朱正琛，李秋紅，王　元，潘鵬飛

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

基于微分進(jìn)化算法的航空發(fā)動(dòng)機(jī)模型修正

朱正琛，李秋紅，王元，潘鵬飛

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

為了提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能仿真模型精度，采用微分進(jìn)化算法對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)部件特性進(jìn)行修正。對(duì)微分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，提出折線式交叉變量變化方式，提高了算法的尋優(yōu)能力。提出變步長(zhǎng)牛頓-拉夫遜迭代算法，基于平衡方程殘差范數(shù)變化趨勢(shì)，改變牛頓-拉夫遜算法迭代計(jì)算步長(zhǎng)，提高了模型的收斂性和收斂速度。在設(shè)計(jì)點(diǎn)，對(duì)各部件特性、引氣系數(shù)、總壓恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行修正，使修正后的模型輸出與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相匹配。仿真結(jié)果表明：改進(jìn)后的牛頓-拉夫遜迭代算法收斂性更強(qiáng)、計(jì)算速度更快，修正后的各輸出參數(shù)的最大建模誤差減小到1.3762%，滿足建模誤差需求。

微分進(jìn)化算法；牛頓-拉夫遜迭代算法；部件特性修正；折線式交叉變量；性能仿真模型；航空發(fā)動(dòng)機(jī)

0　引言

計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)既能夠大幅度縮減航空發(fā)動(dòng)機(jī)試車所需的時(shí)間和成本，避免試車時(shí)的不安全因素，又能夠完全獲得各截面的參數(shù)，所以建立精確的發(fā)動(dòng)機(jī)性能仿真模型有重要意義。但由于加工誤差及使用過(guò)程中產(chǎn)生的性能蛻化等原因，所建立的仿真模型與實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)之間存在一定差異。為了使發(fā)動(dòng)機(jī)模型輸出參數(shù)更加精確，需要對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)部件特性進(jìn)行修正。

模型修正方案大致分2種。1種是在有較多試車數(shù)據(jù)時(shí)，采用函數(shù)擬合的方法來(lái)獲得發(fā)動(dòng)機(jī)的部件特性。文獻(xiàn)［1～3］利用多組試車數(shù)據(jù)，采用擬合法近似獲得以3階函數(shù)為表達(dá)形式的壓氣機(jī)增壓比特性圖。該方法能夠獲得整個(gè)工作范圍內(nèi)的工作特性，但精度有待提高。文獻(xiàn)［4］利用優(yōu)化算法求得不同狀態(tài)點(diǎn)的修正系數(shù)，而后擬合修正系數(shù)曲面，獲得修正曲面后利用插值方法求得各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)。另1種是當(dāng)試車數(shù)據(jù)較少時(shí)，在原有部件特性上進(jìn)行修正。為了避免修正過(guò)程中的盲目性，國(guó)內(nèi)外專家廣泛采用優(yōu)化算法來(lái)實(shí)現(xiàn)模型輸出與試驗(yàn)結(jié)果的匹配。文獻(xiàn)［5-7］利用最小二乘方法對(duì)模型進(jìn)行修正；文獻(xiàn)［8-10］采用遺傳算法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件特性進(jìn)行修正。最小二乘法是1種局部搜索算法，遺傳算法又容易陷入局部最優(yōu)，同時(shí)其初始種群隨機(jī)產(chǎn)生，初值不適宜，容易使模型發(fā)散。

本文以某渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)模型為研究對(duì)象，采用微分進(jìn)化算法，利用發(fā)動(dòng)機(jī)在設(shè)計(jì)點(diǎn)的試車數(shù)據(jù)，對(duì)模型的部件特性、引氣系數(shù)以及總壓恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行修正，減小建模的平均誤差和最大誤差。針對(duì)模型修正過(guò)程中易出現(xiàn)的計(jì)算發(fā)散現(xiàn)象，提出變步長(zhǎng)牛頓-拉夫遜迭代算法，提高模型穩(wěn)定性和收斂速度。

1　部件特性修正目標(biāo)

部件特性是模型計(jì)算的基礎(chǔ)，適宜的部件特性可以提高模型精度。對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)說(shuō)，由于難以獲得精確的部件特性，在建模過(guò)程中通常使用通用特性，這會(huì)直接影響到模型的精度，為此本文采用部件特性修正因子對(duì)部件特性進(jìn)行修正。以壓氣機(jī)的部件特性修正為例，設(shè)其設(shè)計(jì)點(diǎn)給定的特性為（cπ，cw，cη），分別代表壓比、流量和效率。選擇對(duì)應(yīng)的部件特性的修正因子為（Δcπ，Δcw，Δcη）。修正后的模型新特性為（cπ× Δcπ，cw×Δcw，cη×Δcη）。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)模型是1個(gè)強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性的系統(tǒng)［11］，除部件特性以外的其他因素的變化同樣會(huì)對(duì)模型的輸出產(chǎn)生影響。本文在對(duì)部件特性進(jìn)行修正的同時(shí)，考慮到模型的引氣系數(shù)以及總壓恢復(fù)系數(shù)與實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)狀態(tài)的差異，將這些因素列入考量，以實(shí)現(xiàn)模型輸出和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的匹配［12］。

修正因子選取見表1。

表1　待優(yōu)化參數(shù)

在表1中，Δf、Δc、Δh分別代表風(fēng)扇、壓氣機(jī)、高壓渦輪對(duì)應(yīng)的修正因子；下標(biāo)中π、w、η分別對(duì)應(yīng)壓比、流量、效率；δ3in為壓氣機(jī)中間級(jí)引氣系數(shù)；δ31、δ3in1為高、低壓渦輪進(jìn)口處引氣分配系數(shù)；σ0、σB、σ7、σ8、σ16分別為外涵道、進(jìn)氣道、燃燒室、摻混室、尾噴管所對(duì)應(yīng)的總壓恢復(fù)系數(shù)。

將修正后模型的輸出與發(fā)動(dòng)機(jī)真實(shí)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差作為評(píng)判模型精度的標(biāo)準(zhǔn)。定義目標(biāo)函數(shù)

式中：M為參與評(píng)判的參數(shù)的個(gè)數(shù)；ai為各參數(shù)的加權(quán)系數(shù)；yTest為試車數(shù)據(jù)；yModel為模型輸出數(shù)據(jù)。采用目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)

模型輸出與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差越大，Of也就越大，此時(shí)J也就越小，個(gè)體被淘汰的幾率增大。式（1）中的ai并非一成不變，當(dāng)最優(yōu)適應(yīng)度J超過(guò)20代不發(fā)生變化時(shí)，找出相對(duì)誤差最大的變量，增大其權(quán)值。相應(yīng)減小相對(duì)誤差最小變量的權(quán)值。從而能夠減小建模最大誤差，加快模型的收斂速度。

高、低壓轉(zhuǎn)速（N2，N1）的精度將直接影響到轉(zhuǎn)速線的確定，轉(zhuǎn)速對(duì)精度起統(tǒng)領(lǐng)作用。本文要求高、低壓轉(zhuǎn)速的精度均需達(dá)到0.2%。若不能達(dá)到精度要求，則降低個(gè)體的適應(yīng)度，使其被淘汰的幾率增大，即令

模型在設(shè)計(jì)點(diǎn)的優(yōu)化過(guò)程如圖1所示。

圖1　模型在設(shè)計(jì)點(diǎn)優(yōu)化流程

采用1種合適的算法是模型修正的關(guān)鍵。微分進(jìn)化算法在解決復(fù)雜全局化最優(yōu)化問(wèn)題方面的性能更加突出，過(guò)程也更加簡(jiǎn)單，受控參數(shù)少，被視為仿生智能計(jì)算產(chǎn)生以來(lái)在算法結(jié)構(gòu)方面取得的重大進(jìn)展［13］。因此本文采用微分進(jìn)化算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。

2　微分進(jìn)化算法設(shè)計(jì)

作為1種基于群體進(jìn)化的仿生智能計(jì)算方法，微分進(jìn)化算法通過(guò)種群個(gè)體間的合作與競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的求解。設(shè)種群規(guī)模為NP，可行解空間的維數(shù)為D（本文中D為修正因子的個(gè)數(shù)）。首先，在問(wèn)題的可行解空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群用于表征第i個(gè)個(gè)體解。本文每個(gè)個(gè)體xi表征1組修正因子。

微分進(jìn)化算法的基本操作包括變異、交叉及選擇3種［14］。通過(guò)這3種操作使種群朝著種群適應(yīng)度值變大的方向進(jìn)化，最終得到問(wèn)題的最優(yōu)解。

2.1微分進(jìn)化算法的基本操作

2.1.1變異操作

生成變異向量vi

式中：（xr1，xr2，xr3）為在父代種群中隨機(jī)選取的3個(gè)不同個(gè)體，且r1≠r2≠r3≠i；μ為［0，2］間的實(shí)型放縮因子，用于控制差分向量（xr1，xr2）的影響。

放縮因子較小會(huì)引起算法過(guò)早收斂，較大的μ值能提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，但當(dāng)μ＞1時(shí)，算法的收斂速度會(huì)明顯降低。放縮因子的經(jīng)驗(yàn)選取范圍為0.5～0.9［13］，本文選取μ=0.6。

2.1.2交叉操作

微分進(jìn)化算法交叉操作的目的是通過(guò)變異向量vi和目標(biāo)向量xi各維分量隨機(jī)重組提高種群個(gè)體的多樣性。生成新的交叉向量ui=（ui，1，ui，2，…，ui，D）

式中：r為［0，1］間的隨機(jī)數(shù)；RB為［1，D］間的隨機(jī)整數(shù)，保證ui至少要從vi中獲得1個(gè)元素，以確保有新的個(gè)體生成，從而避免種群的進(jìn)化停滯；CR為［0，1］間的常數(shù)，稱為交叉變量，其選擇將會(huì)影響種群進(jìn)化的速度和最優(yōu)解的精度。

2.1.3選擇操作

微分進(jìn)化算法的選擇操作是1種“貪婪”選擇模式，當(dāng)且僅當(dāng)新的向量個(gè)體ui的適應(yīng)度值比目標(biāo)向量個(gè)體xi的適應(yīng)度值更好時(shí)，ui才會(huì)被種群接受。選擇操作可描述為

2.2交叉變量的設(shè)置

在微分進(jìn)化算法中，交叉變量在整個(gè)進(jìn)化過(guò)程中一般固定不變。這種做法雖然簡(jiǎn)單，但對(duì)于不同的優(yōu)化問(wèn)題，參數(shù)設(shè)置各不相同，需要進(jìn)行多次試驗(yàn)才能確定合適的參數(shù)變化規(guī)律，提高算法的尋優(yōu)能力。

本文提出1種折線式CR的變化規(guī)律，在迭代初期，保持較大的交叉變量，使得算法具有較快的收斂速度；在迭代后期，保持較小的交叉變量，使得算法能夠在最優(yōu)解附近進(jìn)行細(xì)致搜索；在迭代中期，交叉變量呈線性減小，使其變異概率逐漸減小。

式中：CR1、CR2分別為最大、最小交叉變量；G0為保持交叉變量不變的代數(shù)；t為當(dāng)前代數(shù)；G為最大進(jìn)化代數(shù)。

為了驗(yàn)證這種交叉變量的尋優(yōu)效果，在通用測(cè)試函數(shù)上對(duì)其開展仿真驗(yàn)證，并與CR為常數(shù)和CR呈線性變化［15］的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。CR為常數(shù)時(shí)，根據(jù)常規(guī)選擇CR=0.6；CR呈線性時(shí)按文獻(xiàn)［15］的變化規(guī)律為

測(cè)試函數(shù)為

式中：-10.0≤x1，x2≤10.0。

該函數(shù)是2維的復(fù)雜函數(shù)，具有無(wú)數(shù)個(gè)極小值點(diǎn)，在（0，0）處取得最小值0。選取初始種群大小為100，迭代次數(shù)為100，CR1=0.9，CR2=0.1。

對(duì)于每種規(guī)律都獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行20次，然后比較算法20次運(yùn)行的最優(yōu)解和平均解。測(cè)試結(jié)果見表2。

表2　測(cè)試函數(shù)收斂精度的比較

從測(cè)試函數(shù)收斂結(jié)果的對(duì)比中可見，本文提出的折線式交叉變量搜索方式最優(yōu)解和平均解更接近目標(biāo)值“0”，求解效果更佳，收斂精度更高。

在優(yōu)化過(guò)程中，由于初始種群在給定的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，且經(jīng)過(guò)交叉變異也會(huì)產(chǎn)生一些偏離較遠(yuǎn)的個(gè)體，可能會(huì)引起模型發(fā)散，使得優(yōu)化中斷，影響優(yōu)化的順利進(jìn)行。為此，本文對(duì)牛頓-拉夫遜迭代法進(jìn)行改進(jìn)，提出基于發(fā)散判斷的變步長(zhǎng)牛頓-拉夫遜迭代算法，能夠基于平衡方程殘差自適應(yīng)調(diào)整計(jì)算步長(zhǎng)，不但能夠避免迭代過(guò)程中的發(fā)散，而且可以提高模型的收斂速度。

3　改進(jìn)牛頓迭代法

基于穩(wěn)態(tài)模型對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)部件特性進(jìn)行優(yōu)化。發(fā)動(dòng)機(jī)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足各截面流量連續(xù)、靜壓平衡和各轉(zhuǎn)動(dòng)部件的功率平衡。定義6個(gè)共同工作方程

式中：εi（i=1，2，…6）為共同工作方程的殘差；Wht為高壓渦輪的功率；Wc為高壓壓氣機(jī)功率；ηlt為高壓渦輪的效率；WEX為高壓渦輪的抽功量；Wlt為低壓渦輪的功率；Wfan為風(fēng)扇功率；ηlt為低壓渦輪的效率；PS6為內(nèi)涵出口靜壓；PS16為外涵出口靜壓；PC8為由流量連續(xù)算得的噴口總壓；P8為噴管出口背壓；Q41cX為根據(jù)高壓渦輪流量特性曲線計(jì)算出來(lái)的高壓渦輪進(jìn)口換算流量；Q41c為由高壓渦輪導(dǎo)向器流入高壓渦輪轉(zhuǎn)子的換算流量；Q45cX為根據(jù)低壓渦輪流量特性曲線插值得到的低壓渦輪換算流量；Q45c為由低壓渦輪導(dǎo)向器進(jìn)入低壓渦輪轉(zhuǎn)子的換算流量。

模型修正基于穩(wěn)態(tài)模型展開，采用牛頓-拉夫遜（N-R）迭代方法來(lái)求解滿足誤差要求的方程猜值?；静襟E是：先試給出方程的解稱為初猜值），記平衡方程為φ（v）i，代入方程計(jì)算εi，若滿足殘差要求，初猜值即是方程的解，若不滿足要求，則需對(duì)猜值進(jìn)行修正，下一步的猜值為

式中：k為N-R迭代次數(shù)；A為基于平衡方程殘差計(jì)算出的雅克比矩陣。

當(dāng)|εi|＜10-6，i=1，2，…，6，認(rèn)為方程收斂，迭代停止。

N-R法對(duì)于初始值的要求比較苛刻，在初始條件較惡劣的情況下，迭代收斂比較困難。在優(yōu)化過(guò)程中，由于初始種群隨機(jī)產(chǎn)生，在模型修正的過(guò)程中頻繁出現(xiàn)迭代不收斂的現(xiàn)象，會(huì)中斷模型優(yōu)化。在迭代時(shí)間方面，N-R法的計(jì)算步長(zhǎng)λ固定，且需要重復(fù)計(jì)算雅可比矩陣，較小的計(jì)算步長(zhǎng)會(huì)使模型調(diào)用次數(shù)過(guò)多，嚴(yán)重影響優(yōu)化時(shí)間。目前在航空發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)值計(jì)算應(yīng)用中，針對(duì)N-R法的不足主要采取以下幾種改進(jìn)方案：初值擬合法、部件特性擴(kuò)展、變步長(zhǎng)等［16-18］，主要思路是通過(guò)改變初始條件從而改善算法本身的收斂性和收斂速度。但這些方法會(huì)犧牲計(jì)算的實(shí)時(shí)性，且不能改善算法本身在惡劣條件下的計(jì)算性能。

本文針對(duì)N-R法的不足，提出了基于發(fā)散判斷的變步長(zhǎng)N-R算法（V-N-R）。采用平衡方程殘差的二范數(shù)值||ε||的變化趨勢(shì)來(lái)判斷計(jì)算收斂或者發(fā)散的趨勢(shì)，在計(jì)算瀕臨發(fā)散時(shí)適當(dāng)縮短步長(zhǎng)λ，避免程序發(fā)散，在計(jì)算遠(yuǎn)離發(fā)散邊界時(shí)適當(dāng)增大步長(zhǎng)λ，加快程序收斂速度。

式中：a為發(fā)散判斷系數(shù)，且當(dāng)λ＞1時(shí)，令λ=1。

大量仿真研究表明||ε（k+1）||＞||ε（k）||的情況在最終計(jì)算收斂的計(jì)算過(guò)程頻繁出現(xiàn)，是1種正?，F(xiàn)象。而當(dāng)||ε（k+1）||＞2||ε（k）||時(shí)，迭代計(jì)算趨于發(fā)散。

為驗(yàn)證基于發(fā)散判斷的變步長(zhǎng)N-R法的有效性，在相同初猜值條件下，給定不同修正因子，使得平衡方程的初始?xì)埐?范數(shù)值||ε||不同，常規(guī)N-R法和V-N-R法模型運(yùn)算結(jié)果對(duì)比見表3。

從表3中可見，當(dāng)步長(zhǎng)較短和殘差的2范數(shù)較小時(shí)，2種方法都能收斂；當(dāng)步長(zhǎng)較大且殘差2范數(shù)較大時(shí)，N-R法易發(fā)散。而改進(jìn)后的算法能夠判斷發(fā)散趨勢(shì)、及時(shí)調(diào)整計(jì)算步長(zhǎng)，避免了迭代發(fā)散現(xiàn)象。從上面的迭代次數(shù)看，V-N-R法迭代次數(shù)明顯少于常規(guī)N-R法的，而每次迭代都需要調(diào)用6次模型來(lái)計(jì)算雅可比矩陣，大幅減少了計(jì)算時(shí)間。

4　模型修正仿真結(jié)果

以V-N-R法進(jìn)行模型穩(wěn)態(tài)計(jì)算，采用改進(jìn)后的微分進(jìn)化算法修正模型，最大和平均建模誤差隨進(jìn)化代數(shù)變化曲線如圖2所示。修正前、后各輸出參數(shù)誤差對(duì)比如圖3所示。

在圖3中：N1、N2分別為高、低壓渦輪轉(zhuǎn)速；P25、 T25分別為高壓壓氣機(jī)進(jìn)口總壓、總溫；P3、T3分別為表高壓壓氣機(jī)出口處總壓、總溫；Q41、P41分別為高壓渦輪進(jìn)口燃?xì)饬髁?、總壓；Q45、P45、T45分別為低壓渦輪進(jìn)口處燃?xì)饬髁?、總壓、總溫；P46、T46分別為低壓渦輪出口處總溫、總壓；Q8、P8、T8分別為尾噴管出口處燃?xì)饬髁?、總壓、總溫；F為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；sfc為耗油率。

表3　牛頓法、改進(jìn)牛頓法計(jì)算結(jié)果

圖2　各代平均誤差與最大誤差變化

圖3　修正前、后截面參數(shù)對(duì)比

從圖3中可見，修正后的模型精度得到大大改善。平均建模誤差由修正前的2.3154%減小到0.3888%。最大建模誤差減小到1.3762%，誤差超過(guò)1%的參數(shù)只有P46和T46，其他截面參數(shù)誤差都低于1%。滿足了設(shè)計(jì)點(diǎn)精度誤差小于2%的指標(biāo)。

4　結(jié)論

（1）對(duì)求解模型的N-R算法提出基于發(fā)散判斷機(jī)制的變步長(zhǎng)改進(jìn)，提高了模型的收斂性，加快了收斂速度。

（2）對(duì)微分進(jìn)化算法提出折線式交叉變量變化方式，提高了算法的尋優(yōu)能力。

（3）以部件特性修正因子、引氣系數(shù)以及總壓恢復(fù)系數(shù)為待優(yōu)化參數(shù)，通過(guò)改進(jìn)微分進(jìn)化算法尋優(yōu)，使模型輸出與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相一致，達(dá)到了穩(wěn)態(tài)模型建模精度的要求。

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（編輯：趙明菁）

Correction of Aeroengine Model Based on Differential Evolution Algorithm

ZHU Zheng-chen，LI Qiu-hong，WANG Yuan，Pan Peng-fei
（Jiangsu Province Key Laboratory of Aerospace Power Systems，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In order to enhance the accuracy of the model，Differential Evolution（DE）algorithm was used to modify the component characteristics of an aeroengine.DE algorithm was improved，the broken line style across-variable was put forward，the optimization ability of the algorithm was increased.A variable step-size Newton-Raphson iteration algorithm was proposed based on the variation tendency of the residue errors norm of the balance equations，which could adjust step-size of Newton-Raphson resulting in improving the convergent ability and convergent speed of the model.At the design point，the characteristics correction coefficients of components，air-entraining correction coefficients and pressure recovery correction coefficients were optimized to achieve high matching accuracy of engine model outputs to test data.The simulation results show that the model based on variable step-size Newton-Raphson method could achieve better convergent performance with less time.After correction of aeroengine model，the maximum error was reduced to 1.3762%，which satisfied the modeling requirement.

Differential Evolution（DE）algorithm；Newton-Raphson method；components characteristics modification；across-variable in broken line style；performance simulation model；aeroengine

V 233.7

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.01.011

2014-12-04基金項(xiàng)目：國(guó)家重大基礎(chǔ)研究項(xiàng)目資助

朱正?。?990），男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)控制與仿真；E-mail：985124853@qq.com。

引用格式：朱正琛，李秋紅，王元，等.基于微分進(jìn)化算法的航空發(fā)動(dòng)機(jī)模型修正［J］.航空發(fā)動(dòng)機(jī)，2016，42（1）：53-58.ZHU Zhengchen，LI Qiuhong，WANG Yuan，et al.Correction of aeroengine model based on differential evolution algorithm［J］.Aeroengine，2016，42（1）：53-58.