苗英愷

（濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院實(shí)訓(xùn)中心，河南濮陽 457000）

教學(xué)討論

環(huán)球飛車的動力學(xué)分析

苗英愷

（濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院實(shí)訓(xùn)中心，河南濮陽 457000）

分析了環(huán)球飛車在水平軌道上圓周運(yùn)動的力學(xué)原理.利用車身在運(yùn)動中的受力和力矩的平衡，重點(diǎn)分析了飛車在上半球水平軌道上運(yùn)行的受力情況、速度的極值及車身的傾角.計算出飛車水平運(yùn)行軌道的最大高度.

環(huán)球飛車；圓周運(yùn)動；質(zhì)心運(yùn)動定理；軌道極限高度

我們都看過“環(huán)球飛車”雜技表演，多輛高速飛馳的摩托車在直徑僅有6.5 m的球形金屬籠內(nèi)上下翻飛、交叉穿越，十分驚險.車手精準(zhǔn)的控制，高超的技藝，令觀眾嘆為觀止.目前，這項(xiàng)極限運(yùn)動的最新吉尼斯世界紀(jì)錄，是由濮陽水秀雜技團(tuán)2013年在濮陽水秀龍珠館內(nèi)創(chuàng)造的.表演中，車手駕駛摩托車可以在球內(nèi)水平、豎直、傾斜的任何平面上運(yùn)行，11輛摩托車最后分成上、中、下三層，做水平方向的圓周運(yùn)動，其中最上層的4輛摩托車高度竟然超過了球體的赤道而進(jìn)入到上半球內(nèi)，持續(xù)時間長達(dá)30 s，簡直令人難以置信.

摩托車在上半球水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動時，球壁對車輪的支持力方向傾斜向下，為什么車不會掉下來呢？摩托車在球內(nèi)水平圓周運(yùn)動軌道的極限高度又是多高呢？

文獻(xiàn)［2］對此進(jìn)行了分析.但文章將人車系統(tǒng)看做質(zhì)點(diǎn)，僅討論了軌道的極限高度，沒有討論軌道的高度與車速和車身傾角的關(guān)系.本文運(yùn)用動力學(xué)理論對飛車在上半球的運(yùn)行情況進(jìn)行了進(jìn)一步的討論，對軌道的高度與車速和車身傾角的關(guān)系進(jìn)行了具體分析.

飛車在球內(nèi)的運(yùn)動不但涉及到速度和受力問題，還涉及到車身的平衡問題，故不能將人車系統(tǒng)當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來看待.如圖1所示，點(diǎn)O為球心，球體的半徑為R，人車質(zhì)量為m，h為人車系統(tǒng)質(zhì)心相對高度.飛車在球內(nèi)做水平圓周運(yùn)動時，人車除受重力mg外，車輪還會受到球壁的壓力FN和靜摩擦力Ff，設(shè)車輪與球壁間的靜摩擦系數(shù)為μ0.

圖1 飛車水平圓周運(yùn)動的受力模型

圖中標(biāo)出了飛車分別在球體的下部、中部和上部運(yùn)行的三個水平軌道，其中在中、下二個軌道上的圓周運(yùn)動不再討論［1，3］，下面重點(diǎn)討論飛車在上半球水平軌道上的運(yùn)行情況.

設(shè)飛車在上半球以O(shè)′為圓心的水平面上作圓周運(yùn)動.O點(diǎn)是球體的球心，A為運(yùn)動軌道上任意一點(diǎn)，OA與O′O的夾角為α（α為鈍角）.摩托車運(yùn)動速度為υ，車身與豎直方向的傾斜角度為θ，與OA間的夾角為γ.FN和Ff的參考方向如圖中所示.

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有

a為向心加速度，（-ma）為離心慣性力.

由于車手上身一般是趴在摩托車上的，人車系統(tǒng)重心較低.為了便于分析，忽略h對向心力的影響.可列出水平和豎直方向的受力平衡方程：

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，忽略車輪旋轉(zhuǎn)和車身圓周運(yùn)動所產(chǎn)生的角動量，可列出相對于質(zhì)心的力矩平衡方程：

可得出

由于此時摩托車沒有打滑，所以μ0FN≥Ff即

可解出

上式表明，飛車在該軌道上穩(wěn)定運(yùn)行有一個最小速度，即

由式（4）可求出v=vmin時飛車的傾斜角：

又由式（2）可知，飛車在上半球水平軌道上運(yùn)行，90°＜α＜180°，則sin α＞0，cot α＜0，所以，F(xiàn)f始終為正值.

以上分析可見，該軌道上v只有最小值，無最大值.即當(dāng)速度v＜vmin時，μ0FN＜Ff，摩托車會打滑.

當(dāng)v≥vmin時，無論多大，μ0FN≥Ff均成立，摩托車則不會打滑，可以安全運(yùn)行，此時，F(xiàn)N和Ff均為正值，方向不變.

由式（4）可求出，隨著速度v的增大，γ的極限值為

這說明，飛車在上半球軌道上運(yùn)行時，速度越大，車身越接近于水平.

那么，α有沒有一個最大值呢？即，軌道極限高度是多少呢？

由式（6）可知，當(dāng)α＞90°時，要使該式有意義，必須保證cot α+μ0＞0，即

其物理意義是，當(dāng)α＜180°-arccot μ0時，飛車能夠做圓周運(yùn)動，v有最小值.當(dāng)α≥180°-arccot μ0時，不管飛車速度多大，都不能保持圓周運(yùn)動.這就是飛車在上半球水平軌道運(yùn)行的理論極限高度.

摩托車輪胎與鐵籠粗糙的表面之間的靜摩擦系數(shù)μ0一般為0.7左右，上式可以求出α最大理論值為124.99°［2］.此時，摩托車的允許最小速度由式（6）得出vmin→∞，傾角θ→90°.

當(dāng)然，物體運(yùn)動速度不可能無窮大，況且人體骨骼能夠承受的最大壓力為自身重量的3倍左右［2］.即

要使飛車在盡量高的水平軌道上運(yùn)行，r要盡可能小.并且考慮車手身體的承受能力，v也要盡可能小.將v的最小值帶入上式，可求出α的實(shí)際最大值為

將μ0=0.7代入后求出

即水平軌道的最大高度α不能超過105.52°，摩托車允許的最小速度vmin≈9.316 m/s，折合時速約為33.54 km/h.此時車身傾角θ≈70.528°.在該軌道上，如果再增大車速，車手身體將無法承受.

通過以上分析可以看出，靜摩擦力豎直分量的一部分抵消了自身重量，“環(huán)球飛車”是可以在球體上半球做水平圓周運(yùn)動的.不過，任何水平軌道都存在一個速度的最小值，隨著軌道的升高，允許的最小速度也在增大.當(dāng)軌道上升到接近理論最大高度時，其允許的最小速度也上升到接近無窮大.

球內(nèi)水平軌道的極限高度只與靜摩擦系數(shù)μ0有關(guān)，與速度、球體大小均無關(guān).如若摩托車運(yùn)行的水平軌道超過理論極限高度，無論速度多大，都會打滑，發(fā)生危險.

［1］樊莉，孫慧.飛車走壁的力學(xué)分析［J］.大學(xué)物理，2012，32（7）：24-25.

［2］張懷華，石翔.探尋環(huán)球飛車表演的極限高度［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2011（10）：28.

［3］劉延柱.飛車走壁的動力學(xué)［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2014（2）：246-248.

A dynamical analysis of global aerodyne

MIAO Ying-kai
（Puyang Vocational and Technical College，Puyang，Henan 457000，China）

This paper analyzes the mechanics of global aerodyne that does circular motion on the horizontal rail.Using forces and moments balance of the motorcycle in the movement，the stress situation，the maximum speed and the body inclination of the motorcycle doing circular motion in the horizontal rail are analyzed.The maximum height of the rail is calculated.

global aerodyne；circular motion；centroid motion theorem；rail height limit

O 312.1

A

1000-0712（2016）05-0005-03

2015-07-09；

2015-11-29

苗英愷（1972—），男，河南清豐縣人，濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院實(shí)訓(xùn)中心副教授，碩士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和研究工作.