陳紫強，舒 亮，謝躍雷

（桂林電子科技大學認知無線電與信息處理省部共建教育部重點實驗室，廣西桂林　541004）

一種高安全性的級聯(lián)型混沌擴頻序列*

陳紫強，舒 亮**，謝躍雷

（桂林電子科技大學認知無線電與信息處理省部共建教育部重點實驗室，廣西桂林541004）

針對傳統(tǒng)一維混沌映射產(chǎn)生序列復雜度低、保密性不理想等問題，提出了一種基于Logistic改進型映射和Cubic映射的級聯(lián)型混沌序列。新序列的混沌映射表達式由原來的低次一階差分方程擴展為高次二階差分方程，映射迭代過程由單級迭代變?yōu)槎壗徊娴?，從而提高了混沌系統(tǒng)的復雜性。對新序列的非線性動力學混沌特性和擴頻通信性能進行了仿真對比，結果表明新序列具有混沌吸引子結構更加復雜、初值敏感性更強、序列復雜度更高、安全性更好的特點，最后驗證了新混沌序列具有和傳統(tǒng)一維混沌序列相當?shù)臄U頻特性。

擴頻通信；混沌序列；Logistic改進型映射；Cubic映射

1　引　言

目前，擴頻通信系統(tǒng)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在抗干擾性和保密性［1］，在軍事通信、遠程導航和水聲通信等領域使用廣泛，其中直接序列擴頻通信在目前的通信系統(tǒng)中使用最為普遍。在直接擴頻系統(tǒng)中，最重要的就是要選擇合適的擴頻碼序列。基于線性反饋移位寄存器產(chǎn)生的傳統(tǒng)偽隨機序列由于存在數(shù)目有限、復雜度低、保密性差等缺點已不能滿足如今直擴系統(tǒng)容量大、多址干擾小等要求［2］，因而研究新的擴頻碼序列已經(jīng)成為現(xiàn)階段該領域的重要研究內(nèi)容，其中混沌擴頻碼目前已成為一種新型的擴頻序列。

混沌系統(tǒng)由于其產(chǎn)生的序列具有良好的類隨機性、非周期性和非線性、類白噪聲統(tǒng)計特性等特點，使得混沌系統(tǒng)具有相當強的抗干擾能力。目前，擴頻通信系統(tǒng)中常用Logistic型及其Logistic改進型［3］、Chebyshev型［4］和Cubic型［5］等傳統(tǒng)單一的混沌映射所產(chǎn)生的混沌序列作為擴頻碼序列。這些單一混沌擴頻序列雖然生成算法簡單，使用起來方便，可以作為擴頻碼運用于直擴通信系統(tǒng)中，但是存在復雜度低、保密性差等缺點，尤其是在軍用通信系統(tǒng)或者其他對保密性要求較高的通信中，復雜性差的序列容易被破解，因此如何提高和改善混沌擴頻序列的復雜性，成為近些年來該研究領域的焦點。文獻［6］在傳統(tǒng)映射的基礎上提出了一種級聯(lián)型的混沌映射，在提高混沌序列復雜度的同時還改善了混沌序列被截斷帶來的影響。文獻［7］在Logistic混沌映射的基礎上進行改進，提出了二級分段Logistic混沌映射的概念，在某種程度上解決了Logistic及其改進型序列復雜度不高、隨機性差等問題。

鑒于此，本文提出一種級聯(lián)結構的混沌映射，通過將Logistic改進型和Cubic兩種傳統(tǒng)一維混沌映射采用差分相乘形式級聯(lián)，使混沌映射函數(shù)變得更復雜；接著，對新序列與組成它的原始序列以及文獻［7］所提出的分段Logistic序列的混沌特性進行對比仿真研究；最后將新型序列作為擴頻碼在擴頻系統(tǒng)中進行誤碼率仿真分析，驗證新序列作為擴頻系統(tǒng)中的擴頻碼的可行性。

2　新型混沌序列產(chǎn)生方法

2.1傳統(tǒng)一維混沌映射

Logistic改進型映射的表達式為式中∶μ的取值范圍為［0，2］。在-1＜xn＜1時，該映射是否處于混沌狀態(tài)取決于參數(shù)μ的取值，其產(chǎn)生序列的倍周期分岔［8］如圖1（a）所示，由圖可知在μ取值區(qū)間為［1.4，2］時，該序列處于混沌狀態(tài)。

Cubic映射的表達式為

式中∶參數(shù)ω的取值范圍為（4，6）。當-1＜xn＜1時，則此時該映射處在混沌狀態(tài)，其混沌映射所對應序列的倍周期分岔圖如圖1（b）所示，由圖可以看出Cubic序列在中間帶狀區(qū)域上處于混沌狀態(tài)。

圖1　混沌序列分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of chaotic sequence

從圖1（a）可以看出在Logistic改進型映射中當且僅當μ=2時處于滿映射狀態(tài)［9］，很明顯，在滿映射狀態(tài)下，序列的隨機取值可以從-1取到1，序列取值非常靈活，這對于通信的保密和信息安全非常重要；而在非滿映射狀態(tài)下，序列不能取到所有值，甚至產(chǎn)生的值域集中分布在一段狹窄的范圍，在保密擴頻通信或者其他對信息安全要求高的通信中，將增大第三方破解該序列的可能性，因而非滿映射尤不適用對保密性要求高的通信系統(tǒng)中。圖1（b）的滿映射狀態(tài)只在當ω=4時可以取到，在其他區(qū)間上均不能達到滿映射，因此也不利于保密通信，而文獻［7］所提出的分段Logistic混沌是在Logistic改進型混沌序列基礎上進行了分段處理，其滿映射區(qū)間范圍相對于Logistic改進型混沌有了較大的提高，但還不夠理想。

2.2Logistic和Cubic級聯(lián)型混沌映射

以簡單的一維混沌映射為基礎，本文提出了Logistic和Cubic的級聯(lián)型映射的混沌序列，該新型映射可以有如下兩種表述方法∶

式中∶f（n）和g（n）是兩種均值為零的一維混沌映射。選取前文所介紹的兩種映射作為原始映射，按照表達式（3）和表達式（4）的結構構造出新的復合映射分別如式（5）和式（6）所示∶

式中∶a∈［1.4，2］；b∈（4，6）。由表達式可以看出，新的復合映射通過將Logistic改進型映射和Cubic映射進行差分相乘級聯(lián)，使得新產(chǎn)生的混沌映射表達式的最高次是Logistic和Cubic兩種原始序列最高次的累加，差分方程由單階變?yōu)槎A，相應的多項式展開之后項數(shù)比原始序列更多，由兩項增加到四項，由此提高了混沌系統(tǒng)的復雜性。為方便研究，稱表達式（5）產(chǎn)生的序列為Logistic-Cubic序列，表達式（6）產(chǎn)生的序列為Cubic-Logistic序列。由于表達式（5）和（6）的結構一樣，因此序列的許多性質(zhì)都一樣，只是產(chǎn)生的序列不同，為避免重復研究，本文主要針對Logistic-Cubic序列進行研究，Cubic-Logistic序列只做部分研究。

3　新型混沌序列非線性動力學特性分析

3.1分岔圖

圖2為式（5）的三維分岔圖，其表述了混沌控制參數(shù)a和b與序列xn的關系。由圖可知，在a∈［1.4，2］、b∈（4，6）的參數(shù)范圍內(nèi)幾乎都存在混沌行為，而且都是滿映射狀態(tài)。

圖2　Logistic-Cubic序列三維分岔圖Fig.2 The 3-dimensional bifurcation diagram of Logistic-Cubic sequence

圖3為Logistic-Cubic序列三維分岔圖在a=4和b=2時的截面，對比圖3和圖1以及文獻［7］中分段Logistic映射的混沌倍周期分岔圖可以看出，新產(chǎn)生的Logistic-Cubic映射在很大的參數(shù)范圍內(nèi)都取得滿映射，并且滿映射范圍多于圖1和文獻［7］所提出的分段Logistic映射產(chǎn)生的滿映射范圍，因此Logistic-Cubic映射混沌取值更靈活。

圖3　Logistic-Cubic混沌序列分岔圖截面Fig.3 The section bifurcation diagram of Logistic-Cubic sequence

3.2混沌吸引子

混沌吸引子又稱奇異吸引子，它是無限層條帶經(jīng)過伸長和折疊的幾何圖像，表示系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間呈無規(guī)則的非周期狀態(tài)?；煦缥泳哂谢煦绲囊磺刑卣鳎▽Τ跏紬l件的敏感性、非整數(shù)的維數(shù)、無窮嵌套的自相似結構，同時也是混沌序列在相空間取值的一個集合?；煦绲膭恿W特征可以通過吸引子的結構和復雜程度來體現(xiàn)，吸引子越復雜，其對應的混沌的動力學特性就越強。本文對多種混沌的三維空間吸引子進行了仿真，結果如圖4所示。

圖4　混沌序列三維吸引子Fig.4 The 3-dimensional attractors of chaotic sequence

由圖4可以看出，Logistic混沌吸引子和Cubic混沌吸引子分別為三維空間中的拋物線和三次曲線，文獻［7］所提出的分段Logistic混沌由于對Logistic改進型混沌映函數(shù)進行了分段化處理，其吸引子在三維表現(xiàn)為4條獨立的具有相似結構的拋物線。以上3種混沌序列由于序列在迭代出新值時只由前一個迭代值決定，在相空間的迭代軌跡取值只是一條或者多條空間曲線，而Logistic-Cubic映射迭代產(chǎn)生新的混沌值時由兩個迭代值決定，因此產(chǎn)生新混沌值的范圍更大，吸引子在三維空間中呈現(xiàn)出曲面形式；Cubic-Logistic混沌由于映射表達式和Logistic-Cubic相似，只是取值的先后順序有區(qū)別，在迭代無窮次以后，其呈現(xiàn)出來的吸引子形狀與Logistic-Cubic混沌一樣。

4　Logistic-Cubic混沌序列特性研究

4.1初值敏感性

初值敏感性是指混沌對于初始值具有非常強的依賴性，給定初始值一個微弱的變化，在數(shù)次迭代運動過后其產(chǎn)生的軌跡狀態(tài)和變化之前的軌跡將完全不相干。

現(xiàn)研究Logistic-Cubic序列的初值敏感性。由于Logistic-Cubic序列存在兩個初始值x（1）和x（2），因此考慮兩種情況，分別對第1個初始值和第2個初始值做微小的改變，如圖5所示，a=1.6，b=4，經(jīng)過50次迭代。其中圖5（a）序列的兩組初始值為［0.6，0.2］和［0.600 000 1，0.2］，圖5（b）序列的兩組初始值為［0.6，0.2］和［0.6，0.200 000 1］。

圖5　Logistic-Cubic序列時初值敏感性Fig.5 The initial sensitivity of Logistic-Cubic sequence

兩個初始值分別為x（1）=0.6和x（2）=0.2，初值改變量均為0.000 000 1，由圖可以看出無論哪個初始值發(fā)生細微變化，在迭代十幾次之后Logistic -Cubic序列的軌跡開始出現(xiàn)無規(guī)律的變化，說明Logistic-Cubic序列兩個初值的敏感性都很好，相比于一般的一維混沌序列只含有單個初始值的情況，Logistic-Cubic序列多了一個初始值，從而初值敏感性更加靈活多變，序列安全性和保密性更強。序列初值敏感性也可以用Lyapunov指數(shù)大小來衡量，它表示系統(tǒng)在相空間相鄰軌道的收斂或發(fā)散程度。對于一維系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)可以用映射函數(shù)f（x）在n時刻xn的導數(shù)來計算［11］。只有當Lyapunov指數(shù)大于0時，系統(tǒng)才會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，且指數(shù)越大，混沌特性越強，同時也表征系統(tǒng)對初始值的敏感性更好。圖6和圖7為對Logistic-Cubic序列的Lyapunov指數(shù)仿真結果，從圖中可以看出，Logistic改進型和Cubic序列級聯(lián)后，Lyapunov指數(shù)在參數(shù)范圍內(nèi)均大于0，并且對應參數(shù)范圍內(nèi)均高于級聯(lián)之前的原始序列，這充分說明Logistic-Cubic序列的初值敏感性更好。

圖6　Logistic-Cubic序列（b=6）和Logistic改進型序列Lyapunov指數(shù)Fig.6 The Lyapunov exponent of Logistic-Cubic（b=6）and the improved Logistic sequence

圖7　Logistic-Cubic（a=2）和Cubic序列Lyapunov指數(shù)Fig.7 The Lyapunov exponent of Logistic-Cubic（a=2）and the Cubic sequence

4.2相關性

為了滿足擴頻通信要求，混沌序列需要選擇相關性良好的序列。對于自相關函數(shù)，要求具有尖峰脈沖，而互相關函數(shù)則要求其所有函數(shù)值盡量接近于零，這樣才能夠保證系統(tǒng)具有足夠的的抗多徑干擾和抗多址干擾能力，從而提高數(shù)據(jù)在傳輸過程中的可靠性。

混沌序列在理想條件下是非周期的，但由于計算機處理數(shù)據(jù)精度的影響，在實際使用擴頻碼序列時要對混沌序列按照需要進行截短。截短后長度為N的序列的自相關函數(shù)以及互相關函數(shù)如式（9）和式（10）所示∶

式中∶m為序列的相關間隔；N為序列長度。取初始值x（1）=0.72，x（2）=0.23，序列長度N=2 000，相關間隔m=2 000，Logistic-Cubic序列自相關函數(shù)結果如圖8所示。

圖8　Logistic-Cubic序列的自相關函數(shù)Fig.8 The autocorrelation of Logistic-Cubic sequence

選取兩對初始值y（1）=0.72，y（2）=0.23以及z（1）=0.72，z（2）=0.230 000 1。序列長度N=2 000，相關間隔為2 000，其互相關曲線如圖9所示。

圖9　Logistic-Cubic序列的互相關函數(shù)Fig.9 The crosscorrelation of Logistic-Cubic sequence

觀察圖8發(fā)現(xiàn)，Logistic-Cubic混沌序列的自相關函數(shù)在相關間隔為0時有尖銳的峰值，而在其他相關間隔的值趨近于0，類似于δ函數(shù)，自相關性能很好。在圖9中，其互相關絕對值主要分布在（0，0.05）之間，互相關值非常小，因此Logistic-Cubic序列的相關性能夠滿足擴頻通信的要求。

4.3混沌序列復雜度分析

復雜度目前在數(shù)學上還沒有嚴格定義，在研究混沌序列的復雜度時，一般將定量描述混沌性質(zhì)的一些參數(shù)列入復雜度度量方法。文獻［12］提出了采用混沌運動產(chǎn)生的信息量大小，即近似熵（Approximate Entropy，ApEn）來衡量復雜度大小的準則，理論和實踐均表明該方法能夠簡單有效地判斷混沌偽隨機序列復雜度。

在計算近似熵時一般只需要比較短的數(shù)據(jù)就能估計出比較穩(wěn)定的統(tǒng)計值，一般取1 000左右。其判斷依據(jù)為近似熵值越大，序列的復雜性越大，混沌運動信號的不規(guī)則性和隨機性也越強。本文采用文獻［12］所述的方法對新序列的近似熵進行計算，用它來進行混沌序列復雜度。表1為各種偽隨機序列在長度為N時取50個初始值的近似熵平均值。

表1　混沌序列近似熵值比較Tab.1 The comparison of approximate entropy value with different chaotic sequence

從表1中可以看出∶本文所提出的Logistic-Cubic序列的復雜性要強于原始序列Logistic改進型和Cubic序列，文獻［7］提出的分段Logistic序列由于對Logistic改進型映射表達式進行了分段處理使得序列的復雜性有了一定的提高，但復雜性還是略低于Logistic-Cubic序列；Cubic-Logistic序列由于和Logistic-Cubic序列的相空間吸引子相同，序列復雜性程度相差很小，從數(shù)據(jù)對比也可以看出來。為了方便對比，本文也給出了（-1，1）區(qū)間的純隨機序列的近似熵分析，純隨機序列由于序列是隨機產(chǎn)生，序列之間毫無規(guī)律，因此序列的近似熵值最高。同時從表中可以看出隨著序列長度的增加，序列的近似熵也呈現(xiàn)出上升的趨勢；同時還可以看出在序列長度比較短時近似熵還不夠穩(wěn)定，當序列長度取512和1 024的值非常接近，近似熵值很穩(wěn)定，因此此時的取值基本可以反映出該混沌序列的復雜程度。

5　擴頻通信性能仿真

為了驗證Logistic-Cubic映射產(chǎn)生的序列作為直接序列擴頻系統(tǒng)中的擴頻碼是否可行，對其進行瑞利衰落信道下的擴頻通信性能仿真。系統(tǒng)采用BPSK調(diào)制解調(diào)，擴頻增益取1 000，分別將優(yōu)選后的Logistic改進型、Cubic和Logistic-Cubic 3種映射生成的實值序列進行抽取q比特量化后作為該系統(tǒng)的擴頻碼在調(diào)制端來調(diào)制信息，在解調(diào)端再用相同的擴頻碼解擴，得到3種序列的平均誤碼率曲線如圖10所示。

圖10　序列的誤碼率曲線Fig.10 The BER curves of chaotic sequences

由圖10可知Logistic-Cubic序列和傳統(tǒng)Logistic改進型序列以及Cubic序列的誤碼性能相當，但Logistic-Cubic序列的安全性和保密性比傳統(tǒng)的改進型Logistic序列和Cubic序列更好，因此Logistic-Cubic能夠更好地適用于保密通信等對信號安全性要求高的軍用領域。

6　結束語

本文提出了一種高安全性的混沌序列，通過將Logistic改進型和Cubic兩種傳統(tǒng)一維混沌映射進行差分相乘級聯(lián)，從而改變了混沌系統(tǒng)的迭代過程，并提高了混沌序列的復雜度。研究發(fā)現(xiàn)該序列具有比原始序列以及文獻［7］所提出的分段Logistic更加復雜的非線性動力學特性和更強的初值敏感性，并且由該混沌映射系統(tǒng)產(chǎn)生的序列的復雜性更高，隨機性更強，同時新序列滿映射范圍更大，產(chǎn)生混沌

的數(shù)目更多，并且具有和傳統(tǒng)單階混沌序列相當?shù)恼`碼性能，使得該類型序列在混沌保密擴頻通信和對通信安全性高的軍事領域可以得到更廣泛的應用。本文對于該序列的研究還僅僅處于最基礎階段，為了充分發(fā)掘該序列的理論及實用價值，還需進行更加深入的研究。

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陳紫強（1973—），男，湖南益陽人，副教授、碩士生導師，主要研究方向為信道編碼、協(xié)作通信；

CHEN Ziqiang was born in Yiyang，Hunan Province，in 1976.He is now an associate professorandalsotheinstructorofgraduate students.His research concerns channel coding and cooperative communication.

Email∶chenziqiang@guet.edu.cn

舒 亮（1989—），男，湖南醴陵人，碩士研究生，主要研究方向為擴頻通信和水聲通信；

SHU Liang was born in Liling，Hunan Province，in 1989.He is now a graduate student.His research concerns spread spectrum communication and underwater acoustic communication.

Email∶593778730@qq.com.

謝躍雷（1975—），男，河北邯鄲人，副教授、碩士生導師，主要研究方向為通信信號處理和陣列信號處理。

XIE Yuelei was born in Handan，Hebei Province，in 1975. He is now an associate professor and also the instructor of graduate students.His research concerns communication signal processing and array signal processing.

A High Security Serial Chaotic Spread Spectrum Sequence

CHEN Ziqiang，SHU Liang，XIE Yuelei
（The Ministry of Education Key Laboratory of Cognitive Radio and Information Processing，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

∶The sequence generated by the traditional single chaotic map has the problem of low complexity and poor secrecy.This paper proposes a serial chaotic sequence based on improved Logistic mapping and Cubic mapping.The expression of chaotic mapping by the original low times first order difference equations expands to high times second order difference equation，and mapping iterative process is changed from single-stage iteration to second-stage cross iteration so that the new sequence produces a more complex mapping expression of chaos.The nonlinear dynamics chaos characteristics and spread spectrum communication performance of the new sequence are simulated and the results show that the attractors of the proposed chaotic sequence are more complex，the initial sensitivity is more stronger.The complexity of this sequence becomes higher.This sequence possesses much better security performance.Finally the feasibility of the chaotic sequence in spread spectrum communication is verified.

∶spread spectrum communication；chaotic sequence；improved Logistic mapping；Cubic mapping

The National Natural Science Foundation of China（No.41201479）；The Natural Science Foundation of Guangxi（2014jjAA70068）；Key Project of Guangxi Education Department（ZD2014052）

TN911.7

A

1001-893X（2016）05-0476-07

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.05.002

陳紫強，舒亮，謝躍雷.一種高安全性的級聯(lián)型混沌擴頻序列［J］.電訊技術，2016，56（5）∶476-482.［CHEN Ziqiang，SHU Liang，XIE Yuelei.A high security serial chaotic spread spectrum sequence［J］.Telecommunication Engineering，2016，56（5）∶476-482.］

2016-01-19；

2016-04-25Received date：2016-01-19；Revised date：2016-04-25

國家自然科學基金資助項目（41201479）；廣西自然科學基金資助項目（2014jjAA70068）；廣西教育廳重點項目（ZD2014052）

**通信作者：593778730@qq.comCorresponding author：593778730@qq.com