趙華

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻558000）

基于傳輸矩陣方法的一維光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)分析

趙華

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻558000）

利用傳輸矩陣的方法，研究了一維光子晶體中光波的傳輸特征。通過數(shù)值計算，討論了光子晶體的介質(zhì)的層數(shù)、介質(zhì)層的厚度以及介電常數(shù)對光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)特征的影響，這對于光子晶體的設計具有一定的參考作用。

光子晶體；傳輸矩陣；禁帶

光子晶體的概念在1987年由Yablonotich首次提出［1］，是一種人造周期性結(jié)構(gòu)，由折射率周期性變化的介質(zhì)組成。光在這種結(jié)構(gòu)中傳播時，某些頻率的光波將受到抑制，形成光子禁帶。光子晶體可以用來制造微諧振腔、品質(zhì)優(yōu)良的濾波器和集成光路等，成為光子學和光子技術(shù)研究中的一個活躍的課題。光子禁帶的結(jié)構(gòu)特點、分布特征及調(diào)控方法等都是重要的研究問題。為了實現(xiàn)對光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)的調(diào)控，材料折射率隨位置周期性變化［2］以及含特異材料［3］、單負材料［4］組成的光子晶體最近被廣泛研究。一維光子晶體是最簡單的一類光子晶體，利用分子束外延生長技術(shù)，實驗上可以將兩種或多種折射率不同的材料交替生長形成薄膜結(jié)構(gòu)，理論上近似當作一維光子晶體來研究。

目前，計算光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)常用的方法主要有傳輸矩陣法、有限元法、多重散射法和平面波展開法等。王憶鋒等基于Matlab計算軟件還提出了一種通過求解線性方程組的處理方法［5］。由于光子晶體具有周期性的結(jié)構(gòu)，傳輸矩陣法是研究此類問題最常采用的方法。周期性勢場中運動的電子與折射率周期性變化的光子晶體中運動的光子十分相似。這種方法在介觀系統(tǒng)的電子輸運問題中也被廣泛采用［6］。因此，系統(tǒng)歸納傳輸矩陣方法，找到計算機編程容易實現(xiàn)的計算方式，對研究此類問題十分重要。

本文基于傳輸矩陣的方法，研究了ABAB......ABA型結(jié)構(gòu)的一維光子晶體禁帶分布特征，給出了傳輸矩陣法詳細的處理過程，討論了光子晶體的結(jié)構(gòu)周期數(shù)和介質(zhì)的厚度對禁帶結(jié)構(gòu)的影響，并給出了一種禁帶展寬的方案，這對于相關光學器件的設計具有理論參考價值。

1　模型和方法

圖1　一維光子晶體結(jié)果示意圖Fig.1 Schem atic diagram of one-dim ensionalphotonic crystal

如圖1所示，我們選取典型的一維光子晶體模型［5，7］，由兩種相對介電常數(shù)分別為，厚度分別為的A和B薄介質(zhì)層交替排列構(gòu)成一維周期性結(jié)構(gòu)材料?？臻g周期寬度為；空間周期重復次數(shù)為P。光子晶體以介質(zhì)A開始，同時仍以介質(zhì)A結(jié)束，構(gòu)成ABAB......ABA型結(jié)構(gòu)。一束頻率為ω的光從空氣由左向右正入射到光子晶體的各介質(zhì)層，再重新回到空氣介質(zhì)。整個系統(tǒng)中，不同介質(zhì)的交接面數(shù)N=2P+2，可以分為N+1個區(qū)，其中第1和N+1區(qū)為空氣介質(zhì)，第2到第N區(qū)為介質(zhì)A和B。

以TE波為例，系統(tǒng)中各個區(qū)間傳播的一維平面波滿足波動方程：

其中：

坐標系的選取如圖1所示。

方程（1）的通解為

將（4）代入到（6）中，結(jié)果可以寫成矩陣形式：

令，

則（7）式可以寫為：

（10）式將相鄰的區(qū)間的透射振幅和反射振幅聯(lián)系起來。由此可得，

稱為系統(tǒng)的傳輸矩陣。對于第N+1區(qū)的空氣介質(zhì)，沒有反射波，dN+1=0。因此有：

光在整個系統(tǒng)中的透射率為：

在T=0處對應光子晶體的禁帶位置。通過上面的推導可以看出，求解光波對光子晶體的透射率的核心問題是計算傳輸矩陣M，這可以通過（12）式中一系列具體矩陣相乘求得，與文獻［7］比較，此處推導過程直觀明了，并且相關計算在計算機編程中是非常容易實現(xiàn)，比如Matlab軟件就可以非常方便地處理矩陣計算問題。另外，這個計算方法還可以推廣到其他具有周期性結(jié)構(gòu)的問題中。給定介質(zhì)材料及其厚度，我們可以利用數(shù)值計算，做出透射率T隨頻率ω的變化譜線，分析光子禁帶的結(jié)構(gòu)特征，尋找調(diào)節(jié)光子禁帶結(jié)構(gòu)的方案。

2　結(jié)果與討論

如圖2所示，我們首先給出了周期數(shù)P=5時透射系數(shù)T與入射光頻率ω的關系曲線圖。從圖中可以看出，中心頻率為ω0的奇數(shù)倍時存在光截止區(qū)，而ω0的偶數(shù)倍處禁帶消失。這與文獻［5，7］的結(jié)果完全一致，由此可以說明本文所采用方法的可靠性。

圖2　系統(tǒng)周期數(shù)P=5時的透射率譜Fig.2 The spectrum of transm ission coefficients of the system with periodic number P=5

在圖3中，我們給出了不同介質(zhì)層數(shù)（周期性結(jié)構(gòu)空間重復次數(shù)P分別為6、12、18）時，系統(tǒng)的禁帶結(jié)構(gòu)圖。從圖中可以看出，隨著介質(zhì)層數(shù)的增加，系統(tǒng)在導帶區(qū)域的震蕩明顯加劇，這是由于光波經(jīng)過系統(tǒng)時，發(fā)生反射和透射次數(shù)隨介質(zhì)層數(shù)增加而增加導致的。而禁帶的分布及其寬度，幾乎沒有明顯的改變，這說明系統(tǒng)不能通過改變介質(zhì)的層數(shù)調(diào)節(jié)其禁帶結(jié)構(gòu)。

圖3　系統(tǒng)取不同周期數(shù)時的透射率譜Fig.3 The spectrum of transm ission coefficients of the system with various periodic numbers

系統(tǒng)的透射率T取決于Kj和Xj，即依賴于介質(zhì)的折射率（介電常數(shù)）、入射光波的頻率以及各介質(zhì)層的厚度。在實際的光子晶體的制備中，介質(zhì)層的厚度往往是比較容易調(diào)控的量。我們可以考慮通過調(diào)節(jié)介質(zhì)層的厚度對光子晶體的禁帶結(jié)構(gòu)進行調(diào)控。在圖4中我們給出了周期結(jié)構(gòu)重復次數(shù)P=10時，保持B介質(zhì)層厚度不變，增加A介質(zhì)層厚度時，系統(tǒng)的禁帶結(jié)構(gòu)圖。從圖中可以看出，系統(tǒng)禁帶的結(jié)構(gòu)隨介質(zhì)A厚度的改變而明顯改變。當介質(zhì)層A厚度增加50%時，在中心頻率為2ω0和4ω0處出現(xiàn)了新的光波截止區(qū)，當介質(zhì)層A的厚度增加100%時，中心頻率為3ω0處變成了導帶區(qū)。因此，改變介質(zhì)層的厚度，是一種調(diào)控光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)的有效手段。

圖4　系統(tǒng)取不同介質(zhì)層厚度時的透射率譜Fig.4 The spectrum of transm ission coefficients of the system w ith different thickness of the dielectric layers

在光子晶體的應用中，往往要求光子禁帶的結(jié)構(gòu)越寬越好。在不改變光子禁帶結(jié)構(gòu)的前提下，即不改變各介質(zhì)層的光學厚度，可以通過改變介質(zhì)層的厚度及相應的介電常數(shù)來實現(xiàn)光子禁帶結(jié)構(gòu)的展寬或者收窄。圖5中選取參數(shù)為周期結(jié)構(gòu)重復次數(shù)P=10， εb=1.9044，b=1260nm保持不變。圖（a）、（b）和（c）分別對應εa=5.5225，a=740nm、εa=16/9*5.5225，a=3/4*740 nm和εa=4*5.5225，a=1/2*740nm時系統(tǒng)的禁帶結(jié)構(gòu)圖。通過圖5可以看出，由于介質(zhì)A的光學厚度并沒有發(fā)生變化，光子晶體的禁帶分布情況保持不變。但隨著介質(zhì)A的介電常數(shù)（折射率）的增大，光子禁帶的寬度顯著增寬。這是由于介質(zhì)A、B折射率差值增大導致的［8］。因此，通過選取合適的材料，調(diào)整材料的相應厚度，可以在不改變光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)的前提下，在一定程度上實現(xiàn)對禁帶寬度的調(diào)節(jié)。這對于光子晶體的設計和制造具有一定的參考意義。

圖5　系統(tǒng)選取不同A層介質(zhì)時的透射率譜Fig.5 The spectrum of transm ission coe fficients of the system w ith differentA layer dielectrics

3　結(jié)語

本文采用傳輸矩陣的方法，分析了一維光子晶體的禁帶結(jié)構(gòu)特征。文中給出了簡單直觀的傳輸矩陣的推導過程，并且易于實現(xiàn)計算機編程的數(shù)值計算，可以推廣到其他具有周期性結(jié)構(gòu)的問題中。通過計算發(fā)現(xiàn)，改變光子晶體中介質(zhì)的層數(shù)并不能改變其禁帶分布情況，而改變介質(zhì)的厚度是一種方便有效的調(diào)節(jié)光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)的方法。在不改變A層介質(zhì)層光學厚度的前提下，將其更換為折射率更高的介質(zhì)，可以顯著增加光子晶體禁帶的寬度，并且不改變光子晶體原有的禁帶分布情況，這對于光子晶體器件的設計具有一定參考價值。

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Analysis of the forbidden band structure of one-dim ensional photonic crystal based on transform m atrix m ethod

ZHAO Hua
（Department of Physicsand Electronics，Qiannna Normal College for Nationalities，Duyun 558000，China）

Using the method of transform matrix， the light transfer characteristics of one- dimensional photonic crystal were studied. By numerical calculations， the effects which were bought to the photonic crystal's forbidden band structure by layers of dielectric and the thickness and the dielectric constant of the medium were discussed. This research has a certain reference value to the designing of the photonic crystal.

Photonic crystal；Transfermatrix；Forbidden band

O436

A

1674-8646（2016）18-0001-03

2016-08-06

貴州省普通高等學校創(chuàng)新人才團隊項目（黔教合人才團隊字［2013］29）；貴州省科學技術(shù)基金項目（黔科合J字［2012］2311）；貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計劃項目（黔教合KY字［2013］154）；黔南民族師范學院院級科研項目（qnsy2011qn11）

趙華（1982-），男，山東山亭人，碩士，副教授，主要從事介觀輸運問題研究。