折.由于七年級學(xué)生更喜歡直觀事物的刺激，教者可以將混有平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的平面圖形讓學(xué)生鑒賞，讓學(xué)生充分感受旋轉(zhuǎn)的平面圖形與平移、翻折的平面圖形的不同，同時進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回憶研究平移和翻折是怎么進(jìn)行的，這樣就激活了學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自然引出了對應(yīng)點、對應(yīng)線段、對應(yīng)角、對應(yīng)圖形等數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生領(lǐng)會研究點、線、面問題都可以歸結(jié)到研究點的問題、研究幾何圖形立足研究圖形的位置和大小的數(shù)學(xué)研究問題的方法，在動與不動、變與不變中洞察事物的本質(zhì)特征.下面的學(xué)習(xí)過程就成了感悟概念要素，類比生成概念、類比研究性質(zhì)了.后續(xù)研究問題的目標(biāo)和方向明確了，學(xué)生思維的匣子打開了，這就為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下了良好的伏筆.

2操作觀察抽象比較，確認(rèn)要素生成概念

教學(xué)片段2

師：什么叫做圖形的旋轉(zhuǎn)呢？請同學(xué)們用數(shù)學(xué)眼光看一下圖形的旋轉(zhuǎn).

師：如圖2，它們有什么共同點？哪些不同點？

生：共同點：都圍繞一個點在轉(zhuǎn)動.不同點是左圖是順時針，右圖是逆時針.

圖2師：如圖3，它們有什么共同點？哪些不同點？不同點是左圖旋轉(zhuǎn)幅度大，右圖旋轉(zhuǎn)幅度小.

生：共同點：都圍繞一個點在逆時針轉(zhuǎn)動.

圖3師：你能根據(jù)剛才的比較說出旋轉(zhuǎn)的定義嗎？

生1、生2等幾名同學(xué)先后描述，逐步完善……

師生歸納定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點（按某個方向）轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個定點叫旋轉(zhuǎn)中心【板書】，這個方向叫旋轉(zhuǎn)方向【板書】，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角【板書】.

師：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角就是旋轉(zhuǎn)的三個要素.

……

分析與思考許多參加優(yōu)質(zhì)課評比的老師對旋轉(zhuǎn)概念形成處理非常草率，上述教學(xué)片段處理也不深刻.

事實上，教學(xué)中可以讓學(xué)生可以從混有平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的平面圖形欣賞中，找出與平移、翻折的平面圖形不同的圖形，由學(xué)生說出“旋轉(zhuǎn)”一詞而非教師的給予，自然過渡到尋找不動點、尋求旋轉(zhuǎn)特征的任務(wù)上來.學(xué)生能夠充分體驗了從現(xiàn)實生活中感悟數(shù)學(xué)、由欣賞平面圖形抽象出數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化過程.根據(jù)研究一般事物的特征總是從研究特殊案例開始的規(guī)律，引出課本P74頁操作實驗1、2，操作實驗1、2中不動的點一個在直角頂點處，一個在三角形外，不動點還可以在什么地方呢？教師的點撥，會讓學(xué)生想到不動點還可以在三角形的其它頂點處、在邊上、在形內(nèi)或在形外，我們只是以兩個特殊對象來研究，在三角形的旋轉(zhuǎn)過程中感受旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角.當(dāng)然在旋轉(zhuǎn)概念未給出前并不一定要準(zhǔn)確說出這些概念詞語，教者不妨引導(dǎo)學(xué)生嘗試給旋轉(zhuǎn)下定義，在教者的引導(dǎo)下不斷充實定義的內(nèi)涵，最后抽象出旋轉(zhuǎn)的定義.

對于旋轉(zhuǎn)概念的理解，教者應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三點：

1.定義可以更加嚴(yán)謹(jǐn).蘇科版教材的定義中：“旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角”，我們可以將其改為“轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角”，況且讓學(xué)生進(jìn)行這樣的改正，也有利于培養(yǎng)學(xué)生不迷信課本、不迷信權(quán)威的良好個性品質(zhì).

2.要素可以包含三個.蘇科版教材認(rèn)為旋轉(zhuǎn)包含二個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度.可能是考慮到高中階段角的概念本身就包含方向的緣故.人教版、華師版教材都認(rèn)可旋轉(zhuǎn)包含三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.

3.反例有助理解概念.對旋轉(zhuǎn)概念的理解，不妨編制一些旋轉(zhuǎn)中心發(fā)生變化或是旋轉(zhuǎn)半徑發(fā)生變化的反例，也可以通過旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的變化讓學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)的效果不同.

3研究要素升華經(jīng)驗，靈動生成完善體系

教學(xué)片段3

師：我們已經(jīng)初步掌握了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念，下面我們就一起來探究一下旋轉(zhuǎn)過程中還有哪些相等的元素.剛才我們已經(jīng)從整體上看，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等的.我們再從局部研究，旋轉(zhuǎn)過程中還有沒有一些相等的線段呢？

師：同學(xué)們想一想：圖形平移和翻折時，變的是什么，不變的是什么？

生：位置在變，形狀、大小不變.

師：那么圖形旋轉(zhuǎn)前后呢？

生：和平移、翻折一樣，位置在變，形狀、大小不變.

師：那也就是說，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等的.【板書】

師：全等圖形又有哪些性質(zhì)呢？

生：對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.【板書】

圖4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：線.

問題1：如圖4，將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn).圖中除對應(yīng)線段相等外，還有那些相等的線段？

師：讓我們一起來看看旋轉(zhuǎn)過程的動畫，邊看邊觀察.（演示旋轉(zhuǎn)動畫）

生：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.

師：這可能只是我們觀察中的一個猜想，還不能成為結(jié)論.那我們還要做什么呢？

生：驗證！

師：那就請同學(xué)們打開書到74頁測量圖32中OA、OA′；OB、OB′；OC、OC′.

一會兒之后……

師：它們相等嗎？

生：相等.

師：好，通過驗證，我們猜想的結(jié)論是正確的，你能用一句話概括我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

生：每對對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等【板書】

師：旋轉(zhuǎn)過程中還有沒有一些相等的角呢？（繼續(xù)播放旋轉(zhuǎn)動畫）

圖5旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：角.

問題2：如圖5，將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn).圖中除了對應(yīng)角相等外，還有那些相等的角？

生：（可能答出其他的一些角相等）

師：圖中的∠AOA′、∠BOB′、∠COC′是什么角？相等嗎？

生：相等.

師：這仍然是一個猜想，還要干什么？

生：驗證！

師：打開書P74用量角器量一量，看是否相等？

生：相等

師：你能概括成一句話嗎？

生：旋轉(zhuǎn)角彼此相等.

師板書：每對對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角相等.

分析與思考課本上旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是緊接著旋轉(zhuǎn)的概念給出的，沒有分析的過程，作為教者應(yīng)該怎樣處理更好？

類比平移性質(zhì)歸納的思維規(guī)律，可以考慮分別從整體、局部和點進(jìn)行比較，即考慮旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的全部、對應(yīng)線段、對應(yīng)點.我們知道圖形的全部和對應(yīng)線段都是由點構(gòu)成的，研究圖形的全部和對應(yīng)線段問題可以化歸為研究對應(yīng)點的問題，讓學(xué)生通過“連”（連結(jié)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的線段）、“量”（量對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角、量對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離）和“比”（比較確認(rèn)），從而得出課本上給出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).在實際教學(xué)過程中，教者給學(xué)生上述的引導(dǎo)，學(xué)生必然會從系統(tǒng)角度思考問題，甚至課堂上提出探討對應(yīng)線段性質(zhì)問題.

即便如此，我們?nèi)匀挥幸粋€感覺：學(xué)生是在教師的“引導(dǎo)”之下思考問題，而不是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，然后再研究問題.學(xué)生做到了“知其然”和“知其所以然”，但沒有做到“何由以知其所以然”.教者不妨引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，通過對旋轉(zhuǎn)要素的思考，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)要研究的問題：對應(yīng)點、對應(yīng)線段、對應(yīng)角、對應(yīng)圖形，其實學(xué)生通過類比研究平移和翻折也可以自己感悟到，對于對應(yīng)線段、對應(yīng)角、對應(yīng)圖形的性質(zhì)學(xué)生能夠很快發(fā)現(xiàn)并歸納，但怎樣研究對應(yīng)點的性質(zhì)，可以讓學(xué)生多動腦筋，開展小組討論學(xué)習(xí)，確定研究的方法、思考的方法，通過交流、互相啟發(fā)等方式發(fā)現(xiàn)結(jié)論，歸納性質(zhì)，個人認(rèn)為這樣更有利于提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).對于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探討和研究不應(yīng)該是教師的“引導(dǎo)”之下思考問題，教師的“引導(dǎo)”之下思考問題從某種意義上說剝奪了學(xué)生思考的權(quán)利，實現(xiàn)的不是高品味真意義的教學(xué).

4作圖運用類比聯(lián)想，強(qiáng)化本質(zhì)提升能力

教學(xué)片段4

師：我們已經(jīng)分別從形、線、角三個方面發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)過程中一些相等的線段、相等的角，這些就是旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)【板書】.我想這時候同學(xué)們都迫不及待地想利用旋轉(zhuǎn)知識設(shè)計一些漂亮的圖案，下面我們一起來研究如何畫出一個圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形？我們先從最基本的圖形“點”開始研究.

問題3：（“點”的旋轉(zhuǎn)）已知點A和點O，請畫出點A繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

師：請同學(xué)們和老師一起來畫.（師生共同完成，學(xué)生說，教師示范畫）

【如果學(xué)生說不出來，教師可給出畫好的圖形，讓學(xué)生說能得到哪些結(jié)論.我們自己畫圖時應(yīng)該也要得到這2個結(jié)論，也就是說，我們可以用這兩個結(jié)論指導(dǎo)我們畫圖.】

師：我們畫好后的圖形中也要能得到這些結(jié)論，所以我們應(yīng)該用這兩個結(jié)論來指導(dǎo)我們畫圖.

師：你能說出點旋轉(zhuǎn)的步驟嗎？

生：一連線，二畫角，三截取.

問題4：（“線”繞點轉(zhuǎn)）我們在原圖中再增加一個點B，連接AB，得到一條線段AB，你能畫出線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形嗎？請同學(xué)們試一試.

一名同學(xué)在黑板上操作，其余同學(xué)在練習(xí)本上操作.一會兒之后，請板演的同學(xué)說作圖的步驟.（學(xué)生到黑板前解說）

師：為什么你只要作出線段兩個端點的對應(yīng)點就可以了呢？

生：旋轉(zhuǎn)后的線段是由兩個點確定的.

師：大家能否告訴我，線段旋轉(zhuǎn)和點旋轉(zhuǎn)的關(guān)系？

生：線的旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn).

問題5：（“形”繞點轉(zhuǎn)）如果我們在原圖中再增加一個點C，連接AB、BC，得到一個△ABC，你能畫出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形嗎？請同學(xué)們再試一試.

一會兒之后，實物展臺展示學(xué)生的作品，并讓操作學(xué)生說出步驟.

師：那為什么只要作出三角形三個頂點的對應(yīng)點就行了呢？

生：旋轉(zhuǎn)后的三角形就是由三個頂點的對應(yīng)點確定的.

師：你能否告訴大家，三角形旋轉(zhuǎn)和點旋轉(zhuǎn)的關(guān)系？

生：三角形旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn).

師：那將四邊形旋轉(zhuǎn)呢？

生：作四邊形各頂點的對應(yīng)點.

師：反思：如何作圖？

師：我們一起回顧一下剛才的操作，對于任何一個圖形，作出將它旋轉(zhuǎn)后的圖形的思路是什么？

生：形旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成點旋轉(zhuǎn).【板書】

師：這就是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.

師：到底作什么樣點的對應(yīng)點呢？關(guān)鍵是找哪些點呢？

生：關(guān)鍵在于作確定圖形點的對應(yīng)點.【板書】

分析與思考上述教者做法一方面緊緊抓住概念、抓住性質(zhì)，通過確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度和對應(yīng)點的旋轉(zhuǎn)半徑實施作圖，另一方面仍然從點、線、面的系統(tǒng)角度思考，分別設(shè)計一個作一個點、一條線段、一個三角形繞一個固定點旋轉(zhuǎn)的問題，這樣的做法體現(xiàn)了一個數(shù)學(xué)問題由簡到繁、由易到難的上升過程.不過，對為什么這么做的追問不夠，不少同學(xué)并不明白為什么這么做的道理，沒有讓學(xué)生反復(fù)體驗作圖依據(jù)：每對對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，每對對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角相等.

筆者覺得教學(xué)可以作這樣的改進(jìn)，直接給出作一個三角形繞形外一個固定點旋轉(zhuǎn)后的三角形問題.然后讓學(xué)生討論如何解決問題，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解決問題先從找對應(yīng)點開始，明確研究解決問題的方法，依然是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，明確方向，開展研究，解決問題.

一些參賽選手，還喜歡補(bǔ)充這樣一個作圖題：已知一條線段和它繞一點旋轉(zhuǎn)后的線段，請你確定旋轉(zhuǎn)中心.這樣的問題對于剛接觸旋轉(zhuǎn)作圖的學(xué)生們來說是比較難的，在本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容很多的情況可以不涉足，以免沖淡前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)該重點掌握的學(xué)得不透，新的問題又不能深入探討.即使補(bǔ)充內(nèi)容，多數(shù)老師也處理得不到位，停留在解決問題的層面上.解決問題的關(guān)鍵是讓學(xué)生聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點的連線段（旋轉(zhuǎn)半徑）相等，從而判斷旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線段的垂直平分線上，作兩對對應(yīng)點的連線段的垂直平分線得到交點即旋轉(zhuǎn)中心.如何拓展運用呢？其實只要追問兩個問題，一是給出一對對應(yīng)點能不能確定旋轉(zhuǎn)中心？給出旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形能不能確定旋轉(zhuǎn)中心？通過對前一個問題的否定和后一個問題的肯定，學(xué)生便掌握了對這一類問題的思考方法，正所謂觸類旁通.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，教者只有站得高，才能望得遠(yuǎn)，教者只有深悟，才能深教.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)從培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題和解決問題的角度出發(fā)，著力培養(yǎng)學(xué)生的思考問題的能力.這樣的數(shù)學(xué)課才會上得大氣，學(xué)生獲得的不僅是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技巧，而是學(xué)科素養(yǎng)和核心能力.

作者簡介任宏章，男，1966年生，江蘇興化人，中學(xué)高級教師，省特級教師.主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究和初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為方式的研究.江蘇省中數(shù)會會員，國家數(shù)學(xué)奧林匹克一級教練，泰州市名教師、泰州學(xué)科帶頭人.多篇論文在中學(xué)數(shù)學(xué)參考等省級以上刊物發(fā)表，主持或參加過六項省級以上課題的研究工作.