馬薛珂

(昆明理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系　云南 昆明 650500)

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Non-Carathéodory域中重點(diǎn)為無(wú)窮缺項(xiàng)函數(shù)系{zτnlogsnz}的逼近

馬薛珂

(昆明理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系云南 昆明 650500)

Non-Carathéodory域； 重點(diǎn)； Lp(B)空間； 逼近

0　引言

函數(shù)系在Banach空間中的完備性問(wèn)題,是逼近論中的經(jīng)典問(wèn)題.文獻(xiàn)[1-3]介紹了函數(shù)系在復(fù)平面的無(wú)界曲線上、可測(cè)集上、具有非連通補(bǔ)集的有界區(qū)域上以及在無(wú)界區(qū)域上的逼近問(wèn)題.近年來(lái),關(guān)于函數(shù)系的逼近問(wèn)題仍是許多學(xué)者研究的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[4-5]考慮了復(fù)指數(shù)系的不完備性、最小性以及加權(quán)指數(shù)多項(xiàng)式的逼近.文獻(xiàn)[6-7]推廣到研究函數(shù)系在C0(E)空間中的完備性問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]得出多元復(fù)指數(shù)系不完備的充要條件及其閉包的特征.

(1)

(2)

函數(shù)系{zτnlogsnz}的指數(shù){τn}有重點(diǎn),且重點(diǎn)個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮的情況下,研究Non-Carathéodory域上函數(shù)系{zτnlogsnz}在Banach空間Lp(B)上的完備性問(wèn)題,有以下定理1.

1　輔助引理

為證明定理,先論述并證明以下幾個(gè)輔助引理.本文中Ci表示常數(shù),每次出現(xiàn)不必相同.

引理1[1]若h(r)滿(mǎn)足式(2)的條件,則可知函數(shù)系{zτnlogsnz}在Lp(B)空間中.

引理2多項(xiàng)式系{zn}在Lp(B)空間中是完備的.

引入典型乘積，

(3)

注解1典型乘積φ(z)是絕對(duì)一致收斂的,對(duì)于任意小的正數(shù)ε,可知F(w)在Ωε內(nèi)是有界解析的.

C是一個(gè)與w和Rn都無(wú)關(guān)的常數(shù),并且此時(shí)φ滿(mǎn)足

tanφ<ε/(Dsinα).

(4)

由Carleman定理可以得到以下引理.

若1≤p<,且,設(shè)q(z)∈Lq(B),定義G(w)=?B′q(eξ)F(w-ξ)dξ1dξ2.其中ξ=ξ1+iξ2,z=eξ,B′是閉集合B在ξ=logz下的像,則可知集合B′一定是位于帶狀的區(qū)域且α1是常數(shù)).集合B是有界的單連通區(qū)域,引入2個(gè)帶型區(qū)域：).

引理7若G(w)≡0,那么如果q(z)∈Lq(B),則有等式?Bq(z)zndxdy=0,z=x+iy.

證明類(lèi)似文獻(xiàn)[7]中引理2.13的證明過(guò)程.

引理8如果函數(shù)系{zτnlogsnz}在解析函數(shù)空間Lp(B)中完備的充要條件是：已知Lq(B)是Lp(B)的共軛空間,對(duì)于任意的q(z)∈Lq(B),有等式?Bq(z)zτnlogsnzdxdy=0成立,則可推出q(z)≡0.

由Riesz-Fischer定理可推出引理8成立.

2　定理的證明

證明假設(shè)M(Λ1)在Lp(B)空間中是不完備的.由引理1可知,函數(shù)系{zτnlogsnz}在LP(B)空間中.又由引理8知,若證明函數(shù)系{zτnlogsnz}在解析函數(shù)空間Lp(B)中完備,只需證明對(duì)任意的q(z)∈Lq(B),對(duì)所有的zτnlogsnz,有等式?Bq(z)zτnlogsnzdxdy=0成立,則推出q(z)≡0即可.由引理2知,多項(xiàng)式系{zn}在Lp(B)空間中完備,故只需證明?Bq(z)zndxdy=0即可[11].

由上述引理及G(w)的定義可知

其中C是一個(gè)與Rn和w都無(wú)關(guān)的常數(shù).由0<(1-η)nR≤Rn≤nR,可知

(5)

(6)

故∫，其中C5是一個(gè)正數(shù),

且與y無(wú)關(guān).故∫,即

∫.

(7)

(8)

由引理7可知,G(w)≡0可推出?Bq(z)zndxdy=0.故可知定理成立.

[1]沈燮昌.關(guān)于函數(shù)系{zτnlogjz}在復(fù)數(shù)平面上的無(wú)界曲線上的完備性問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1963,13(2):170-192.

[2]沈燮昌.關(guān)于函數(shù)系{zτnlogjz}在復(fù)數(shù)平面上的區(qū)域中的完備性問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1963,13(3):405-418.

[3]沈燮昌.用函數(shù)系{zτnlogjz}來(lái)逼近復(fù)平面上的函數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1964,14(3):406-414.

[4]DENG G T. Weighted exponential polynomial approximation[J]. Sci China Ser A,2003,46(2):280-287.

[5]DENG G T. Incompleteness and minimality of complex exponential system[J]. Sci China：Ser A, 2007, 50(10),1467-1476.

[6]YANG X D, TU J. On the completeness of the system {tλn}inC0(E)[J]. J Math Anal Appl, 2010, 368(2): 429-437.

[7]YANG X D. On the completeness of the system {tλnlogmnt} inC0(E)[J].Czechoslovak mathematical journal,2012,62(137):361-379.

[8]王翠巧,鄧冠鐵.加權(quán)Hardy空間中解析函數(shù)的唯一性及多元指數(shù)多項(xiàng)式的加權(quán)逼近[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,51(4):334-339.

[9]ZIKKOS E.On a theorem of norman levinson and a variation of the fabry gap theorem[J].Complex variables,2005,50(4):229-255.

[10]沈燮昌.關(guān)于廣義狄里希萊多項(xiàng)式展開(kāi)的余項(xiàng)估計(jì)[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào),1962,3:199-211.

[11]沈燮昌.復(fù)變函數(shù)逼近論[M].北京:科學(xué)出版社,1992:88-121.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

On the Completeness of the Function System {zτnlogsnz} with Infinite Multiplicity in Non-Carathéodory Region

MA Xueke

(DepartmentofMathematics,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China)

Non-Carathéodory region; multiplicity;Lp(B) space; completeness

2016-03-30

馬薛珂(1990—),女,河南安陽(yáng)人,碩士研究生,主要從事復(fù)分析研究,E-mail:1542032159@qq.com.

O174.5;O174.52

A

1671-6841(2016)03-0039-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016061

引用本文：馬薛珂.Non-Carathéodory域中重點(diǎn)為無(wú)窮缺項(xiàng)函數(shù)系{zτnlogsnz}的逼近[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(3)：39-42.