南 娟，張建剛，杜文舉

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

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一類含有隨機(jī)參數(shù)的Motor系統(tǒng)的Hopf分岔分析

南 娟，張建剛，杜文舉

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

分析含有隨機(jī)參數(shù)的Motor系統(tǒng)的Hopf分岔.選取服從拱形分布的隨機(jī)變量為系統(tǒng)隨機(jī)變量，利用Chebyshev正交多項式逼近理論將含有隨機(jī)變量的Motor系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的確定性系統(tǒng)，通過Hopf分岔定理和lyapunov系數(shù)討論了Motor系統(tǒng)的Hopf分岔及穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)Motor系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)間大小不僅和確定性參數(shù)有關(guān)，還與隨機(jī)參數(shù)有非常密切的關(guān)系.

隨機(jī)Hopf分岔；Chebyshev正交多項式逼近；Motor系統(tǒng)；穩(wěn)定性

在動力系統(tǒng)中，Hopf分岔占有非常重要的地位，許多學(xué)者針對不同的系統(tǒng)對Hopf分岔進(jìn)行了較為深入的研究[1-5]，但由于系統(tǒng)的復(fù)雜性，這些研究大體上僅限于定性階段，對于系統(tǒng)的定量研究還不是很多.在實際系統(tǒng)中，不可避免地會出現(xiàn)一些不確定因素，這些不確定因素通常又可以用具備某種統(tǒng)計特性的隨機(jī)變量來描述，因此隨機(jī)系統(tǒng)在自然界中廣泛存在.

實際模型對精度和準(zhǔn)確性的要求越來越高，隨機(jī)系統(tǒng)越來越多地被用來刻畫事物間的動態(tài)關(guān)系，尤其是含有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)系統(tǒng).目前，處理含有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)動力系統(tǒng)的方法主要有以下幾種：

1）Monte Carlo方法[6].這種方法簡單廣泛，但耗時較長；

2）隨機(jī)有限元方法[7].這種方法耗時少，但卻要求隨機(jī)變量為一個小量；

3）基于正交多項式展開理論的正交多項式逼近法[8-10].這種方法沒有以上兩種方法的局限性，近年來被廣泛應(yīng)用于隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的演化隨機(jī)響應(yīng)[11]以及隨機(jī)系統(tǒng)的分岔和混沌的研究中[12-15].

本文將采用正交多項式逼近法來研究一類含有隨機(jī)參數(shù)的Motor系統(tǒng)的穩(wěn)定性.永磁無刷直流電機(jī)（BLDCM）是現(xiàn)代高性能調(diào)速電機(jī)，鑒于其類似直流電機(jī)的調(diào)速性能和無碳刷及換向器的特殊結(jié)構(gòu)，可將其設(shè)計成密閉結(jié)構(gòu)電機(jī)，應(yīng)用在多種特殊場合，如礦山、航天航空、深海等環(huán)境下.本文選取文獻(xiàn)[16]中所采用的電機(jī)數(shù)學(xué)模型，在考慮模型不確定性和外界干擾的情況下，得到一個三維自治非線性系統(tǒng)，見文中的公式（5），最后通過模擬分析，證明了永磁無刷直流電機(jī)（BLDCM）系統(tǒng)Hopf分岔的客觀存在性以及混沌動力學(xué)行為的相關(guān)理論.

1 隨機(jī)函數(shù)正交分解的基本理論

本文選取服從拱形分布的隨機(jī)變量為系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)的情形進(jìn)行研究，相應(yīng)的正交多項式取為Chebyshev多項式.服從該分布的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的表達(dá)式如下[11]：

其相應(yīng)的第二類Chebyshev多項式為正交多項式的一般表達(dá)式，形式如下：

第二類Chebyshev多項式的循環(huán)遞推公式為：

其加權(quán)正交性可以表示為：

2 隨機(jī)Motor系統(tǒng)的Chebyshev正交多項式逼近

對無刷直流電機(jī)開環(huán)系統(tǒng)，建立等效混沌數(shù)學(xué)無量綱模型如下：

其中狀態(tài)變量x、y、z分別代表永磁電機(jī)等效的q軸電流iq、d軸電流iq以及轉(zhuǎn)速ω，參數(shù)a、b表示系統(tǒng)特性參數(shù).在仿真實驗中，狀態(tài)變量及特性參數(shù)均為無量綱物理量.

如果在具有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)Motor系統(tǒng)（5）中，b=b+δξ是一個隨機(jī)參數(shù)，其中b是b的均值，ξ為服從[-1,1]上的拱形分布的隨機(jī)變量，δ是ξ的強(qiáng)度，則具有有界隨機(jī)參數(shù)的Motor系統(tǒng)可表示如下：

隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機(jī)的，系統(tǒng)（6）的響應(yīng)應(yīng)該是時間t和隨機(jī)變量ξ的函數(shù)，即

運用正交多項式逼近，響應(yīng)（7）可以表示為如下級數(shù)形式：

其中i是Chebyshev多項式的序數(shù)，N表示所取多項式的最高階數(shù).當(dāng)N→∞時，

分別嚴(yán)格等價于Motor系統(tǒng)的響應(yīng)x（t,ξ ），y（t,ξ），z（t,ξ）.

本文取1N=，則

是在最小均方殘差意義下的近似解.

將（9）式代入（6）式得：

由于任意兩個 Chebyshev多項式的乘積都可以轉(zhuǎn)化為 Chebyshev多項式的線性組合，所以（10）式中的非線性項最終可表示為：

運用Chebyshev多項式的循環(huán)遞推公式，則（10）式中第三個方程式的后兩項可化簡為：

故實際計算中，1x-和2x按近似假設(shè)取值為零.將（11）式和（12）式代入（10）式中，得：

在（13）式等號兩邊同時乘以Hi(ξ)(i=0,1)，再關(guān)于ξ取期望，由Chebyshev多項式的正交性，最終可得：

這樣就得到了與系統(tǒng)（6）等價的確定性系統(tǒng).

3 隨機(jī)hopf分岔分析

3.1 hopf分岔的存在性

系統(tǒng)（14）在平衡點處的Jacobian矩陣J為：

利用Maple軟件可以計算出特征方程：

根據(jù)Hopf分岔理論，可知 b0就是系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的臨界值.如果滿足a＞1且δ＜1，當(dāng)參數(shù)b穿過臨界值 b0時，系統(tǒng)（14）在平衡點O(0,0,0,0,0,0,)處發(fā)生Hopf分岔.

3.2 Hopf分岔的穩(wěn)定性

考慮非線性動力系統(tǒng)：

假設(shè)Jacobina矩陣有一對純復(fù)根λ1,2=±Iω(ω＞0)，其它特征值Reλ=0，令p∈Cn是λ1所對應(yīng)的特征向量，q∈Cn為伴隨特征向量，滿足下列性質(zhì)：

則第一Lyapunov系數(shù)為：

可以得到：

4 結(jié) 語

本文利用正交多項式原理對隨機(jī)動力系統(tǒng)的Hopf分岔及穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究.首先利用正交多項式將含有隨機(jī)參數(shù)的Motor系統(tǒng)約化為等價的確定性系統(tǒng)，然后再根據(jù)Hopf分岔定理對確定性系統(tǒng)的分岔及穩(wěn)定性進(jìn)行研究，進(jìn)而得到隨機(jī)Motor系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性的參數(shù)關(guān)系式以及影響因素.研究發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)因素對系統(tǒng)Hopf分岔及穩(wěn)定性的影響比較顯著，當(dāng)隨機(jī)參數(shù)的強(qiáng)度增大時，系統(tǒng)零解漸進(jìn)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域越來越小.

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Stochastic Hopf Bifurcation Analysis in Motor System with Random Parameter

NAN Juan, ZHANG Jiangang, DU Wenju
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

It is analyzed in this paper that the stochastic Hopf bifurcation of Motor system with bounded random parameter is chosen from the arch-shape random variable to the systematical random variable. According to the Chebyshev orthogonal polynomial approximation in Hilbert space, the Motor system with random parameter is possible to be reduced into the deterministic equivalent system. Then the Hopf bifurcation and stability of deterministic equivalent system is discussed via the Hopf bifurcation theorem and the first Lyapunov coefficient method. It is discovered that the critical value of stochastic Hopf bifurcation is determined not only by deterministic parameters in stochastic system, but also by the intensity of random parameters.

Stochastic Hopf Bifurcation; Chebyshev Orthogonal Polynomial Approximation by Polynomial; Motor System; Stability

O175.12

A

1674-3563(2016)01-0016-10

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.01.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2015-04-21

南娟(1988- )，女，甘肅景泰人，碩士研究生，研究方向：隨機(jī)動力學(xué)