許永紅，石蘭芳，莫嘉琪

(1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽, 蚌埠　233030；2.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 江蘇 南京　210044;3.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 安徽 蕪湖　241003)

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一類廣義擾動振子共振機(jī)制的同倫映射近似解

許永紅1，石蘭芳2，莫嘉琪3

(1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽, 蚌埠233030；2.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 江蘇 南京210044;3.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 安徽 蕪湖241003)

為研究一類廣義擾動方程，先求得了相應(yīng)的線性方程的解， 然后利用泛函分析映射原理得到了廣義擾動振子隨機(jī)共振機(jī)制的漸近解, 并論述了解的一致有效性態(tài)。

泛函映射子; 共振機(jī)制; 漸近解

擾動振子的共振在自然界中廣泛存在。1989年開始, 許多學(xué)者對隨機(jī)共振進(jìn)行了系統(tǒng)研究[1]。2003年, 研究了隨機(jī)振子的微弱信號的檢測系統(tǒng)[2], 并討論了高維振子的信號、噪聲和非線性系統(tǒng)三者之間的匹配。但在實(shí)際中, 信號和噪聲情況往往未知, 并且它們與系統(tǒng)三者之間也不總是最優(yōu)的匹配。在文獻(xiàn)[3]中, 提出了變尺度隨機(jī)共振, 研究了大頻率信號的隨機(jī)共振。建立了廣義的調(diào)參隨機(jī)共振的較一般的研究方法[4]。

由于非線性奇異攝動微分方程的解一般不能用有限項(xiàng)的初等函數(shù)來描述。因此，需用近似的求解方法來求非線性方程的近似解析解。作者等也利用各種漸近和近似方法來求得相應(yīng)的非線性方程的近似解[5-24]。本文是用經(jīng)過改進(jìn)的泛函分析同倫映射方法得到廣義擾動方程共振機(jī)制的漸近解。

1　廣義擾動方程共振機(jī)制

研究下列廣義擾動方程初值問題:

Acos(2πω t)+Cg(t),

(1)

y|t=0=h1,

(2)

(3)

其中-au+bu3為勢場作用力; Cg(t)是噪聲信號; k為阻尼系數(shù); Acos(2πω t)是振子的周期驅(qū)動力; C, h1, h2為常數(shù), g(t)表示Gauss白噪聲函數(shù), 設(shè)它是充分光滑的有界函數(shù)。方程(1)可以看作Brown粒子在液體等介質(zhì)的勢場中的運(yùn)動。其中系統(tǒng)輸出y(t)是Brown粒子的位移函數(shù)。

2　泛函同倫映射

為了求得廣義擾動共振機(jī)制方程(1)的漸近解?，F(xiàn)構(gòu)造如下泛函同倫映射H[y,p]∈[R, [0,1]]:

(4)

由泛函分析同倫映射(4)知,H(u, 1)=0就是非線性擾動共振機(jī)制方程(1), 因此僅需選擇在相同的初始條件和邊值條件(2)和(3)式下, 廣義擾動方程初值問題(1)～(3)的解就是H(u,p)=0的解取極限p→1的情形的解。

考慮方程(1)所對應(yīng)的線性問題:

(5)

[Acos(2πωυ)+Cg(τ)]dτ。

(6)

將解y(t)展開為p的冪級數(shù):

(7)

將式(7)代入泛函同倫映射(4), 合并pi的同次冪的項(xiàng), 令各次冪的系數(shù)為零。由p0的系數(shù)可得

(8)

[Acos(2πωυ)+Cg(τ)]dτ。

(9)

將式(7)代入泛函同倫映射(6), 合并pi的同次冪項(xiàng)。由p1的系數(shù)，可得

(10)

因此方程(10)在零初始條件下的解為

(11)

其中y0由式(9)所示。

再由式(9), (11), 并在式(7)中取p=1, 可得廣義非線性擾動共振機(jī)制無量綱模型(1)～(3)的一次近似解析解Y1(t):

(12)

將式(7)代入泛函同倫映射(6), 合并pi的同次冪項(xiàng)。由p2的系數(shù)

(13)

可得方程(12)在零初始值下的解為

(14)

其中y0,y1分別由式(9), (11)表示。

再由式(9), (11), (14), 并在式(7)中取p=1, 得到廣義非線性擾動模型(1)～(3)的二次近似解析解Y2(t):

Y2(t)=y0(t)+y1(t)+y2(t)=

λ2exp(-λ1τ)]×

[Acos(2πωυ)+Cg(τ)-

(15)

式(15)中y0,y1分別由式(9), (11)表示。

繼續(xù)將式(7)代入泛函映射式(6), 合并pi的同次冪項(xiàng)。由pk(k=3,4,…)的系數(shù)

L[yk]=Gk，k=3， 4，…，

(16)

其中

為逐次已知的函數(shù)。

方程(16)在零初始邊值下的解為

λ2exp(-λ1τ)]Gk(τ)dτ。

(17)

由式(9), (11), (13), (17), 并在式(7)中取p=1, 可得到廣義非線性擾動模型(1)～(3)的第k次近似解析解Yk(t):

Yk(t)=y0(t)+y1(t)+y2(t)+…+yk(t)=

λ2exp(-λ1τ)]×

(18)

因此進(jìn)一步可得

Y(t)=y0(t)+y1(t)+y2(t)+…+

yk(t)+…=

λ2exp(-λ1τ)]×

(19)

我們可用泛函分析理論的不動點(diǎn)原理和逐次逼近理論證明[25-26]: 由式(19)表示的解Y(t)關(guān)于t是一致收斂的, 并且它為廣義擾動共振機(jī)制方程初值問題(1)～(3)的精確解。

3　舉　例

(20)

由式(9), 對應(yīng)的廣義擾動共振機(jī)制方程(20)的初始迭代y0為

Y0(t)=y0(t)=

(2sint-cost)exp(-t)]。

(21)

由式(11), 得到y(tǒng)1(t):

(22)

再由式(12), 可得廣義擾動共振機(jī)制方程(20)的一次近似解Y1:

(2sint-cost)exp(-t)]-

(23)

其中y0由式(21)表示。

由式(13), 可得到y(tǒng)2(x):

(24)

再由式(15), 得到廣義擾動方程(20)的二次近似解Y2:

(2sint-cost)exp(-t)]-

(25)

用同樣的方法，可依次地得到廣義擾動共振機(jī)制方程(20)的更高次的近似解Yk(t)(k=3,4,…)。

由于近似解函數(shù)序列{Yn(t)}關(guān)于t是一致收斂的函數(shù)序列。因此當(dāng)n→∞時, 廣義擾動方程(20)漸近解Yn(t) 隨n的增大而越來越接近精確解Y(t)。

4　隨機(jī)共振機(jī)制解的物理解釋

由泛函分析同倫映射方法得到的廣義擾動函數(shù)序列方程的近似解Yn(t), 因此還可對近似解析解通過解析運(yùn)算繼續(xù)對隨機(jī)共振機(jī)制進(jìn)一步研究, 得到相關(guān)的其他物理性態(tài)。

此外, 還可利用漸近解Yn(t)通過解析方法來討論勢場作用力的計算、 噪聲強(qiáng)度的變化對隨機(jī)共振的影響、 逃逸速率參數(shù)的分析、 以及各調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)匹配等物理性態(tài)。

5　結(jié)　語

泛函分析同倫映射的漸近方法, 若選取選定合適的初始函數(shù), 能較快速地得到漸近解析解, 并利用解析運(yùn)算來進(jìn)一步研究對應(yīng)物理模型的其他相關(guān)物理性態(tài)。

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(編輯亢小玉)

The approximate solution of homotopic mapping to a class of generalized disturbed oscillator for resonance mechanism

XU Yong-hong1, SHI Lan-fang2, MO Jia-qi3

(1.Department of Mathematics & Physics, Bengbu College, Bengbu 233030, China; 2.College of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Information Science & Technology, Nanjing 210044, China; 3.Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

A class of nonlinear generalized disturbed equation was considered. Firstly, the corresponding nonlinear problem solves exact solutions. Then asymptotic solutions for nonlinear disturbed oscillator for the resonance mechanism was obtained using the mapping principle of functional analytic, and the uniform validity was proved.

mapping principle of functional analytic; resonance mechanism; asymptotic solution

2015-04-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202106)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY13A010005)；安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(KJ2014A151)

許永紅，女，江蘇興化人，教授,從事物理學(xué)、數(shù)學(xué)物理研究。

O175.14

ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-01-004