李巧燕，廖祖華,3+，劉維龍

1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學(xué) 至善學(xué)院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無錫 214122

(α,β)-軟BCK代數(shù)*

李巧燕1,2，廖祖華1,2,3+，劉維龍1

1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學(xué) 至善學(xué)院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無錫 214122

將軟集的參數(shù)集賦予BCK代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出了(α,β)-軟BCK代數(shù)的概念,并驗(yàn)證了得到的(α,β)-軟BCK代數(shù)是交軟BCK代數(shù)和α-交軟BCK代數(shù)的非平凡推廣；得到了兩個(gè)(α,β)-軟BCK代數(shù)在軟集的交、并、且等運(yùn)算下仍然是(α,β)-軟BCK代數(shù)的結(jié)論，并討論了(α,β)-軟BCK代數(shù)的同態(tài)像和原像的性質(zhì)；最后運(yùn)用對(duì)偶軟集的方法給出了(α,β)-軟BCK代數(shù)的等價(jià)刻畫。

軟集；軟集運(yùn)算；對(duì)偶軟集；BCK代數(shù)；(α,β)-軟BCK代數(shù)

1　引言

為處理不確定性問題，模糊集[1]、粗糙集[2]、直覺模糊集[3]等作為解決這類問題的數(shù)學(xué)工具被相繼提出，然而這些數(shù)學(xué)工具仍有不足之處。為了能夠更好地解決這類模糊性問題，Molodtsov[4]于1999年提出了另一種有效的數(shù)學(xué)工具——軟集，它與模糊集、粗糙集、直覺模糊集等有更好的互補(bǔ)性。2007年，Aktas等人[5]提出了軟群的新概念，開創(chuàng)了軟集代數(shù)研究的新領(lǐng)域。2010年，Acar等人[6]又給出了軟環(huán)的定義，并對(duì)軟環(huán)的軟理想和軟同態(tài)等相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究。2012年，廖祖華等人[7]給出了軟坡的概念，并研究了它的一些相關(guān)性質(zhì)。

1966年，Imai和Iseki[8]以邏輯運(yùn)算為基礎(chǔ)，根據(jù)組合邏輯中組合子的代數(shù)表述，提出了BCK代數(shù)。1994年，Jun等人[9]指出BCK代數(shù)在命題演算中存在應(yīng)用。1997年，徐揚(yáng)[10]指出了格蘊(yùn)涵代數(shù)與有界可換分配的BCK代數(shù)之間的對(duì)偶關(guān)系。于是BCK代數(shù)與格蘊(yùn)涵代數(shù)有著密切的聯(lián)系，而格蘊(yùn)涵代數(shù)在不確定性和自動(dòng)推理方面有著重要應(yīng)用[11]。2008年，Jun等人[12]將軟集理論運(yùn)用到BCK代數(shù)中，提出了軟BCK代數(shù)的概念，并在BCK代數(shù)上提出了軟理想的概念。2010年，伏文清等人[13]提出了另一種軟BCK代數(shù)的概念，并研究了其相關(guān)性質(zhì)。

袁學(xué)海教授2008年指導(dǎo)的研究生溫永川在文獻(xiàn)[14]中將參數(shù)集賦予群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，提出了一種新的軟群概念，得到一些較為深刻的結(jié)論。這種將參數(shù)集賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法引入的軟集代數(shù)可以得到較深刻的結(jié)論。廖祖華的團(tuán)隊(duì)研究了軟群、新型軟子群、軟格蘊(yùn)涵代數(shù)、軟子半群、半群的軟理想和軟完全素理想以及軟完全正則子半群[15-21]。2013年，Jun等人[22]將參數(shù)集賦予BCK的代數(shù)結(jié)構(gòu)，提出了交軟BCK代數(shù)的概念，并對(duì)其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究。同年，楊永偉等人[23]提出了α-交軟BCK代數(shù)的概念。本文在他們的工作基礎(chǔ)上給出了(α,β)-軟BCK代數(shù)的新概念。當(dāng)α=X,β=?時(shí)，(α,β)-軟BCK代數(shù)即為Jun等人提出的交軟BCK代數(shù)，當(dāng) β=?時(shí)，(α,β)-軟BCK代數(shù)即為楊永偉等人提出的α-交軟BCK代數(shù)。而且由例1知，(α,β)-軟BCK代數(shù)既不是Jun等人提出的交軟BCK代數(shù)，也不是楊永偉等人提出的α-交軟BCK代數(shù)，于是(α,β)-軟BCK代數(shù)是交軟BCK代數(shù)和α-交軟BCK代數(shù)的非平凡推廣。(α,β)-軟BCK代數(shù)有一些類型的性質(zhì)在交軟BCK代數(shù)和α-交軟BCK代數(shù)中未曾研究，例如用對(duì)偶軟集的方法給出(α,β)-軟BCK代數(shù)的等價(jià)刻畫。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第2章給出了軟集和BCK代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)；第3章將參數(shù)集賦予BCK代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出(α,β)-軟BCK代數(shù)的新概念，并舉例說明它是交軟BCK代數(shù)和α-交軟BCK代數(shù)的非平凡推廣，另外還討論了它的一系列基本性質(zhì)。

2　預(yù)備知識(shí)

下面給出一些本文所需要的關(guān)于BCK代數(shù)及軟集的相關(guān)知識(shí)。

3　(α,β)-軟BCK代數(shù)

本節(jié)將參數(shù)集賦予BCK代數(shù)，得到一個(gè)與通常的軟BCK代數(shù)[12]不同的(α,β)-軟BCK代數(shù)，并具體討論它的一系列基本性質(zhì)。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文利用袁學(xué)海教授和其學(xué)生溫永川等人的思想將參數(shù)集賦予BCK代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出了(α,β)-軟BCK代數(shù)的概念，并討論了它的一系列相關(guān)性質(zhì)。在今后研究工作中，還將討論BCK代數(shù)的各種軟理想及其基本性質(zhì)，并探討它們?cè)诓淮_定性及自動(dòng)推理方面的應(yīng)用。

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LI Qiaoyan was born in 1993.She is a student at School of Science,Jiangnan University.Her research interests include computer science and soft set algebra,etc.

李巧燕（1993—），女，湖北襄陽(yáng)人，江南大學(xué)理學(xué)院粒計(jì)算研究所學(xué)生，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)，軟集代數(shù)等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，CCF會(huì)員，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，粒?jì)算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇，主持國(guó)家和省部級(jí)基金項(xiàng)目多項(xiàng)。

LIU Weilong was born in 1962.He is an associate professor at Jiangnan University.His research interest is granular computing.

劉維龍（1962—），男，江蘇南京人，江南大學(xué)理學(xué)院副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)榱Ｓ?jì)算。

(α,β)-Soft BCKAlgebras?

LI Qiaoyan1,2,LIAO Zuhua1,2,3+,LIU Weilong1
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Honors School,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
3.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

E-mail:liaozuhua57@163.com

Firstly,by endowing a parameter set with the algebra structure of BCK algebras,this paper introduces the concept of(α,β)-soft BCK algebras,and verifies that the(α,β)-soft BCK algebras is a non-trivial generalization of the intersectional soft BCK algebras and theα-intersectional soft BCK algebras.Then this paper reaches the conclusions that two(α,β)-soft BCK algebras are still(α,β)-soft BCK algebras under the intersection,union and the AND operation of soft sets,and investigates the properties of the homomorphism image and inverse image of the(α,β)-soft BCK algebras.At last,by applying the dual soft sets,this paper gives the equivalent characterizations of the(α,β)-soft BCK algebras.

soft set;soft set operation;dual soft set;BCK algebra;(α,β)-soft BCK algebra

2015-06,Accepted 2015-08.

10.3778/j.issn.1673-9418.1507060

A

O153；O159

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61170121,11401259,616731013(國(guó)家自然科學(xué)基金);the National College Students’Innovative Training Program of China under Grant No.201310295028(國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目);the Natural Science Foundation of jiangsu Province under Grant No.BK20151117(江蘇省自然科學(xué)基金).

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2015-08-27,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150827.1423.008.html

LI Qiaoyan,LIAO Zuhua,LIU Weilong.(α,β)-soft BCK algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(10):1493-1500.