王志剛, 鄧逸凡, 楊絢

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

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近地航天器量子導(dǎo)航定位卡爾曼濾波算法研究

王志剛1,2, 鄧逸凡1,2, 楊絢1,2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

針對(duì)近地航天器量子導(dǎo)航定位系統(tǒng),為了進(jìn)一步提高其定位精度,利用濾波技術(shù)將QPS測(cè)量值結(jié)合航天器的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行狀態(tài)量的濾波估計(jì)。給出了基于基線(xiàn)干涉原理的量子定位系統(tǒng)觀(guān)測(cè)方程和以二體運(yùn)動(dòng)為主的航天器軌道運(yùn)動(dòng)模型,在此基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了擴(kuò)展卡爾曼濾波處理過(guò)程,并針對(duì)該模型進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果表明,基于EKF的量子導(dǎo)航定位精度有明顯提高。

量子導(dǎo)航; 卡爾曼濾波; 定位精度

0　引言

量子定位系統(tǒng)(Quantum Positioning System,QPS)是采用具有量子特性的脈沖信號(hào),基于基線(xiàn)干涉原理實(shí)現(xiàn)定位的。它可以突破經(jīng)典無(wú)線(xiàn)電導(dǎo)航體制的定位精度上限,并具有較高的安全性[1-2]。2005年,美國(guó)陸軍研究實(shí)驗(yàn)室的Bahder博士基于傳統(tǒng)衛(wèi)星定位系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思想提出了星基量子定位系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)方案[1]。Bahder進(jìn)行的仿真計(jì)算表明,忽略重力場(chǎng)以及大氣的影響,同時(shí)假定坐標(biāo)系統(tǒng)是封閉的,不受其他因素影響,采用量子定位系統(tǒng)進(jìn)行定位,誤差(標(biāo)準(zhǔn)偏差)可低于1 cm。在國(guó)內(nèi),文獻(xiàn)[3-6]研究了QPS的研究現(xiàn)狀、潛在優(yōu)勢(shì)和發(fā)展趨勢(shì)等。研究表明,QPS的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是具有極高的定位精度和很高的安全性,能夠檢測(cè)入侵者的存在?？梢?jiàn),量子定位技術(shù)具有非常大的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用潛力。對(duì)于傳統(tǒng)組合導(dǎo)航系統(tǒng),為了提高其精度,通常是利用卡爾曼濾波算法將不同導(dǎo)航器件的量測(cè)信息和系統(tǒng)狀態(tài)信息融合。王恒等[7]基于卡爾曼濾波器的基本原理,詳細(xì)推導(dǎo)了適用于自旋衛(wèi)星章動(dòng)控制的卡爾曼濾波處理過(guò)程。劉愛(ài)元等[8]在分別設(shè)計(jì)了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)模擬器以及衛(wèi)星導(dǎo)航模擬器的基礎(chǔ)上,針對(duì)如何實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)組合,設(shè)計(jì)了組合導(dǎo)航卡爾曼濾波器。

為進(jìn)一步提高量子導(dǎo)航定位精度的影響,本文利用濾波技術(shù)將QPS測(cè)量值結(jié)合航天器的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行狀態(tài)量的濾波估計(jì),以期獲得高于單獨(dú)QPS定位的導(dǎo)航精度。

1　觀(guān)測(cè)方程

量子導(dǎo)航模型的推導(dǎo)是基于基線(xiàn)干涉原理[1]進(jìn)行的，其示意圖如圖1所示。基線(xiàn)干涉方法測(cè)量的是不同光路的脈沖時(shí)延之差,即到達(dá)時(shí)間差,到達(dá)時(shí)間差反映了兩條路徑的距離差。假設(shè)E1位于基線(xiàn)中點(diǎn),由圖1可得:

(1)

圖1　基線(xiàn)干涉方法測(cè)量原理示意圖Fig.1　Baseline interferometer measurement

將此距離差Δr的測(cè)量值s作為觀(guān)測(cè)量,建立觀(guān)測(cè)模型,即:

(2)

由此得出分別基于三條基線(xiàn)的距離差的觀(guān)測(cè)方程為:

(3)

可簡(jiǎn)寫(xiě)成:

(4)

2　航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程

在地心赤道慣性系下,考慮地球重心引力,直角坐標(biāo)形式的軌道運(yùn)動(dòng)方程為:

(5)

(6)

在研究過(guò)程中,如果將研究對(duì)象考慮為二體問(wèn)題時(shí),即不考慮所有攝動(dòng)的影響,則:

(7)

式(7)可簡(jiǎn)寫(xiě)為:

(8)

3　卡爾曼濾波方程

3.1離散型卡爾曼濾波基本原理

由于在導(dǎo)航中所采用的系統(tǒng)模型是系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的非線(xiàn)性函數(shù),所以,要采用非線(xiàn)性濾波方法來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)值。EKF算法利用線(xiàn)性化方法將非線(xiàn)性系統(tǒng)近似為局部線(xiàn)性系統(tǒng),以應(yīng)用于傳統(tǒng)卡爾曼濾波方程,它假設(shè)非線(xiàn)性微分方程的理論解與實(shí)際解之間的差能用一個(gè)線(xiàn)性微分方程表示。

考慮如下形式的隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型:

(9)

(10)

式中:x(t)為n維狀態(tài)向量;f[x(t),t]為n維非線(xiàn)性向量連續(xù)函數(shù);G(t)為n×r維矩陣;h[x(t),t]為m維非線(xiàn)性向量連續(xù)函數(shù);w(t)和v(t)均為彼此不相關(guān)的零均值白噪聲序列。

定義真實(shí)狀態(tài)與標(biāo)稱(chēng)狀態(tài)間的偏差為:

因?yàn)棣膞足夠小,所以將非線(xiàn)性物理系統(tǒng)式(9)和式(10)在狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),并取一次近似值,則可得線(xiàn)性偏差方程為:

(11)

(12)

其中:

對(duì)式(11)與式(12)進(jìn)行基本解陣離散化,得到離散型線(xiàn)性方程為:

(13)

(14)

當(dāng)T為小量時(shí):

wk-1對(duì)應(yīng)的等效過(guò)程噪聲方差陣為:

(15)

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)為：

(16)

狀態(tài)估計(jì)為:

(17)

濾波增益為:

(18)

一步預(yù)測(cè)均方誤差為:

(19)

估計(jì)均方誤差為:

(20)

3.2量子導(dǎo)航卡爾曼濾波

(21)

其中:

繼而離散化得:

(22)

式中:Φk/k-1≈I+F(tk-1)T。

對(duì)量子導(dǎo)航的觀(guān)測(cè)方程式(4)進(jìn)行線(xiàn)性化,得:

(23)

其中:

繼而離散化得:

(24)

4　仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證卡爾曼濾波對(duì)提高量子導(dǎo)航定位精度的有效性,以近地空間航天器的量子導(dǎo)航定位為例進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。

4.1仿真條件

星基QPS是由2顆衛(wèi)星成1條測(cè)量基線(xiàn),基線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)1顆衛(wèi)星,3個(gè)衛(wèi)星對(duì)分別繞3個(gè)低軌地球軌道(LEO)運(yùn)轉(zhuǎn),其軌道半長(zhǎng)軸a=7 360 km,基線(xiàn)長(zhǎng)度b=20 km。3對(duì)衛(wèi)星坐標(biāo)分別為:

用戶(hù)端為近地航天器,運(yùn)動(dòng)軌道信息為:半長(zhǎng)軸a1=7 070 km,偏心率e=1.46×10-7,軌道傾角i=98°,近地點(diǎn)幅角ω=330°,升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=270°。

4.2仿真結(jié)果及分析

采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法的數(shù)值仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知,基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的量子導(dǎo)航位置信息的誤差均值為[-3.383，-3.082，5.768]×10-5m,標(biāo)準(zhǔn)差為[8，8，3]×10-4;速度信息的誤差均值為[-6.679，-6.357，2.015]×10-4m/s,標(biāo)準(zhǔn)差為[5，5，2]×10-4。

圖2　位置分量曲線(xiàn)Fig.2　Position component curves

圖3　速度分量曲線(xiàn)Fig.3　Velocity component curves

圖4　位置誤差Fig.4　Position errors

圖5　速度誤差Fig.5　Velocity errors

為了更好地分析卡爾曼濾波方法對(duì)量子導(dǎo)航定位精度的提高,將量子導(dǎo)航定位模型進(jìn)行直接解算,得到位置信息的誤差均值為[5.879，5.477，-3.281]×10-6m,標(biāo)準(zhǔn)差為[0.0011，0.0010，0.0004]。速度信息的誤差均值為[0.185，-3.101，-1.264]×10-4m/s,標(biāo)準(zhǔn)差為[0.0036，0.0321，0.0175]。

對(duì)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比可以看出,基于EKF的量子導(dǎo)航定位的位置估計(jì)是無(wú)偏的,標(biāo)準(zhǔn)差有所下降,速度誤差標(biāo)準(zhǔn)差有非常明顯的下降,這說(shuō)明了相對(duì)于直接進(jìn)行量子導(dǎo)航定位模型的解算方法,基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的量子導(dǎo)航定位精度有明顯提高。

5　結(jié)束語(yǔ)

本文給出了量子導(dǎo)航定位中的量測(cè)方程,并基于航天器軌道運(yùn)動(dòng)方程和量測(cè)方程,推導(dǎo)了擴(kuò)展卡爾曼濾波處理過(guò)程。仿真結(jié)果表明,相對(duì)于未加濾波的量子導(dǎo)航定位系統(tǒng),基于卡爾曼濾波算法的量子導(dǎo)航定位系統(tǒng)的定位精度有明顯提高。

[1]Bahder T B.Quantum positioning system[C]//Washington:Naval Observatory.Washington DC,2005:53-75.

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[4]雒怡.量子定位技術(shù)淺析[J].導(dǎo)航,2004,9(3):11-14.

[5]雒怡,姜恩春.基于二階量子相干的定位與時(shí)鐘同步方法[J].現(xiàn)代導(dǎo)航,2012,12(6):456-461.

[6]楊春燕,吳德偉,余永林,等.干涉式量子定位系統(tǒng)最優(yōu)星座分布研究[J].測(cè)繪通報(bào),2009,9(12):1-6.

[7]王恒,李永剛,吳金美.卡爾曼濾波在自旋衛(wèi)星章動(dòng)控制中的應(yīng)用[J].飛行器測(cè)控學(xué)報(bào),2014,33(6):525-529.

[8]劉愛(ài)元,戴洪德.組合導(dǎo)航系統(tǒng)模擬器中的卡爾曼濾波設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2014,42 (9):1649-1652.

(編輯：崔立峰)

Study on Kalman kilter algorithm for the near-earth spacecraft quantum positioning system

WANG Zhi-gang1,2, DENG Yi-fan1,2, YANG Xuan1,2

(1.School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xian 710072, China;2.National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China)

In order to improve the precision of spacecraft’s quantum positioning system (QPS), the filter technique was used to combine the QPS observation value with the spacecraft’s motion model to perform filtering estimation of the state variables. The QPS observation equation based on baseline interferometer method and the orbital motion model of the spacecraft was put forward. Furthermore, the process of the extended Kalman filter (EKF) using in this case was derived in detail. The simulation results show that the QPS based on EKF had obvious higher precision than the original one.

quantum navigation; extended Kalman filter; the positioning precision

2015-11-26;

2016-02-29; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-02-29 15:18

航天科技創(chuàng)新基金資助(CASC-1314-05-12)

王志剛(1968-)，男，陜西渭南人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事飛行動(dòng)力學(xué)與控制等研究。

V448.23; P228.1

A

1002-0853(2016)05-0069-04