張必勝

(遵義醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程系，貴州遵義　563000)

李善蘭組合思想研究

張必勝*

(遵義醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程系，貴州遵義563000)

基于李善蘭傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作中關(guān)于組合問題歷史文獻(xiàn)的研究，得出李善蘭組合恒等式與西方數(shù)學(xué)是保持一致的。李善蘭在其著作《垛積比類》得到了一些組合求和的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

李善蘭；垛積；組合恒等式；求和

李善蘭(1811—1882)是我國清末杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，其主要關(guān)于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果收集在著作《則古惜齋算學(xué)》中，這本集大成的著作中主要是整合了李善蘭的《弧矢啟秘》、《萬圓闡幽》及《對(duì)數(shù)探源》等24卷，13種，這些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論著述包括了素?cái)?shù)理論，分析理論，組合數(shù)學(xué)等等，而其中特別是李善蘭對(duì)組合數(shù)學(xué)理論進(jìn)行了深入的研究和發(fā)展。

1　傳統(tǒng)組合思想

14世紀(jì)以前，我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)處于世界領(lǐng)先地位，但從此就開始落后于西方近代數(shù)學(xué)。并且隨著西方數(shù)學(xué)的進(jìn)入，傳統(tǒng)的中算理論開始漸漸地被理論化的符號(hào)數(shù)學(xué)代替。這一時(shí)期也出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家在堅(jiān)持傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的同時(shí)也吸收了西方近代數(shù)學(xué)。在這樣的情況下也得到了一些成果，或者是獨(dú)立得到，或者是在西方數(shù)學(xué)的啟發(fā)下得到的一些代表性成果[1]。李善蘭在《垛積比類》(1867)中以“比類”、“數(shù)形結(jié)合”、“垛積”、“組合三角”等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法，在該著作中提出了相關(guān)的求和公式。

求和思想在我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中可以追溯到很早的歷史，春秋戰(zhàn)國時(shí)期極限求和思想的論述?！耙怀咧?，日取其半，萬世不竭”，實(shí)際上，這一論述就是對(duì)求和的粗糙描述，而且是一種極限求和的思想[2]。到了劉徽(225—295)和祖沖之(429—500)時(shí)代，極限求和思想得到了深入的發(fā)展和研究[3]。

公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》以及經(jīng)典巨著《九章算術(shù)》中均有關(guān)于一般等差級(jí)數(shù)求和的問題，實(shí)際上就是關(guān)于級(jí)數(shù)求和:

這實(shí)際上是很簡單的等差級(jí)數(shù)求和問題。公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中下卷36問給出了自然數(shù)級(jí)數(shù)求和:

到了13世紀(jì)，數(shù)學(xué)家楊輝以體積“比類垛積”的思想，發(fā)展了傳統(tǒng)的“垛積術(shù)”，楊輝在其著作《詳解九章算法》中，關(guān)于一般的自然數(shù)冪和問題進(jìn)行了具體的解釋[4]。他把這各項(xiàng)之間的求和關(guān)系看成一種類似垛的比擬。將上式自然數(shù)求和關(guān)系看成垛，然后求和，再補(bǔ)充，最后得到了求和的垛積公式。

圖1　求和

從圖1可以看出，S＝1+2+3+…+n，將其補(bǔ)充成為一個(gè)方形，補(bǔ)充的部分為S-n，而方形為n2，即有S+S-n＝n2，故有:

楊輝關(guān)于冪和12+22+32+…+n2時(shí)，將方錐比類果垛，十分形象地轉(zhuǎn)化了問題，并且給出了冪和公式:

朱世杰(1249—1314)在楊輝的基礎(chǔ)上，把“垛積術(shù)”提高到一個(gè)空前的水平，他不僅掌握了一般三角垛的求和公式，還掌握了四角垛:

此公式同楊輝的冪和公式，四角垛又稱為“一乘方垛”，類似的還得出了“二乘方垛”:

2　李善蘭組合思想

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中關(guān)于組合求和已經(jīng)有了一定的理論基礎(chǔ)和相關(guān)的成果，而李善蘭是中國古代“垛積求和”的集大成者，他利用垛積術(shù)徹底地解決了自然數(shù)冪和的相關(guān)問題[5]。李善蘭關(guān)于組合數(shù)學(xué)著作《垛積比類》共四卷，除“三角垛”公式外，其中給出了六類垛積求和公式。其中的“三角垛”公式為:

該公式是垛積術(shù)的基礎(chǔ)公式，其余給出的公式都是以該公式為理論基礎(chǔ)?！抖夥e比類》全書四卷，每一卷給出了一個(gè)垛積體系:

卷二:乘方垛nm，其各支垛記為

關(guān)于《垛積比類》中有一些圖(圖2)，并且在圖的后面有解，除了第六和十兩表造表法所給出的定義域其解相同，其他十一類所給定義都是把其中的垛分為若干種垛進(jìn)行求解。比如三角垛:

圖2　三角垛

將這十一類垛解所給出的四十五則具體垛的定義分別歸納課得四個(gè)通項(xiàng)公式:

在《垛積比類》前三卷關(guān)于支垛系統(tǒng)中，按照李善蘭的方法必然可以得到:卷一中的當(dāng) p＝m時(shí)，即為三角變垛:

如果把n改成n+1，即得著名的“李善蘭恒等式”:

李善蘭給出的恒等式是“三角自乘垛”的中心，關(guān)于“李善蘭恒等式”的研究，數(shù)學(xué)史學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)歷史研究[6]。李善蘭在《垛積比類》中沒有詳細(xì)證明公式來源，但是，從李善蘭研究三角垛表和三角自乘支垛各表的數(shù)字規(guī)律，其制造了非常嚴(yán)格的“造表法”。

3　國外組合思想

公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—約前500)在討論行數(shù)的時(shí)候給出了自然數(shù)和的公式，而且還給出了平方數(shù)和的公式。公元前3世紀(jì)，阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)和公元前1世紀(jì)的尼可馬克分別得出了平方數(shù)和立方數(shù)求和公式。15世紀(jì)數(shù)學(xué)家阿爾卡西(Al-kashi，1380—1429)提出了4次方求和公式；17世紀(jì)日本合算家關(guān)孝和(1642—1708)給出了從1到11的自然數(shù)冪和公式，這里指出的是關(guān)孝和所使用的方法與我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的垛積術(shù)完全一樣。

17世紀(jì)末數(shù)學(xué)家雅克比·伯努利(Jacob Bernoulli，1654—1705)給出了無窮冪級(jí)數(shù)求和公式:

4　中外組合比較

從我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中極限思想的發(fā)展史來看，求和思想有著悠久的歷史。李善蘭在《垛積比類》卷一中提到了郭守敬(1231—1316)、朱世杰(1249—1314)、汪萊(1763—1813)和董祐誠(1791—1823)等相關(guān)數(shù)學(xué)家在垛積術(shù)上的成就，并且參考了他們的論著。從《垛積比類》中可以看出，李善蘭運(yùn)用了天元術(shù)等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論。從西方組合理論的發(fā)展歷史可以看出，西方組合求和方面，特別是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和的求和思想與我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的組合求和有著相同的地方。雅克比·伯努利給出了一般的求和公式:對(duì)于任意關(guān)于x的實(shí)函數(shù)f(x)，有下列公式:

雅克比·伯努利求和公式好處在于，如果一個(gè)函數(shù)f(x)是一個(gè)m次的多項(xiàng)式，那么對(duì)于任意的x，都有Δm+1f(x)＝0，所以，不論n是多大，以上的求和公式包含了m+1個(gè)項(xiàng)，計(jì)算方便。根據(jù)求和公式，有李善蘭利用垛積術(shù)徹底解決了自然數(shù)冪和問題，李善蘭的各類垛積數(shù)表不僅是從觀察歸納的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，還有一定的組合意義，并且創(chuàng)立了相關(guān)的乘方垛各廉表(圖3)。

圖3　廉表

在關(guān)于冪和問題，從宋元時(shí)期就有了一定的理論基礎(chǔ)，朱世杰的四角垛公式(1303):

數(shù)學(xué)家楊輝也有該結(jié)論，這一結(jié)論還可以追溯到沈括(1031—1095)的研究。到了清代的陳世仁(1676—1722)使一、二、三次冪和公式更系統(tǒng)化了，但是沒有向高次發(fā)展。李善蘭通過用組合級(jí)數(shù)和歐拉數(shù)解決了這一問題。由于組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，這一問題吸引了一些數(shù)學(xué)家的興趣，其中 J. Riordan[7]，J.L.Paul[8]，B.Turner[9]等人都有相關(guān)研究。

5　結(jié)語

從組合思想的中外發(fā)展史可以看出李善蘭是在傳統(tǒng)組合數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上獨(dú)立地得出了李善蘭組合理論的相關(guān)結(jié)論。組合理論在西方經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不斷發(fā)展和完善。我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中較早的組合思想到朱世杰、汪萊等人運(yùn)用組合解決了一些幾何和代數(shù)的相關(guān)問題，從這個(gè)層面上來說，組合理論也是相對(duì)成熟。到了李善蘭的時(shí)代，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)經(jīng)由宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)家發(fā)展高峰后，傳統(tǒng)組合思想還是停留在以往的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式上。李善蘭是繼承了傳統(tǒng)組合思想加上他對(duì)其深刻理解。在傳統(tǒng)思想的基礎(chǔ)上得到了相當(dāng)于組合中一些基本公式的表達(dá)式，如“李善蘭恒等式”等。說明其對(duì)組合思想的進(jìn)一步理解和運(yùn)用。

[1]張必勝.李善蘭微積分思想研究[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，30(6):1-5.

[2]張必勝.李善蘭與偉烈亞力合譯《代數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容研究[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，43(6):1021-1026.

[3]張必勝.李善蘭極限思想研究[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，32(3):7-9，13.

[4]李兆華.李善蘭垛積術(shù)與尖錐術(shù)略論[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1986，16(4):109-125.

[5]錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社，1964:68.

[6]羅見今.李善蘭恒等式的導(dǎo)出[J].內(nèi)蒙古師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1982，10(2):89-105.

[7]Riordan，J.Cominatorial identities[M].New York:R.E.Krieger Pub，1968:160.

[8]Paul，J.L.On the sum of the kth powers of the first n integers[J]. Amer.Math.Monthly.1971，78:271-272.

[9]Turner，B.Sums of powers of integers via the binomial theorem[J]. Math.Magazine，1980，52(2):92-96.

(責(zé)任編輯:曾晶)

Research on Li Shanlan's Combinatorial Thought

ZHANG Bisheng*
(Department of Medical Information Engineering，Zunyi Medical University，Zunyi 563000，China)

This paper reviews Li Shanlan traditional mathematics works on combinatorial problems of historical documents，obtained Li Shanlan combinatorial identities and Western mathematics is consistent.Li Shanlan in his book"DuoJiBiLei"got some mathematical expressions combination summation.

Li Shanlan；DuoJi；combinatorial identities；summation

O11

A

1000-5269(2016)01-0005-04DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.02

2015-12-24

貴州省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題(14GZQN26)

張必勝(1980-)，男，副教授，理學(xué)博士，研究方向:數(shù)學(xué)史，Email:snxzbs＠163.com.

張必勝，Email:snxzbs＠163.com.