付學(xué)中　方宗德　李建華　侯祥穎

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

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偏置面齒輪的碟形砂輪磨齒及嚙合性能*

付學(xué)中方宗德李建華侯祥穎

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

采用碟形砂輪磨齒展成偏置面齒輪，通過(guò)碟形砂輪齒廓修形及控制砂輪中心運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)偏置面齒輪齒面拓?fù)湫扌?，建立了偏置面齒輪的磨齒和嚙合坐標(biāo)系，推導(dǎo)了拓?fù)湫扌纹妹纨X輪齒面方程，建立了考慮安裝誤差的拓?fù)湫扌纹妹纨X輪輪齒接觸分析、承載接觸分析模型，并編制了相應(yīng)計(jì)算機(jī)程序，最后通過(guò)算例進(jìn)行了分析.算例分析表明：碟形砂輪磨削偏置面齒輪是可行的；偏置面齒輪齒面幾何不對(duì)稱，偏置影響接觸印痕、承載傳動(dòng)誤差，但不影響幾何傳動(dòng)誤差；對(duì)偏置面齒輪拓?fù)湫扌?，可有效改善偏置面齒輪副嚙合性能.

偏置面齒輪；碟形砂輪；磨齒；拓?fù)湫扌?；接觸分析；幾何傳動(dòng)誤差；嚙合性能

偏置面齒輪傳動(dòng)是圓柱齒輪與平面齒輪兩輪軸線交錯(cuò)嚙合的角度傳動(dòng)[1].目前面齒輪在國(guó)外已成功應(yīng)用于多種武裝直升機(jī)(如阿帕奇AH-64)的主減分扭傳動(dòng)中，性能優(yōu)勢(shì)明顯，潛力巨大[2-4].偏置面齒輪應(yīng)用于空間受限的航空動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)中，可滿足其多樣化結(jié)構(gòu)布局要求，進(jìn)一步提升面齒輪在航空領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)，也可用于一般工業(yè)中，如代替汽車后橋差速器中的準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng).

目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于偏置面齒輪的公開(kāi)文獻(xiàn)較少，且現(xiàn)有研究多集中在偏置面齒輪齒面設(shè)計(jì)和幾何接觸分析[5-8].面齒輪可通過(guò)插齒[9-10]、蝸桿滾刀滾齒、蝸桿砂輪磨齒等加工[11-12]；但插齒獲得的齒面精度較低，無(wú)法滿足航空傳動(dòng)高精度要求，而蝸桿曲面受奇異性限制，且滾刀和砂輪制造復(fù)雜，砂輪磨損后的修整困難，受制于我國(guó)現(xiàn)有磨齒技術(shù)和制造裝備，國(guó)內(nèi)面齒輪加工精度還不高.采用碟形砂輪磨削面齒輪，雖然加工效率較低，但砂輪的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，利于設(shè)計(jì)、制造、修整，且對(duì)面齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)限制[13].

文中采用碟形砂輪磨齒展成偏置面齒輪，通過(guò)碟形砂輪的齒廓修形和控制砂輪中心的運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)偏置面齒輪齒面拓?fù)湫扌危鶕?jù)磨齒原理和空間嚙合理論，推導(dǎo)拓?fù)湫扌纹妹纨X輪齒面方程，建立考慮安裝誤差的拓?fù)湫扌纹妹纨X輪接觸分析模型，研究其嚙合特性.

1　偏置面齒輪碟形砂輪磨齒

1.1磨齒原理

碟形砂輪磨削偏置面齒輪原理見(jiàn)圖1，砂輪的軸截面與面齒輪軸z2間的距離為E，稱為偏置距.磨削時(shí)存在3種運(yùn)動(dòng)關(guān)系：砂輪以速度ωs繞虛擬插齒刀軸zs旋擺模擬插齒刀回轉(zhuǎn)，砂輪的旋擺與面齒輪以速度ω2繞軸z2的回轉(zhuǎn)構(gòu)成展成運(yùn)動(dòng)，砂輪與虛擬插齒刀的中心距為Eg；砂輪繞軸xg的高速自轉(zhuǎn)構(gòu)成切削運(yùn)動(dòng)；進(jìn)給運(yùn)動(dòng)則是砂輪中心沿平行于虛擬插齒刀軸zs的往復(fù)移動(dòng)，若砂輪中心沿非直線，例如沿圖中拋物線g移動(dòng)，則可控制偏置面齒輪的齒向修形.碟形砂輪磨削偏置面齒輪屬雙參數(shù)包絡(luò)，雙參數(shù)分別為砂輪繞虛擬插齒刀軸zs的轉(zhuǎn)角φg、砂輪中心的移動(dòng)距離lg，但3種運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，故可簡(jiǎn)化機(jī)床傳動(dòng)鏈，這與蝸桿砂輪磨齒時(shí)3種運(yùn)動(dòng)相互關(guān)聯(lián)是有區(qū)別的.

圖1偏置面齒輪磨齒

Fig.1Grinding offset face gear by disk wheel

1.2偏置面齒輪齒面

碟形砂輪磨削偏置面齒輪坐標(biāo)系見(jiàn)圖2.動(dòng)坐標(biāo)系Sg、Ss、S2分別固聯(lián)砂輪、虛擬插齒刀、偏置面齒輪，輔助坐標(biāo)系Sm、Sr、Sk、Sp均固聯(lián)機(jī)架，其中Sm由Ss繞軸zs順時(shí)針轉(zhuǎn)φg得到，Sk由Sm沿軸zm負(fù)方向平移(平移距離為線段OkOm的長(zhǎng)度)得到，Sr由Sk繞軸xk順時(shí)針轉(zhuǎn)γm得到，Sp由S2繞軸z2順時(shí)針轉(zhuǎn)φ2得到.偏置面齒輪齒面Σ2是砂輪齒面Σg在S2中的包絡(luò)，而Σg為虛擬插齒刀端面截線的回轉(zhuǎn)曲面.若以acs、ucs表示齒條刀齒廓拋物線修形參數(shù)，則虛擬插齒刀為失配的漸開(kāi)線齒廓，Σg為失配的漸開(kāi)線回轉(zhuǎn)曲面，彭先龍等[14]對(duì)此有詳細(xì)論述.圖中ag、lg0為砂輪中心沿拋物線g移動(dòng)時(shí)的參數(shù)，a為拋物線g所在平面與砂輪軸截面ygzg間的有向角(一般取0)，這3個(gè)參數(shù)即為偏置面齒輪齒向修形參數(shù).偏置面齒輪轉(zhuǎn)角φ2與砂輪轉(zhuǎn)角φg滿足φ2=φgm2s，m2s是虛擬插齒刀與偏置面齒輪的齒數(shù)比，夾角γm是z2、zs軸夾角γ的補(bǔ)角，兩回轉(zhuǎn)軸的公垂線OpOk即為偏置距E，線段OkOm用L0表示，E、L0與偏置面齒輪內(nèi)外徑L1、L2關(guān)系為E2+L02=(L1+L2)2/4.

偏置面齒輪齒面Σ2位矢R2和法矢n2表示為

(1)

n2(us，lg，φg，θg)=L2g(lg，φg)ng(us，θg)

603 術(shù)前糖類抗原 19-9 水平評(píng)估不同甲胎蛋白水平肝細(xì)胞癌肝切除術(shù)后患者的預(yù)后 李風(fēng)偉，鄒奇飛，薛 輝，項(xiàng)紅軍，夏 勇，李 俊，閻振林，沈 鋒，王 葵

(2)

式中：Rg、ng為砂輪位矢和法矢，具體求解見(jiàn)文獻(xiàn)

圖2偏置面齒輪磨齒坐標(biāo)系

Fig.2Coordinate systems for offset face gear

(3)

M2g按下式確定

M2g=M2pMpkMksMsg

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2　輪齒接觸分析(TCA)

輪齒接觸分析時(shí)采用的坐標(biāo)系見(jiàn)圖3，坐標(biāo)系S1、S2分別固聯(lián)直齒圓柱小輪、偏置面齒輪，φ1、φ2為轉(zhuǎn)角，兩齒面在固定坐標(biāo)系Sf中切觸.坐標(biāo)系Sq、Se、Sd分別用來(lái)模擬軸向位移誤差Δq、偏置誤差ΔE、軸夾角誤差Δγ，B為小輪與虛擬插齒刀分度圓半徑之差，γf是實(shí)際安裝軸夾角，γf=γm+Δγ.偏置面齒輪副在Sf中切觸方程可表示為

(9)

式中：R1、n1為小輪位矢和法矢；u1、l1是展成小輪的齒條刀曲面坐標(biāo)參數(shù)[15]；Mf2、Mf1分別表示由S2到Sf、S1到Sf的變換矩陣；Lf2、Lf1為Mf2、Mf1的底矢變換矩陣.Mf2按下式確定

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(9)向坐標(biāo)軸投影，可得5個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程，式中共8個(gè)參數(shù)，聯(lián)立嚙合方程f1、f2可消去lg、φg2個(gè)參數(shù)，以固定步長(zhǎng)取一系列Φ2為輸入量求解式(9)，將解出的參數(shù)us、θg代入式(1)得到嚙合跡線，并根據(jù)下式求解幾何傳動(dòng)誤差：

ΔΦ2=Φ2-Φ20-N1/N2(Φ1-Φ10)

(15)

式中，Φ10、Φ20是兩齒面初始轉(zhuǎn)角，N1、N2是兩輪齒數(shù).

圖3嚙合坐標(biāo)系

Fig.3Coordinate systems for gear meshing

3　承載接觸分析(LTCA)

在TCA基礎(chǔ)上需進(jìn)一步求解任意接觸點(diǎn)兩齒面相對(duì)主方向，確定離散接觸點(diǎn)對(duì)的間隙、沿接觸橢圓長(zhǎng)軸方向離散點(diǎn)的柔度矩陣，算法見(jiàn)文獻(xiàn)[16-17].建立考慮安裝誤差的偏置面齒輪副承載接觸問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

(16)

上述非線性規(guī)劃是由已知參數(shù)F、w、P和未知參數(shù)p、Z、d組成，Xj(j=1，2，… 2n+1)為人工變量；F為齒面法向柔度矩陣，采用有限元法計(jì)算；p為瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)處法向載荷；Z為輪齒變形后的法向位移；d為瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)處變形后的齒面間隙；X=[X1X2…X2n]T，n維列向量；w為偏置面齒輪齒面間n維初始間距矢量，由TCA得到；P為齒面上的集中載荷；e的各元素均為1.上式目標(biāo)函數(shù)為變形能最小，-Fp+Z+d+X=w、P=eTp+X2n+1分別為變形后位移協(xié)調(diào)方程、力平衡方程，約束條件包括：邊界條件為pj≥0、dj≥0、Zj≥0、Xj≥0和非嵌入條件pj=0║dj=0.求解數(shù)學(xué)規(guī)劃(式(16))，由此可得承載傳動(dòng)誤差(將Z轉(zhuǎn)換為角度值)、齒面載荷分布等.

4　實(shí)例分析

由上述推導(dǎo)編制計(jì)算機(jī)程序并輸入設(shè)計(jì)參數(shù)仿真：大、小輪齒數(shù)為100、20，虛擬插齒刀齒數(shù)為23，壓力角為25°，模數(shù)為2mm，軸夾角γ為90°，面齒輪內(nèi)外徑L1、L2為97、107mm.為減小砂輪磨損速度及提高磨齒效率，中心距Eg應(yīng)盡可能大，文中取150mm.偏置面齒輪的數(shù)字齒面見(jiàn)圖4，說(shuō)明碟形砂輪磨削偏置面齒輪是可行的，為方便敘述規(guī)定圖中左、右側(cè)齒面.

(a)E=5mm

(b)E=15mm

由圖可見(jiàn)，各偏置面齒輪輪齒均不存在內(nèi)徑根切和外徑變尖現(xiàn)象；隨著偏置距的增大，面齒輪輪齒左、右側(cè)齒面幾何不對(duì)稱加劇.無(wú)載時(shí)對(duì)準(zhǔn)安裝條件下偏置面齒輪副的TCA結(jié)果見(jiàn)圖5-7.

(a)E=5mm，左側(cè)齒面

(b)E=5mm，右側(cè)齒面

(c)E=15mm，左側(cè)齒面

(d)E=15mm，右側(cè)齒面

由圖5可知，偏置面齒輪副接觸跡線與齒根成一定角度傾斜，傾斜方向在左、右側(cè)齒面上是相反的，這與圖6所示E=0mm，即相交面齒輪接觸跡線近似垂直齒根有明顯區(qū)別，且偏置距越大，接觸跡線越傾斜，并越向外端移動(dòng).對(duì)比左、右側(cè)齒面接觸印痕可知，右側(cè)齒面接觸橢圓長(zhǎng)軸較左側(cè)傾斜；左側(cè)齒面接觸橢圓長(zhǎng)軸較長(zhǎng)，右側(cè)較短，故應(yīng)盡量選左側(cè)齒面為工作齒面.由圖7可知，偏置面齒輪副幾何傳動(dòng)誤差始終為0(線Ⅰ)，即偏置不影響幾何傳動(dòng)誤差.

圖7中線Ⅱ?qū)?yīng)拓?fù)湫扌螀?shù)acs=-0.001 5、ucs=0.6mm、ag=-0.000 4、lg0=-2mm，E=15mm，工作齒面為左側(cè)齒面，可見(jiàn)偏置面齒輪拓?fù)湫扌文塬@得拋物線幾何傳動(dòng)誤差，此時(shí)接觸跡線變長(zhǎng)并外移，見(jiàn)圖8中路徑Ⅰ，經(jīng)計(jì)算有效重合度較無(wú)修形從1.375提高到1.5；當(dāng)存在安裝誤差Δq=0.14mm時(shí)，接觸跡線進(jìn)一步外移，見(jiàn)圖8中路徑Ⅱ.

圖8偏置面齒輪(E=15mm)接觸跡線

Fig.8Contactlinesofoffsetfacegear(E=15mm)

對(duì)準(zhǔn)安裝條件下承載100N·m時(shí)各偏置面齒輪承載傳動(dòng)誤差見(jiàn)圖9，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ依次對(duì)應(yīng)E=0,5,15mm，其誤差波動(dòng)幅值分別為14.00″、14.26″、15.56″，可見(jiàn)偏置距越大，承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值越大.偏置面齒輪(E=15mm)拓?fù)湫扌魏?，誤差波動(dòng)幅值由15.56″降到6.91″，如線Ⅳ所示，可見(jiàn)偏置面齒輪拓?fù)湫扌慰捎行p小承載誤差波動(dòng)幅值.

圖9對(duì)準(zhǔn)安裝承載傳動(dòng)誤差

Fig.9Loadtransmissionerrorsincaseofnomisalignment

對(duì)準(zhǔn)安裝載荷分布如圖10所示.圖10表明偏置面齒輪副(E=15mm)承載100N·m在無(wú)修形及拓?fù)湫扌螘r(shí)，每條接觸橢圓長(zhǎng)軸上的載荷均從輪齒中部沿接觸橢圓長(zhǎng)軸向兩端逐漸減小為零，齒面載荷分布變化較均勻、平緩.

(a)無(wú)修形

(b)拓?fù)湫扌?/p>

5　結(jié)論

(1)推導(dǎo)了碟形砂輪展成拓?fù)湫扌纹妹纨X輪齒面方程，建立了考慮安裝誤差的拓?fù)湫扌纹妹纨X輪副TCA、LTCA模型，并編制了相應(yīng)計(jì)算機(jī)程序.

(2)對(duì)碟形砂輪磨齒展成偏置面齒輪齒面進(jìn)行了數(shù)值仿真并可視化，說(shuō)明碟形砂輪磨削偏置面齒輪是可行的.

(3)偏置面齒輪副接觸分析表明，偏置距越大，接觸跡線越傾斜、外移，承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值越大，但幾何傳動(dòng)誤差始終為零.

(4)通過(guò)碟形砂輪齒廓修形及控制砂輪中心運(yùn)動(dòng)對(duì)偏置面齒輪拓?fù)湫扌危捎行Ц纳破妹纨X輪副嚙合性能.

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Supported by the National Natural Science Foundation of China(51375384)

Grinding and Meshing Performance of Offset Face Gear Modified with Disk Wheel

FUXue-zhongFANGZong-deLIJian-huaHOUXiang-ying

(School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi，China)

Firstly，an offset face gear was generated by using a disk wheel，and the topological modification of the gear was achieved through disk wheel’s profile modification and center movement control. Secondly，the coordinate systems for grinding and meshing were established，and tooth surface equations of the gear were deduced. Then，by taking into consideration misalignment and topological modification，computational models for tooth contact analysis and loaded tooth contact analysis of the offset face gear pairs were established，and the corresponding computer program was developed. Finally，some examples were given. The results show that (1) the method of grinding offset face gear with disk wheel is feasible； (2) the tooth surface of the offset face gear is geometrically asymmetrical，and the offset value has an effect on contact patch as well as loaded transmission error but has little influence on transmission error； and (3) the meshing performance of offset face gear pairs can be effectively improved by means of topological modification of the offset face gear.

offset face gear； disk wheel； grinding； topological modification； contact analysis； transmission error； meshing performance

1000-565X(2016)07-0077-06

2015-10-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375384)

付學(xué)中(1986-)，男，博士生，主要從事面齒輪設(shè)計(jì)制造研究.E-mail：fxzysu@163.com

TH 132.41doi： 10.3969/j.issn.1000-565X.2016.07.012