張江華，鄒華杰，鄧文翔

(1.常州機電職業(yè)技術學院 機械工程學院，江蘇 常州　213164; 2.南京理工大學 機械工程學院，南京　210094)

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含周期性擾動補償?shù)臋C電伺服系統(tǒng)自適應控制*

張江華1，鄒華杰1，鄧文翔2

(1.常州機電職業(yè)技術學院 機械工程學院，江蘇 常州213164; 2.南京理工大學 機械工程學院，南京210094)

針對執(zhí)行周期性任務的機電伺服系統(tǒng)易受參數(shù)不確定性及外干擾的影響，為實現(xiàn)高精度跟蹤性能和準確的參數(shù)估計，設計基于傅立葉級數(shù)近似的非線性自適應控制器。該非線性自適應控制器通過對呈現(xiàn)一定周期性的擾動進行傅立葉級數(shù)近似，采用自適應律自動更新與近似項相關的未知參數(shù)，實現(xiàn)對周期性擾動的精確補償。對于其他任意非周期性的干擾，則采用含干擾上界估計的非線性魯棒項抑制其不利影響。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)全局一致有界穩(wěn)定，通過恰當選擇設計參數(shù)及初始化誤差變量，跟蹤誤差可收斂至零附近的任意小范圍內。仿真結果表明，所提出的控制方法能有效的抑制參數(shù)不確定性及外部擾動，獲得高精度的跟蹤性能。

機電伺服系統(tǒng)；周期性；擾動補償；自適應；非線性魯棒

ZHANG Jiang-hua1, ZOU Hua-jie1, DENG Wen-xiang2

(1.School of Mechanical Engineering,Changzhou Institute of Mechatronic Technology, Changzhou Jiangsu 213164, China; 2. School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

0　引言

機電伺服系統(tǒng)由于其響應快、傳動效率高及能源獲取方便等突出優(yōu)點，廣泛運用于眾多重要領域如數(shù)控機床、飛行控制和火力控制等。隨著工業(yè)技術的發(fā)展，高精度的運動控制已成為現(xiàn)代機電設備的主要發(fā)展方向[1]。機電伺服系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，易受參數(shù)不確定性及擾動的影響。因此，基于線性控制理論的PID控制器已不能滿足高性能的需求，需要研究先進的非線性控制器設計。針對機電伺服系統(tǒng)的控制問題，許多方法被廣泛討論?；趨?shù)不確定性和擾動變化范圍已知的前提，文獻[2-3]中采用的自適應魯棒控制算法可保證機電伺服系統(tǒng)獲得一致有界的跟蹤性能。文獻[4]中針對永磁同步電機設計的反饋線性化控制器可有效處理系統(tǒng)非線性特性，并采用線性魯棒反饋抑制外負載干擾的不利影響。然而，當系統(tǒng)存在強擾動時，上述控制方法必須采用強反饋增益才能保證其理論性能。文獻[5]指出，過強的反饋增益會增加閉環(huán)系統(tǒng)帶寬、激發(fā)未建模的高頻動態(tài)，致使系統(tǒng)失穩(wěn)。實際上，工程應用中的機電伺服系統(tǒng)大多數(shù)都在執(zhí)行周期性的任務，如機床加工工件等?；诖?，重復控制[6]是處理此類控制問題的常用方法。然而，傳統(tǒng)的重復控制器對噪聲非常敏感，因此文獻[7]在原基于內模原理的線性重復控制器中加入Q濾波器以增強系統(tǒng)在噪聲存在的情況下的穩(wěn)定性。文獻[8]進一步指出，除了對噪聲敏感的問題，傳統(tǒng)的重復控制等價于不斷地更新無窮多個參數(shù)，因此控制器的實際執(zhí)行有巨大的內存需求，實際中難以實現(xiàn)。

為克服上述控制方法中的缺點，針對跟蹤周期性參考信號的機電伺服系統(tǒng)，本文提出了一種基于傅立葉級數(shù)近似的非線性自適應控制方法。系統(tǒng)總擾動中呈現(xiàn)一定周期性的部分采用傅立葉級數(shù)近似，且相關未知參數(shù)用自適應的方法處理，其余任意非周期性的干擾則運用非線性魯棒反饋控制律予以抑制。仿真結果驗證了所提出控制方法的有效性。

1　問題提出

本文所考慮的機電伺服系統(tǒng)原理圖如圖1所示。其中伺服電機通過驅動器驅動直接帶動慣性負載旋轉。由于所采用的伺服驅動器是成熟的商業(yè)驅動器，其內固化有電流環(huán)控制器。另外，考慮到電氣部分響應速度遠高于機械部分，故可忽略電流環(huán)動態(tài)，將其簡化成比例環(huán)節(jié)[1-3,5]。由牛頓第二定律可得：

(1)

圖1　機電伺服系統(tǒng)位置控制原理圖

為提高摩擦補償?shù)木?，采取如下的靜態(tài)連續(xù)摩擦模型[9]：

(2)

d(x1,x2)+δ(t)

(3)

式中：未知參數(shù)向量θ=[θ1,θ2,θ3,θ4]T，且θ1=ku/J，θ2=a1/J，θ3=a2/J,θ4=a3/J；Sf(x2)=tanh(c1x2),Pf(x2)=tanh(c2x2)-tanh(c3x2),d(x1,x2)=f(x1,x2)/J；δ(t)=Δ(t)/J。

控制器的設計目標為：給定系統(tǒng)參考角度信號yd=x1d(t)，設計一個有界的連續(xù)控制輸入u使得系統(tǒng)輸出y=x1跟蹤參考角度信號的誤差趨于零或在期望的范圍內，在控制器設計之前，先作如下假設：

假設1：系統(tǒng)位置指令信號是二階連續(xù)可微的，且其各階導數(shù)都有界。

假設2：擾動項d(x1,x2)對x1，x2的偏微分存在且有界，任意外干擾項δ(t)有界即：

(4)

2　自適應控制器設計

2.1系統(tǒng)設計模型

由于本文考慮機電伺服系統(tǒng)執(zhí)行周期性任務，即跟蹤周期性的角度指令信號，則只與狀態(tài)相關的擾動項d(x1,x2)也呈現(xiàn)一定的周期性，而δ(t)可以是任意非周期性的。因此式(3)可以寫成如下形式：

(5)

Dd(t-T)=Dd(t)

(6)

式中：T為已知位置指令的最小正周期。

采用傅立葉級數(shù)對周期性的非線性函數(shù)Dd(t)進行近似可得：

(7)

式中：ω=2π/T。由于機械系統(tǒng)等價于一個具有有限帶寬的低通濾波器，因此Dd(t)可以用式(7)中的有限頻率部分表示，即在實際中，式(7)中的有限項傅立葉級數(shù)可以很好地近似Dd(t)[7]：

(8)

定義Θ=[A0/2,A1,B1,...,Am,Bm]T為未知的常值參數(shù)向量，則基于式(5)和(8)可得系統(tǒng)的設計模型為：

ΘTΦ+δ(t)+Ξ

(9)

式中：Ф=[1, cosωt, sinωt, ..., cosmωt, sinmωt]T。

2.2控制器設計

定義如下誤差變量：

(10)

式中：z1=x1-x1d為系統(tǒng)的跟蹤誤差；α1為狀態(tài)x2的虛擬控制律；z2為x2與α1之間的偏差，k1為正的反饋增益。

由式(10)可知，Gp(s)=z1(s)/z2(s)=1/(s+k1)是穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，如果z2趨于零，則z1也趨于零。結合式(9)和(10)可得：

(11)

定義Lyapunov函數(shù)：

(12)

對函數(shù)V0求導可得：

(13)

結合根據(jù)拉格朗日中值定理及假設2，有：

(14)

式中：c1，c2為已知正數(shù)。

另外，采用如下不等式性質：

(15)

式中：ε>0，η為任意實數(shù)，kp=0.2758。則式(13)可寫成：

(16)

設計實際的控制輸入u為：

(17)

參數(shù)估計由以下自適應律更新：

Θ^·=ΓΘ(Φz2-β2Θ^)

(18)

式中：φ=[u, -x2, -Sf(x2), -Pf(x2)]T，Гθ, ГΘ,γ為正的自適應增益，β1、β2、β3為大于零的常數(shù)。

3　穩(wěn)定性證明

控制器性能：對于由式(9)描述的跟蹤周期性位置指令的機電伺服系統(tǒng)，采用自適應控制器(17)及參數(shù)自適應律(18)，合理選取控制增益k1，k2可保證機電伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂至零附近任意小的范圍內，且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號都有界。

穩(wěn)定性證明：定義新的Lyapunov函數(shù)

(19)

對式(19)求對時間的導數(shù)并結合式(16)及控制輸入(17)可得：

(20)

式中：ks1=k1-(c1+1)/2,ks2=k2-c2-(c1+1)/2。

結合式(18)中的自適應律可得：

(21)

式(21)為一階微分方程，根據(jù)文獻[10]中針對有界穩(wěn)定的情況的討論，解此微分方程可知式(19)中定義的Lyapunov函數(shù)具有如下的上界：

(22)

4　仿真結果與分析

機電伺服系統(tǒng)負載轉動慣量J=0.01kg·m2，力矩放大系數(shù)ku=5N·m/V，阻尼系數(shù)a1=1.025N·m·s/rad，庫倫摩擦幅值a2=0.1 N·m·s/rad，靜摩擦與庫倫摩擦的差值a3=}，形狀系數(shù)c1=700,c2=15,c3=1.5，周期性的擾動項δ(x1,x2)=(10x1+20x2) N·m，其他外干擾項Ξ=5sintN·m，仿真采樣周期為Ts=0.2ms。

為充分考核本文所設計的控制算法的有效性，選取工程實際中大量使用的PI控制器以及不含周期性擾動補償?shù)姆答伨€性化控制器進行仿真對比。

(2)FLC：反饋線性化控制(Feedback Linearization Control)。反饋線性化控制不含對周期性的擾動的補償，用以驗證所提出控制算法中擾動補償?shù)挠行?。FLC控制器設計為：

(23)

式中θ1n,θ2n,θ3n,θ4n為系統(tǒng)參數(shù)的名義值。其控制增益也取為k1=100，k2=50。

(3)PI：工程中廣泛運用的比例積分控制器。該控制器的各參數(shù)在Matlab自帶的工具箱自整定的基礎上進行微調獲得。

給定系統(tǒng)的參考角度指令信號選取為：x1d(t)= sinπt·[1-exp(-0.01t3)] rad。圖2和圖3分別為本文提出的NAC控制器作用下系統(tǒng)角度跟蹤性能和三種控制器分別作用時的跟蹤誤差對比。從圖2中可以看出，在NAC控制器作用下，機電伺服系統(tǒng)的慣性負載可以很好地跟蹤給定的角度指令信號，其穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不超過2×10-5rad。在初始階段，由于參數(shù)估計初值的選取遠離其真值，使得暫態(tài)跟蹤性能偏大，但是隨著參數(shù)估計逐漸收斂，其跟蹤誤差也逐漸減小。由圖3可知，基于模型的FLC控制器獲得了比PI控制器更好的跟蹤性能，說明了模型補償設計的有效性；但是，F(xiàn)LC和PI控制器的跟蹤性能均比NAC控制器要差，由此驗證了NAC控制器中對周期性的擾動補償?shù)挠行浴?/p>

圖4給出了系統(tǒng)未知參數(shù)估計隨時間變化的曲線，圖5是與周期性擾動近似項相關的未知參數(shù)估計。從圖4可知系統(tǒng)未知參數(shù)的估計較好地收斂至其真值，這也是跟蹤誤差逐漸減小的原因。圖5中的參數(shù)估計也可很好地收斂，說明NAC控制器對周期性的擾動可精確補償，從而提升系統(tǒng)跟蹤性能。圖6為NAC控制輸入電壓以及其他任意干擾的上界估計。

圖2　NAC控制器作用下系統(tǒng)角度跟蹤及跟蹤誤差

圖3　三種控制器跟蹤性能對比

圖4　系統(tǒng)未知參數(shù)的估計

圖5　周期性擾動近似項的參數(shù)估計

圖6　NAC控制輸入電壓及干擾上界估計

5　總結

本文針對執(zhí)行周期性任務的的機電伺服系統(tǒng)控制問題，提出了基于傅立葉級數(shù)近似的非線性自適應控制方法。該控制方法利用跟蹤周期性角度指令時的部分擾動也會呈現(xiàn)一定的周期性的性質，采用傅立葉級數(shù)對其近似處理，進而運用自適應的方法在控制器設計中進行擾動補償。此外，無需知道未知非周期性的擾動的上界信息，而是采用含上界估計的非線性魯棒控制律予以抑制。所提出的控制方法避免了傳統(tǒng)重復控制對噪聲敏感及內存需求大的缺點，同時有效的擾動補償可以較小的反饋增益獲得很好的跟蹤性能。

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(編輯李秀敏)

Adaptive Control of Mechatronic Servo System with Periodic Disturbance Compensation

For mechatronic servo systems performing periodic tasks and being typically subjected to parametric uncertainties and external disturbances, a Fourier series approximation based nonlinear adaptive controller is designed to achieve high precision tracking performance and accurate parameter estimation. The Fourier series is utilized to approximate the disturbances which show certain periodicity in the nonlinear adaptive controller design, and then the corresponding unknown parameters are updated by adaptive law to achieve accurate compensation for periodic disturbances. The nonlinear robust term which contains the upper bound estimate of disturbance is used to attenuated the adverse effect of other arbitrary non-periodic disturbances. The global uniformly bounded stability of the closed-loop system is proved based on Lyapunov stability theory, and the tracking error can converge to a small neighborhood around zero by properly choosing design parameters and initial error variables. Simulation results show that the proposed control scheme can effectively suppress the parametric uncertainties and external disturbances and obtain high precision tracking performance.

mechatronic servo system; periodicity; disturbance compensation; adaptive; nonlinear robust

1001-2265(2016)09-0074-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.09.021

2016-02-12;

2016-02-26

江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(KYLX_0334)

張江華(1973—)，男，浙江東陽人，常州機電職業(yè)技術學院副教授，碩士，研究方向為機電一體化技術，(E-mail)zhj88000@163.com；

鄒華杰(1988—)，男，湖北仙桃人，常州機電職業(yè)技術學院講師，博士，研究方向為機電伺服技術，(E-mail)zouhuajie_cimt@163.com。

TH165;TP273

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