姜付錦　吳 珊

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)　湖北 武漢　430300)

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當(dāng)均勻帶電體是什么形狀時(shí)在帶電體上某點(diǎn)有最大場強(qiáng)

姜付錦吳 珊

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)湖北 武漢430300)

先用“對稱性原理”對均勻帶電體在表面某點(diǎn)產(chǎn)生最大電場強(qiáng)度時(shí)的形狀進(jìn)行了定性分析，然后用變分學(xué)的歐拉方程對物體的形狀進(jìn)行定量研究，最后對這個(gè)問題進(jìn)行歸納和總結(jié).

對稱性原理歐拉方程泛函

一個(gè)均勻帶電體的電荷量是一定的，若帶電體是一均勻帶電直線，則當(dāng)直線彎成什么形狀時(shí)在曲線上某一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度最大呢？若帶電體是二維平面，則當(dāng)帶電平面是什么形狀時(shí)在平面邊緣某一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度最大呢？若帶電體是三維立體結(jié)構(gòu)，則當(dāng)帶電體表面是什么形狀時(shí)在表面某一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度最大呢？它們會(huì)是圓形或球形嗎？這其實(shí)是個(gè)泛函問題，本文先對物體形狀作定性分析再對形狀進(jìn)行定量計(jì)算．

1　物體形狀的定性討論

如圖1所示，以物體上某一點(diǎn)為原點(diǎn)O，豎直向上的方向?yàn)闃O軸，建立球坐標(biāo)系(r,θ,φ)，其中r∈[0,∞),θ∈[0,π],φ∈[0,2π]，則物體上的任意一點(diǎn)可由坐標(biāo)(r,θ,φ)確定，物體表面可由函數(shù)r=R(θ,φ)描述．要使原點(diǎn)處的電場強(qiáng)度最大，物體的形狀應(yīng)具有以下特性：

(2)物體形狀具有旋轉(zhuǎn)對稱性，繞極軸旋轉(zhuǎn)任意角度對稱，故物體表面函數(shù)簡化為r=R(θ)．由“對稱性原理”[1]：原因中的對稱性必反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對稱性至少有原因中對稱性那樣多．

圖1　物體形狀的定性討論

2　物體形狀求解的一般方法

滿足固定邊界條件y(x0)=y0,y(x1)=y1的光滑函數(shù)集合中，求一個(gè)函數(shù)y=y(x)，滿足條件(等周條件)

并使

2．1當(dāng)帶電體是三維物體時(shí)的形狀[3]

設(shè)電荷連續(xù)分布的物體的電量為Q，電荷的體密度為ρ且保持不變，在球坐標(biāo)系中物體的體積可以表示為

電場強(qiáng)度表達(dá)式為

由于物體具有旋轉(zhuǎn)對稱性，帶電體在原點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度在垂直于極軸方向上的分量為零，物體在原點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

令t=cosθ,R1(cosθ)=R(θ)，則

由上述的方法知

得

由等周條件得

圖2　帶電體的三維結(jié)構(gòu)圖

2．2當(dāng)帶電物體是二維平面時(shí)的形狀

設(shè)電荷連續(xù)分布的物體的電荷量為Q，面密度為σ且保持不變，在極坐標(biāo)系中物體的面積可以表示為

原點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為

若令

t=cosθR1(cosθ)=R(θ)

則等周條件為

電場強(qiáng)度為

由上述的方法可知

得

即

由等周條件得

圖3　帶電體的二維平面的形狀

2．3當(dāng)帶電體是一條粗細(xì)均勻曲線時(shí)的形狀

設(shè)電荷連續(xù)分布的物體的電荷量為Q，線密度為λ且保持不變，物體的長度可以表示為

由等周條件得

圖4　帶電體是彎曲線時(shí)的形狀

3　結(jié)語

通過對帶電體的3種情況分析可以發(fā)現(xiàn)：

(1)物體的形狀具有旋轉(zhuǎn)對稱性；

(2)物體上每個(gè)微元電荷在表面某一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度沿極軸方向上的分量相同；

(3)物體表面的形狀可以表示為R(θ)=

1趙凱華.定性與半定量物理學(xué)．北京：高等教育出版社，1991.33

2歐斐君.變分法及期應(yīng)用：物理、力學(xué)、工程中的經(jīng)典建模．北京：高等教育出版社，2013.47～65

3楊星宇.力學(xué)中一個(gè)趣味問題的討論．物理通報(bào)，2015(8)：57～59

4史友進(jìn)，俞曉明.庫侖摩擦最速降曲線問題的討論．鹽城工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012(6)

5史友進(jìn)，俞曉明.庫侖摩擦因數(shù)對串珠經(jīng)典速降線與改進(jìn)速降線下滑影響．牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2011(7)

2016-01-07)