徐偉津，卓輝

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙410128）

非線性光束傳輸方程的tanh-coth解法

徐偉津，卓輝

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙410128）

非線性薛定諤方程的解析解的分析對(duì)研究信息的傳輸有著非常重要的作用，利用tanh-coth法求非線性薛定諤方程得到一系列較好的解析解，對(duì)研究光束的非線性傳輸具有一定的指導(dǎo)意義。

光孤子；非線性薛定諤方程；tanh-coth法

0　引言

自然界的非線性現(xiàn)象是一個(gè)普遍問(wèn)題，而且都可以用非線性薛定諤方程來(lái)描述。在非線性光學(xué)研究中，也同樣可以用非線性薛定諤方程來(lái)描述。從上個(gè)世紀(jì)開始，非線性光學(xué)的非線性薛定諤方程已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)，其中對(duì)介質(zhì)中的光束演化的研究也是一個(gè)非常重要的問(wèn)題，其研究成果指導(dǎo)了許多光控制器件的開發(fā)。孤子的現(xiàn)象與孤子概念的提出可以追溯到20世紀(jì)30年代，起初人們是在水中發(fā)現(xiàn)了孤子現(xiàn)象，1973年，光孤子的概念首次提出：光孤子與其他同類光孤子相遇后，其形狀，速度，幅度將不會(huì)發(fā)生變化，隨后對(duì)其進(jìn)行了深入研究并推廣開來(lái)。當(dāng)前，研究者已經(jīng)陸續(xù)建立了KDV方程［1］，S-G方程，K-G方程［2］及非線性薛定諤方程來(lái)描述孤子的相關(guān)變化，當(dāng)前有很多研究者利用逆反射法［3］，Painleve展開法［4］，Hirota雙線性法［5］，變分法，數(shù)值法等，來(lái)解決光學(xué)的非線性傳輸特性問(wèn)題，得到了非常重要的結(jié)論。其中D.Anderson利用變分法求解了光脈沖在光纖中的非線性傳輸?shù)姆蔷€性薛定諤方程得到了啁啾和波包寬度的演化情況［6］，沒有給出一個(gè)定量的具體的解析解，但非常簡(jiǎn)潔。本文則著眼于tanh-coth法［7］在非線性薛定諤方程在光孤子通信中的求解，得到了一系列相對(duì)較好的解析解。對(duì)于光束在非線性介質(zhì)的傳輸研究有著重要的研究作用。

1　傳輸方程與tanh-coth法

1.1傳輸方程簡(jiǎn)介

在橫向X方向上折射率具有線性周期調(diào)制的自聚焦克爾型非線性介質(zhì)中，光束沿縱向Z方向的傳輸方程在弱調(diào)制近似下滿足下面的非線性薛定諤方程：

式中，k=n0ω/c=2πn0/ρ，n0是線性折射率，ρ是ρ射光束的波長(zhǎng)，γ是介質(zhì)的。

1.2對(duì)于非線性偏微分方程

引入w=x-ct，則將方程（2）化成常微分方程如下：

再引入一個(gè)新的獨(dú)立變量，令：

則有：

2　簡(jiǎn)化的傳輸方程求解

與D.Anderson用變分法求解的結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，D. Anderson研究了光脈沖在光纖中的非線性傳播的傳輸方程，假設(shè)輸入脈沖為，經(jīng)過(guò)傳輸介質(zhì)后光脈沖假定形式為（x））+ib（x）τ2）通過(guò)變分分析，D.Anderson得到了Ax、a（x）、b（x）的演化關(guān)系，能很好地分析光脈沖的演化情況，而本文通過(guò)tanh-coth方法得到了一系列的具體的解，這對(duì)問(wèn)題的分析有更好的指導(dǎo)作用。

3　結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用tanh-coth方法求出了簡(jiǎn)化的光束在弱調(diào)制情況下的傳輸方程的解析解，通過(guò)求解過(guò)程可以看出tanh-coth方法解非線性方程十分的簡(jiǎn)潔，易懂，直觀，而且能夠得到十分豐富的解的數(shù)據(jù)，能夠幫助我們更好地分析和研究相關(guān)的非線性方程。

［1］廖歐，舒級(jí)，曾群香.一類混合KDV方程的精確孤立波解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（4）：493-496.

［2］董孝義.光孤子通信原理與進(jìn)展［J］.光通信技術(shù)，1992，16（2）：28-39.

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The tanh-coth Solution to the Beam Nonlinear Transmission Equation

XU Wei-jin，ZHUO Hui
（Institude of Information and Science Technology，Hunan Agriculture University，Changsha 410128）

Analyzing the analytic solutions of Nonlinear Schrodinger equation plays a significant role in studying the transmission of information.Uses the tanh-coth method to solve Nonlinear Schrodinger equation and gets a series of decent analytic solutions，which makes a positive difference in studying the nonlinear transmission.

Optical Soliton；Nonlinear Schrodinger Equation；tanh-coth Method

1007-1423（2016）23-0013-03DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.23.003

徐偉津（1994-），男，湖南永州人，學(xué)生，專業(yè)方向?yàn)橹鞴シ蔷€性傳輸

卓輝，博士，副教授，研究方向?yàn)閺氖鹿獾姆蔷€性、光孤子等理論，E-mail：zhuohuitxh@163.com

2016－05－10

2016－08－05