劉美全

（福建省南靖縣龍山中學(xué)，福建漳州363600）

例說面積法在初中幾何中的應(yīng)用

劉美全

（福建省南靖縣龍山中學(xué)，福建漳州363600）

面積法就是運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，它是解幾何問題的一種重要數(shù)學(xué)方法。本文通過具體的實(shí)例說明面積法在初中幾何中求線段的比、計(jì)算線段的長、證比例式、證兩角相等、證線段的和差等五方面的應(yīng)用。

面積法；初中幾何；應(yīng)用

幾何計(jì)算和證明是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，一些幾何計(jì)算和證明問題表面上看起來和面積無關(guān)，但是如果我們能夠靈活運(yùn)用面積法，往往會起到意想不到的效果，使問題迎刃而解。

所謂的面積法就是運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，它是解幾何問題的一種重要數(shù)學(xué)方法，用它來證明或計(jì)算幾何題有時(shí)會有意想不到的收獲。其特點(diǎn)是把已知和未知量用面積公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證或計(jì)算的結(jié)果。

用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)：

性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等。

性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等。

性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半。

性質(zhì)4：等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比。

性質(zhì)5：等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比。

性質(zhì)6：兩個(gè)全等形的面積相等。

性質(zhì)7：一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和。

下面通過具體的實(shí)例說明面積法在初中數(shù)學(xué)幾何計(jì)算和證明中的一些應(yīng)用。

一、利用面積法計(jì)算線段的長

綜合法是幾何命題常用的一種證明方法--"由因?qū)Ч?，即直接從題設(shè)的條件入手，運(yùn)用定義定理推出結(jié)論，它的思路是從"已知"看"可知"。直接計(jì)算線段的長，應(yīng)用面積法來解決就會顯得簡潔明了。

例1.如圖1，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，且AC=3，AB=5，求CD。

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC=√(AB2-AC2)=√（52-32）=4

由三角形面積公式有

1/2AB×CD=1/2AC×BC

CD=AC×BC/AB=3×4/5=12/5

這題就是從已知入手求出BC的長，再根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果的。當(dāng)然此題還可以用勾股定理來解，那不僅要求出BC的長，還要求BD(或CD)，才能求出AD的長，可以說解法略顯繁瑣；還能用解直角三角形來解決，相比之下用面積法來解就比較簡捷明了，令人耳目一新。

二、利用面積法證線段相等

在幾何命題論證中，證明線段相等最直接的方法就是通過證明三角形全等，再利用"全等三角形的對應(yīng)邊相等"加以證明。但有些題目如果能以不同關(guān)系式表示同一個(gè)幾何圖形的面積，并據(jù)此找出等量關(guān)系，可以說思路新穎獨(dú)特，而且相當(dāng)簡便。

例2.如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，

CE⊥AB于E，求證：BD=CE。

證明：在△ABC中，

∵AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，

垂足分別為D、E。

∴S=1/2AB·CE=1/2AC·BD又∵AB=AC

∴CE=BD

本題通過對同一圖形從不同的角度利用面積公式，從而直接得出了CE和BD的關(guān)系，相比較利用三角形全等來證明，可以看出用面積法不僅十分簡潔、巧妙，而且還好理解。

三、利用面積法求線段的比

求線段的比，最直接的思路就是利用"相似三角形的對應(yīng)邊成比例"求解，但有時(shí)如果能巧妙利用圖形的面積加以計(jì)算，會收到意想不到的效果。

例3.如圖3，在△ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。求證：MD/AM=1/2。

證明：連結(jié)CM，過B作BG⊥AD交AD延長線于G，

∵BF是△ABC的中線。

∴S△BAF=S△BCF,S△MCF=S△MAF

∴S△BAF-S△MAF=S△BCF-S△MCF

即S△MAB=S△MBC

∵AD是△ABC的中線。

∴S△MBDE=S△MDC=1/2S△MBC

∴S△MBD=1/2S△MAB,即S△MBD/S△BAM=1/2。

∴S△MBD=1/2S△MBD=1/2BG×MD,S△BAM=1/2BG×AM.

∴MD/AM=S△MBD/S△BAM=1/2。

本題通過三角形邊上的中線，得到線段相等，再利用"等底等高的三角形面積相等"，結(jié)合三角形的面積公式得到結(jié)論，解法巧妙，易理解。

四、利用面積法證比例式。

證比例式成立，最常用的方法就是利用"相似三角形的對應(yīng)邊成比例"加以證明，但有些題目如果能從不同的角度選擇相應(yīng)的面積公式，通過面積比就會很容易得到相應(yīng)的比例式。

例4.如圖4，AD是△ABC的角平分線，求證：AB/AC=BD/DC。

證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H。

又∵AD是△ABC的角平分線

∴DE=DF

∴S△ABD/S△ACD=(1/2AB×DE)/(1/2AC×DF)

=AB/AC

而S△ABD/S△ACD=(1/2BD×AH)/(1/2DC×AH)=BD/DC

∴AB/AC=BD/DC

本題解答中最突出的一點(diǎn)是對同一圖形，從不同的角度選擇相應(yīng)的面積公式。通過線段比與面積比的互換來實(shí)現(xiàn)幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，從而很容易的得出結(jié)論。

通過以上的實(shí)例我們知道，利用面積法解題的關(guān)鍵，就是要善于發(fā)掘圖形之間的位置關(guān)系，或?qū)ν粓D形，從不同的角度考慮用面積公式。對于一些比較難解甚至感覺無從下手的幾何計(jì)算和證明問題，如果能考慮到用面積法，往往會起到化難為易，化繁為簡，事半功倍之效果。

劉美全，男，漢族，福建漳州人，福建省南靖縣龍山中學(xué)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)。