□李慶社

三角形全等錯(cuò)解剖析

□李慶社

全等三角形的判定和性質(zhì)及其應(yīng)用是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考所要考查的重要內(nèi)容.同學(xué)們由于對(duì)概念、判定、性質(zhì)的理解不清楚或?qū)?wèn)題的考慮不周密，往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.

一、利用對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角說(shuō)明全等

例1如圖1①所示，若△ABC中的∠A=30°，∠B=70°，AC=17cm，如圖1②所示，若△DEF的∠D= 70°，∠E=80°，DE=17cm，那么△ABC與△DEF全等嗎？為什么？

錯(cuò)解：△ABC與△DEF全等.

在△DEF中，

因?yàn)椤螪=70°，∠E=80°，

所以∠F=180°-∠D-∠E

=180°-70°-80°=30°.

在△ABC中，

因?yàn)椤螦=30°，∠B=70°，

所以∠A=∠F，∠B=∠D.

又因?yàn)锳C=17cm，DE=17cm，

所以AC=DE.

在△ABC與△DEF中，

∴△ABC≌△DEF.

圖1①

圖1②

分析：AC是∠B的對(duì)邊，DE是∠F的對(duì)邊，而∠B≠∠F，所以這兩個(gè)三角形不全等.

正解：△ABC與△DEF不全等.因?yàn)橄嗟鹊膬蛇叢皇窍嗟鹊膬山堑膶?duì)邊，不符合全等三角形的識(shí)別法.

二、利用三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等說(shuō)明全等

例2如圖2，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E為AC和BD的交點(diǎn).△ADB與△BCA全等嗎？說(shuō)說(shuō)理由.

圖2

錯(cuò)解：△ADB≌△BCA.

所以△CBE≌△DAE（AAA）.

分析：兩個(gè)三角形全等是對(duì)的，但說(shuō)明的理由不正確.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等不能作為三角形全等的識(shí)別方法.因?yàn)槿齻€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

正解：△CAB≌△DBA.

所以△CAB≌△DBA（AAS）.

三、利用兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等說(shuō)明全等

例3如圖3，已知△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且CD=BE，△ADC與△AEB全等嗎？說(shuō)說(shuō)理由.

圖3

錯(cuò)解：△ADC≌△AEB.

所以△ADC≌△AEB（SSA）.

分析：把SSA作為三角形全等的判別方法不正確.SSA不能作為三角形全等的識(shí)別條件.因?yàn)閮蛇吋耙唤菍?duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

正解：△ADC≌△AEB.

因?yàn)锳B=AC，D、E為AB、AC的中點(diǎn)，所以AD=AE.

在△ADC和△AEB中，

所以△ADC≌△AEB（SSS）.

四、利用部分當(dāng)整體說(shuō)明全等

例4如圖4，已知AB=AC，BD=CE，試說(shuō)明△ABE與△ACD全等的理由.

圖4

錯(cuò)解：因?yàn)锳B=AC，

所以∠B=∠C.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABE≌△ACD（SAS）.

分析：錯(cuò)把三角形邊上的一部分當(dāng)作說(shuō)明的條件，這不符合三角形全等的識(shí)別方法.

正解：△ABE與△ACD全等.

因?yàn)锳B=AC，

所以∠B=∠C，

因?yàn)锽D=CE，

所以BD+DE=CE+DE，

即BE=CD.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABC≌△ACF（SAS）.

五、利用減法運(yùn)算說(shuō)明全等

例5如圖5，已知AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，AD=BC.試說(shuō)明△AOD≌△BOC.

錯(cuò)解：在△ADC和△BCD中，

所以△ADC≌△BCD（AAS），

所以△ADC-△DOC

=△BCD-△DOC，

即△A0D≌△B0C.

分析：錯(cuò)將等式的性質(zhì)盲目地用到三角形全等中，實(shí)際上，三角形全等是不能根據(jù)等式的性質(zhì)說(shuō)明的.

正解：在△ADO和△BCD中，

所以△AOD≌△BOC（AAS）.

六、將圖形的直觀印象視為條件參與證明

例6如圖6，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足為E、F.求證：BE=CF.

圖6

錯(cuò)解一：認(rèn)為DE=DF，并以此為條件.

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

因?yàn)镈E=DF，BD=CD，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

所以BE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

錯(cuò)解二：認(rèn)為AD⊥BC，并以此為條件，證明△ABD≌△ACD，得AB= AC.再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，從而得到BE=CF.

分析：錯(cuò)解一中認(rèn)為DE=DF，并直接作為條件應(yīng)用，因而產(chǎn)生錯(cuò)誤；錯(cuò)解二中，認(rèn)為AD⊥BC，沒(méi)有經(jīng)過(guò)推理，而直接作為條件應(yīng)用，因而也產(chǎn)生錯(cuò)誤.產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是審題不清，沒(méi)有根據(jù)題設(shè)，結(jié)合圖形找證題方法，推論過(guò)程不符合全等的判定方法.

正解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS）.

∴DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

七、觀察圖形出現(xiàn)重復(fù)或遺漏

例7如圖7所示，在等邊△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），且AD=BE=CF，圖中全等三角形對(duì)數(shù)為（）.

A.5對(duì)B.6對(duì)

C.12對(duì)D.15對(duì)

圖7

錯(cuò)解：A.

分析：全等三角形共有15對(duì)，分別是：△ABE≌△BCF≌△CAD，△ABH≌△BCN≌△CAG，△ADG≌△BEH≌△CFN，△AEC≌△BFA≌△CDB，△AHF≌△BND≌△CGE.其中每一組都是3對(duì)全等三角形.

正解：D.