張　軍，陳　鵬，陳正武，趙　云，曾新吾

(1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 氣動(dòng)噪聲控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng)　621000；2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙　410073)

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拋物面鏡球面波反射聲場(chǎng)特性的理論研究

張軍1，陳鵬1，陳正武1，趙云2，曾新吾2

(1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 氣動(dòng)噪聲控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng)621000；2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410073)

根據(jù)Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論，獨(dú)立推導(dǎo)了沿拋物面鏡軸線的球面波反射聲場(chǎng)的時(shí)域理論解?；诶碚摻忸A(yù)測(cè)近場(chǎng)反射波中存在三種子波，即“中心波”、“邊緣波”和“尾波”，中心波的相位與邊緣波和尾波相反。遠(yuǎn)場(chǎng)反射波與聲源波形的導(dǎo)數(shù)形式相同，聲壓幅值和傳播距離成反比而與聲波頻率成正比。以典型的正弦波為例給出了反射聲場(chǎng)的演化形成過(guò)程，并通過(guò)COMSOL軟件進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證了三種子波的存在及理論解的正確性。最后研究了球面波反射聲場(chǎng)的特性，如果拋物面鏡的口徑固定，則存在一個(gè)最優(yōu)的深焦比參數(shù)d/zF=3.92使得遠(yuǎn)場(chǎng)的反射波聲功率密度最大。

拋物面鏡；球面聲波；反射聲場(chǎng)

拋物面鏡具有特殊的幾何性質(zhì)，平行射線經(jīng)拋物面反射后將會(huì)聚焦或者從焦點(diǎn)發(fā)出的射線經(jīng)拋物面反射后將成為平行射線。因此，拋物面鏡多被用作信號(hào)的接收器或發(fā)射器，例如在工程上常使用拋物面天線來(lái)接收電磁波信號(hào)以提高信噪比，或者將拋物面鏡作為高能激光的中繼鏡以提高機(jī)載激光器的傳輸距離[1]。在聲學(xué)領(lǐng)域，拋物面鏡本質(zhì)上屬于一種曲面聲障板，常規(guī)換能器使用聲障板可以提高聲波的發(fā)射效率。與相控陣技術(shù)相比，聲障板的方法易于實(shí)現(xiàn)且成本更低。張軍等[2]研究了電弧放電式等離子體聲源(Plasma Sound Source)的聚焦原理，指出橢球面鏡雖可以將球面波由近焦點(diǎn)聚焦到遠(yuǎn)焦區(qū)域，但是在過(guò)遠(yuǎn)焦點(diǎn)之后聲能量的衰減非常迅速。所以橢球面鏡聚焦系統(tǒng)適合用于治療人體結(jié)石等對(duì)傳輸距離要求不高的場(chǎng)合，而要在較遠(yuǎn)的距離上提高聲學(xué)換能器的發(fā)射效率則需要使用拋物面鏡。

王鴻樟[3]使用拋物面鏡作為聲反射障板提高了聚焦換能器的發(fā)射效率，他利用頻域Kirchhoff公式推導(dǎo)了一個(gè)發(fā)射聲壓的表達(dá)式。WAHLSTROM[4]使用一個(gè)傳聲器和拋物面鏡，從遠(yuǎn)處成功接收到了生物類(lèi)聲源的聲信號(hào)。他在平面波入射條件下建立了拋物面鏡的線性聲波反射模型，推導(dǎo)了反射聲場(chǎng)的頻域解析解，并據(jù)此研究了反射聲場(chǎng)的特性。DAI等[5]使用拋物面鏡作為接收器提高了S1型-零群速度(S1ZGV)蘭姆波的信噪比，S1ZGV蘭姆波在薄板中很容易被激發(fā)，因此其常被用于超聲無(wú)損檢測(cè)。后來(lái)TSAI等[6-7]推導(dǎo)了平面波及軸對(duì)稱非平面波入射條件下拋物面鏡反射聲場(chǎng)的時(shí)域理論解，討論了拋物面鏡幾何參數(shù)及入射波頻率參數(shù)變化對(duì)反射聲場(chǎng)的影響。王鴻樟和Wahlstrom得到的都是頻域結(jié)果，而Tsai等人得到的是時(shí)域結(jié)果。與頻域結(jié)果相比，時(shí)域結(jié)果具有以下優(yōu)點(diǎn)：一是可以更清楚的揭示聲場(chǎng)形成過(guò)程；二是受聲波的頻帶范圍限制小。本文根據(jù)Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論，獨(dú)立推導(dǎo)了拋物面鏡球面波反射聲場(chǎng)的時(shí)域理論解，建立了將拋物面鏡作為聲發(fā)射器的時(shí)域理論方法，從而完善了王鴻樟等的理論研究。

本文的內(nèi)容分為四個(gè)部分：第一節(jié)建立了拋物面鏡球面波反射的理論模型，并給出了反射聲場(chǎng)沿拋物面鏡軸線的解析解和遠(yuǎn)場(chǎng)解；第二節(jié)以正弦波為例給出了沿拋物面鏡軸線的反射聲場(chǎng)的形成過(guò)程；第三節(jié)利用多物理場(chǎng)有限元軟件COMSOL進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性；第四節(jié)研究了拋物面鏡反射聲場(chǎng)的特性，討論了開(kāi)角和深焦比等參數(shù)對(duì)反射聲場(chǎng)的影響。

1　理論

從拋物面鏡焦點(diǎn)發(fā)出的球面波在傳播過(guò)程中將分成兩個(gè)部分，一部分仍按球面波形式擴(kuò)散，另一部分入射到壁面后發(fā)生反射。根據(jù)惠更斯原理，反射波可以視為新的次級(jí)波源，次級(jí)波相干疊加便形成了反射聲場(chǎng)。因此空間中的聲場(chǎng)包含直達(dá)波和反射波。本文主要研究球面波的反射聲場(chǎng)。如圖1所示，從焦點(diǎn)發(fā)出的射線經(jīng)拋物面鏡反射后將成為平行于其軸線的射線。

圖1　拋物面鏡球面波反射的幾何示意圖Fig.1　The reflection of a spherical wave from a parabolic mirror

在直角坐標(biāo)系下，旋轉(zhuǎn)拋物面的方程可以表示為，

(1)

式中：(x,y,z)中的下標(biāo)s代表“Surface”，表示位于拋物面鏡上的點(diǎn)。R’代表x坐標(biāo)或y坐標(biāo)，zF表示拋物面鏡頂點(diǎn)到焦點(diǎn)之間的距離，即焦距；d表示拋物面鏡頂點(diǎn)到開(kāi)口的距離，即深度；S為拋物面鏡上的一點(diǎn)，r1s=zs+zF為焦點(diǎn)到S之間的距離；r2s=d-zs為S到拋物面鏡開(kāi)口之間的固定距離；r2為拋物面鏡開(kāi)口到 r2s上任意一點(diǎn)之間的變化的距離。R為點(diǎn)S與拋物面鏡軸線上一點(diǎn)P之間的距離，n表示點(diǎn)S處垂直于拋物面鏡表面的內(nèi)法線方向單位向量。

假設(shè)傳播介質(zhì)無(wú)耗散、各向均勻，Gold’berg數(shù)(即非線性系數(shù)與耗散系數(shù)之比)小于1，則聲波的傳播由線性波動(dòng)方程控制。

(2)

式中，c0表示介質(zhì)中的聲速。

根據(jù)封閉空間中的能流守恒原理，若已知封閉面上的聲場(chǎng)的分布則可得到封閉面內(nèi)任意一點(diǎn)處的聲場(chǎng)[8]。忽略封閉面上二次以上的聲反射，由式(2)可以得到非單色波的Kirchhoff-Helmholtz時(shí)域一般解。

(3)

Kirchhoff-Helmholtz公式是基于衍射理論的一般解，對(duì)具有波動(dòng)特性的波(如光波、聲波)的傳播都適用。為了便于書(shū)寫(xiě)，式(3)省略了物理量的時(shí)間變量和空間變量。其中，p表示目標(biāo)點(diǎn)處的反射聲壓，pg表示通過(guò)射線聲學(xué)得到的封閉面上的聲壓。?/?n表示沿拋物面內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)，S表示由拋物面鏡和從拋物面鏡出口到無(wú)窮遠(yuǎn)處的假想曲面組成的封閉面?！癧·]”是一種記號(hào)，表示其中的物理量經(jīng)歷了R/c0的時(shí)間延遲。根據(jù)Somerfield輻射條件[9]，可以忽略從無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)的聲場(chǎng)的貢獻(xiàn)，式(3)的積分只在拋物面上進(jìn)行。

2.1邊界條件

假設(shè)聲波的波長(zhǎng)與拋物面鏡的曲率半徑相比很小(ka?1，k表示波數(shù)，a表示曲率半徑)，則射線聲學(xué)的理論可用于聲場(chǎng)計(jì)算。球面波聲壓與傳播距離r之間有如下關(guān)系

(4)

(5)

(6)

在鏡面上一點(diǎn)S處，可以得到如下的邊界條件，

(7)

(8)

式中：ρ=0表示拋物面鏡開(kāi)口圓的中心點(diǎn)，ρ=1表示邊緣點(diǎn)?？梢园l(fā)現(xiàn)，固定焦距，隨著拋物面鏡深度d增加反射波的壓力幅值減小。因?yàn)樯疃萪增加將使得從焦點(diǎn)zF處發(fā)出的球面波到達(dá)相同鏡面點(diǎn)所經(jīng)歷的傳播距離延長(zhǎng)，而球面波的聲壓幅值與傳播距離成反比。

2.2沿拋物面鏡軸線球面波反射聲場(chǎng)的理論解

邊界條件式(7)包含了任意形式的源函數(shù)f(t)，f(t)在積分過(guò)程中難以處理。根據(jù)線性系統(tǒng)理論，系統(tǒng)的輸出可以通過(guò)輸入函數(shù)與系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù)相卷積得到?？梢岳脹_擊函數(shù)δ(t)代替f(t)先求解系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù)h(t)，然后通過(guò)h(t)與f(t)相卷積便可以得到反射聲場(chǎng)的解。邊界條件(7)相應(yīng)改寫(xiě)為，

(9)

結(jié)合拋物面鏡方程式(1)，經(jīng)過(guò)繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到了沖擊響應(yīng)函數(shù)。

(10)

式(10)右端各項(xiàng)的表達(dá)式如下

(11)

進(jìn)一步通過(guò)卷積便可以得到沿拋物面鏡軸線任意位置處的反射聲場(chǎng)的解。

(12)

式(12)右端包含三項(xiàng)，分別對(duì)應(yīng)從拋物面鏡頂點(diǎn)、出口邊緣和其余表面發(fā)出的反射波。根據(jù)Blackstocks[10]及Hamilton[7]，本文將其稱為“中心波”、“邊緣波”和“尾波”。從聲波的相位來(lái)看，邊緣波和尾波的相位與中心波是相反的。

2.3遠(yuǎn)場(chǎng)解

隨著觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離拋物面鏡，中心反射波和邊緣反射波的到達(dá)時(shí)間差縮短，于是尾波項(xiàng)的積分時(shí)間趨近于0，尾波趨近于δ脈沖。在遠(yuǎn)場(chǎng)(z/zF?1)，式(12)退化為更加簡(jiǎn)單的形式，

(13)

根據(jù)式(13)，遠(yuǎn)場(chǎng)反射波將退化為聲源波形的導(dǎo)數(shù)形式，例如從拋物面鏡焦點(diǎn)處發(fā)出的正弦波在遠(yuǎn)場(chǎng)將退化為余弦波。當(dāng)拋物面鏡深度遠(yuǎn)小于焦距時(shí)，上式與圓形平面活塞聲源的遠(yuǎn)場(chǎng)解形式上一致[11]。不難發(fā)現(xiàn)，拋物面鏡遠(yuǎn)場(chǎng)反射聲壓主要受幾何參數(shù)(d/zF)及聲源波形參數(shù)(df/dt)控制。定義遠(yuǎn)場(chǎng)反射波的聲壓幅值與p0之比為拋物面鏡的遠(yuǎn)場(chǎng)增益，當(dāng)焦距固定而深度變化時(shí)有如下關(guān)系

(14)

當(dāng)拋物面鏡的口徑固定而深焦比變化時(shí)，

(15)

對(duì)于簡(jiǎn)諧變化的聲波，df(t)/dt～jω，則有

(16)

式中:λ=2πc0/ω為聲波的波長(zhǎng)，ω為聲波的角頻率。可以發(fā)現(xiàn)，遠(yuǎn)場(chǎng)增益G3與聲波的波長(zhǎng)λ成反比，但由于實(shí)際介質(zhì)中存在黏性和熱傳導(dǎo)耗散，高頻聲波更容易被吸收。

2　反射聲場(chǎng)的形成過(guò)程

下面以正弦波為例研究反射聲場(chǎng)的形成過(guò)程。取拋物面鏡的焦距zF=0.05 m，深度d=0.2 m；拋物面鏡的口徑ra=0.2 m。將球面波聲源置于拋物面鏡的焦點(diǎn)處。距離焦點(diǎn)r=zF處的球面波壓力幅值為P0，單個(gè)周期正弦波脈沖的持續(xù)時(shí)間T0=0.1 ms；傳播介質(zhì)為空氣，密度ρ0=1.25 kg/m3，聲速c0=340 m/s。計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)為輸入的正弦波，圖2(b)～2(f)為沿拋物面鏡軸線的反射波計(jì)算結(jié)果。根據(jù)反射波形特點(diǎn)，可以將反射聲場(chǎng)分為近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)兩個(gè)區(qū)域：當(dāng)反射波形與初始波形的導(dǎo)數(shù)形式相同時(shí)表明觀察點(diǎn)到達(dá)遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)。當(dāng)拋物面鏡的深焦比d/zF較小時(shí)，近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)的臨界距離為平面活塞聲源的瑞利距離(lR=πa2/λ)[11]。

圖2　拋物面鏡軸線上球面波反射聲場(chǎng)的形成過(guò)程Fig.2　The evolution ofan on-axis sinusoidal waveform

在近場(chǎng)區(qū)，反射波形包含中心波“C”、邊緣波“E”和尾波“W”等復(fù)雜的波形結(jié)構(gòu)(見(jiàn)圖2(b)～2(c))。在到達(dá)觀察點(diǎn)的時(shí)間順序上，邊緣波滯后于中心波，“尾波”夾在中心波和邊緣波之間。根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)深焦比d/zF較大時(shí)，邊緣波的傳播距離大于中心波的傳播距離，因此其達(dá)到時(shí)間也越晚。隨著距離增加，中心波和邊緣波到達(dá)觀察點(diǎn)的時(shí)間差將縮短。在幅值關(guān)系上，中心波比邊緣波大，兩者之間的關(guān)系受拋物面鏡的深焦比參數(shù)控制。深焦比越大，邊緣波的幅值越小。

在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，中心波、邊緣波和尾波將疊加在一起，反射波演化成聲源波形的導(dǎo)數(shù)形式。根據(jù)式(13)，遠(yuǎn)場(chǎng)反射波的聲壓幅值與傳播距離成反比。反射波的聲壓幅值隨距離增加下降較快。這在反射聲束上體現(xiàn)了一種“近場(chǎng)集中，遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散”的特性。顯然，這是由聲波的衍射效應(yīng)引起的，頻率越低聲衍射效應(yīng)越明顯。這種性質(zhì)在具有波動(dòng)性的光波和電磁波中也存在，例如手電筒發(fā)出的準(zhǔn)直光束到了較遠(yuǎn)距離處就逐漸發(fā)散了。盡管如此，在100倍焦距處，本算例的反射波聚焦增益超過(guò)了20 dB。

3　數(shù)值模擬驗(yàn)證

王鴻樟等人的研究結(jié)果無(wú)法與本文的研究結(jié)果直接進(jìn)行對(duì)比，本節(jié)使用多物理場(chǎng)有限元軟件COMSOL對(duì)拋物面鏡的聲波反射過(guò)程進(jìn)行了模擬，希望通過(guò)模擬結(jié)果對(duì)推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

COMSOL軟件包含了聲學(xué)、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等多個(gè)求解模塊，該軟件的優(yōu)點(diǎn)是可以有效求解多個(gè)物理場(chǎng)的耦合問(wèn)題。COMSOL的求解包括物理場(chǎng)選擇、幾何建模、網(wǎng)格劃分、求解器配置和結(jié)果后處理等幾個(gè)步驟。COMSOL軟件已由最初的3.X版本發(fā)展到了目前的5.X版本，本文使用的是5.0版本。首先選擇瞬態(tài)壓力聲學(xué)模型，并建立起簡(jiǎn)化的二維軸對(duì)稱幾何模型，如圖3所示。

圖3　COMSOL軟件中建立的幾何模型和聲源輸入Fig.3　The geometric model of a parabolic mirror in COMSOL

幾何模型由參數(shù)化曲線(y2=4zFx)和貝氏曲線轉(zhuǎn)化成的實(shí)體區(qū)域組成。區(qū)域內(nèi)的材料為空氣，材料參數(shù)使用軟件內(nèi)置參數(shù)，區(qū)域的邊界采用剛性邊界條件，區(qū)域的總體尺寸如圖3所示。網(wǎng)格劃分采用自由三角形網(wǎng)格，最大網(wǎng)格尺寸hmax為聲波波長(zhǎng)的1/6。最大網(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)之間滿足CFL穩(wěn)定性條件，即tstep=CFL*hmax/Cair，CFL=0.05。聲源設(shè)置在拋物面鏡的焦點(diǎn)上，聲源波形為單個(gè)周期的正弦波f=Asin(f0*t)*(t

圖4給出了單個(gè)周期的正弦波在四個(gè)不同時(shí)刻的二維傳播云圖。

圖4　不同傳播時(shí)刻正弦波的二維云圖Fig.4　Snapshots of a sinusoidal wave at different times

圖4(a)，在t1=0.15 ms時(shí)刻從焦點(diǎn)發(fā)出的球面波的波陣面正好達(dá)到拋物面鏡的頂點(diǎn)。圖4(b)，t2=0.45 ms時(shí)刻聲場(chǎng)分成了三個(gè)部分：以球面波形式向前傳播的直達(dá)波“D”，反射中心波“C”，以及鏡面附近的反射尾波“W”。中心波的聲壓幅值高于直達(dá)波和尾波?？梢园l(fā)現(xiàn)，球面波經(jīng)拋物面鏡反射后變成了準(zhǔn)直平面波。圖4(c)，在t3=0.9 ms時(shí)刻反射中心波之后出現(xiàn)了邊緣波E。邊緣波起源于拋物面鏡的開(kāi)口邊緣，在直達(dá)波到達(dá)鏡面邊緣的時(shí)刻產(chǎn)生，并以邊緣點(diǎn)為中心按球面波的形式擴(kuò)散。在向拋物面鏡軸線方向的傳播匯聚過(guò)程中，邊緣波的相位和中心波相反。尾波的幅值較小，云圖中難以看出尾波的存在。圖4(d)，在t4=1.05 ms時(shí)刻可以清楚的看出中心波和邊緣波的傳播情況。根據(jù)模擬結(jié)果，理論預(yù)測(cè)的近場(chǎng)三種子波確實(shí)是存在的。

假設(shè)單個(gè)周期正弦波的持續(xù)時(shí)間T=0.1 ms，即聲波的中心頻率f0=10 kHz。按照文獻(xiàn)[6]中的計(jì)算方法得到ka=19，表明聲波在鏡面附近的反射可以使用射線理論求解。沿拋物面鏡軸線z/zF=5，10，50，100將理論解和軟件的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。

圖5　COMSOL軟件模擬結(jié)果與理論解的對(duì)比Fig.5　Results of the present solution and COMSOL simulation

圖5中藍(lán)色實(shí)線代表理論解，紅色虛線代表使用COMSOL軟件得到的模擬結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，理論解的中心波和COMSOL的模擬結(jié)果之間符合得很好，而理論解的邊緣波幅值比模擬結(jié)果略小。兩者之間的差異可能是由網(wǎng)格剖分在拋物面鏡邊緣處不細(xì)致引起的。對(duì)有限元軟件而言，網(wǎng)格剖分的好壞將直接影響計(jì)算結(jié)果。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)反射波，理論解和COMSOL模擬結(jié)果之間符合得非常好。從而通過(guò)數(shù)值模擬方法使第二節(jié)的理論解的正確性得到了驗(yàn)證。

4　拋物面鏡球面波反射聲場(chǎng)的特性

反射鏡的形狀主要由深焦比d/zF或開(kāi)角θ等參數(shù)控制。θ是由焦點(diǎn)與拋物面鏡出口邊緣的連線與軸線之間組成的夾角，

(16)

當(dāng)θ=90°時(shí)，拋物面鏡的焦點(diǎn)正好位于出口面上。如果焦距固定而深焦比增加，則拋物面鏡的口徑和開(kāi)角也增加；如果口徑固定，則隨深度變小開(kāi)角也變小。

分別將拋物面鏡的焦距和口徑固定，遠(yuǎn)場(chǎng)增益隨深焦比的變化如圖6所示。固定拋物面鏡焦距，遠(yuǎn)場(chǎng)增益將隨深度的增加而緩慢增加，這是因?yàn)樯疃仍黾訉⑹沟酶嗟穆暰€受到拋物面鏡的反射。固定拋物面鏡口徑，則存在一個(gè)最優(yōu)的深焦比參數(shù)d/zF=3.92使得遠(yuǎn)場(chǎng)增益達(dá)到最大值。Wahlstrom在平面波入射條件下也得到了一個(gè)相同的深焦比參數(shù)，使得拋物面鏡焦點(diǎn)處的反射聲壓達(dá)到最大值[3]。不難理解，這正是線性條件下聲波的傳播滿足互易原理的體現(xiàn)。

圖6　遠(yuǎn)場(chǎng)增益與深焦比的關(guān)系Fig.6　The relationship between depth-to-focal-length ratio and far field gain

取焦距zF=0.05 m，單個(gè)周期正弦波的持續(xù)時(shí)間分別為T(mén)1=0.1 ms和T2=0.02 ms，拋物面鏡的開(kāi)角θ分別為60°，90°，120°和150°。根據(jù)式(12)和(17)，得到反射波的聲功率密度的變化，如圖7所示。

圖7　不同開(kāi)角，拋物面鏡軸線上聲功率密度的變化Fig.7　The relationship between on-axis sound power density and axial propagation distance with different rim angles

由圖7可見(jiàn)，反射波的聲功率密度隨傳播距離呈現(xiàn)先增加而后減小的趨勢(shì)，這是因?yàn)榉瓷洳ㄐ蔚难莼沟脪佄锩骁R的軸線上存在這樣一個(gè)特殊的觀察點(diǎn)：在該點(diǎn)之前，中心波和邊緣波是分離的(見(jiàn)圖2(b)、2(c))；在該點(diǎn)處，中心波的負(fù)壓部分和邊緣波的負(fù)壓部分恰好完全重疊而使得聲信號(hào)的負(fù)壓幅值達(dá)到極大；在該點(diǎn)之后，中心波的正壓部分與邊緣波的負(fù)壓部分或中心波的負(fù)壓部分與邊緣波的正壓部分重合使得有效聲壓的幅值減小。滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件后，反射波演化為聲源波形的導(dǎo)數(shù)形式，聲壓幅值與傳播距離成反比。

從圖7中可以看出，隨著拋物面鏡開(kāi)角增大，遠(yuǎn)場(chǎng)反射波的聲功率密度也越大。因?yàn)殚_(kāi)角增加，拋物面鏡的深焦比d/zF也增加，這就相當(dāng)于使拋物面鏡的焦點(diǎn)向底部移動(dòng)，使得更多的聲線受到鏡面的反射并使得遠(yuǎn)場(chǎng)的反射波聲功率密度增加。拋物面鏡開(kāi)角增大，近場(chǎng)反射波的聲功率密度反而減小。其原因在于：當(dāng)開(kāi)角較小(θ<90°)時(shí)，拋物面鏡較“淺”，焦點(diǎn)位于開(kāi)口面之外。此時(shí)從焦點(diǎn)發(fā)出的球面波到達(dá)拋物面鏡頂點(diǎn)和邊緣點(diǎn)的聲程差很小，反射中心波與邊緣波的幅值接近，并且兩者在達(dá)到觀察點(diǎn)的時(shí)間上較為一致，于是中心波的負(fù)壓部分與邊緣波的負(fù)壓部分相互疊加形成了與聲源波形導(dǎo)數(shù)形式相同的波形。如前文所述，這種反射波形對(duì)應(yīng)的聲功率是最大的。如果開(kāi)角增大，焦點(diǎn)向拋物面鏡的底部移動(dòng)，從焦點(diǎn)發(fā)出的球面波到達(dá)邊緣點(diǎn)的聲程將比到達(dá)頂點(diǎn)的聲程大，從而使得邊緣波的幅值比中心波的小，并且在到達(dá)觀察點(diǎn)的時(shí)間上邊緣波滯后于中心波，于是反射波對(duì)應(yīng)的聲功率也逐漸減小。當(dāng)觀察點(diǎn)位于遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，反射波的傳播距離很遠(yuǎn)，由拋物面鏡開(kāi)角變化引起的聲程差可以忽略不計(jì)，反射波的波形及聲功率的大小遵循式(13)的規(guī)律。

在固定的觀察點(diǎn)處，本文進(jìn)一步研究了反射波聲功率隨拋物面鏡深焦比的變化，如圖8所示。

圖8　拋物面鏡反射聲場(chǎng)的最優(yōu)深焦比參數(shù)Fig.8　Optimum depth-to-focal-length ratios for the reflection sound of a parabolic mirror

分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在拋物面鏡軸線上存在一個(gè)最優(yōu)的深焦比參數(shù)值使得該處反射波的聲功率最大(圖8(a))。深焦比參數(shù)超過(guò)該值，反射波的聲功率將出現(xiàn)一定程度的下降。例如，當(dāng)聲波頻率f0=100 kHz，拋物面鏡焦距zF=0.05 m時(shí)，在z/zF=100處最優(yōu)深焦比參數(shù)d/zF=1.4；在z/zF=200處時(shí)，最優(yōu)深焦比參數(shù)d/zF=2.6。上述最優(yōu)深焦比參數(shù)對(duì)于拋物面鏡的設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義，它可以避免在設(shè)定傳播距離上將拋物面鏡設(shè)計(jì)得過(guò)大。隨之我們計(jì)算了不同觀察點(diǎn)處的最優(yōu)深焦比參數(shù)(圖8(b))，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)深焦比參數(shù)與傳播距離之間呈線性關(guān)系。并且隨著聲信號(hào)頻率的升高，最優(yōu)深焦比參數(shù)曲線的斜率減小。這說(shuō)明對(duì)于高頻聲波不需要將拋物面鏡設(shè)計(jì)得過(guò)大；而對(duì)于低頻聲波，想要提高換能器的發(fā)射效率則需要將拋物面鏡設(shè)計(jì)得很大。

5　結(jié)　論

工程上使用拋物面鏡可提高換能器的發(fā)射效率。假設(shè)聲波波長(zhǎng)與拋物面鏡的曲率半徑相比很小，傳播介質(zhì)無(wú)耗散、各向均勻，首先根據(jù)Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論獨(dú)立推導(dǎo)了沿拋物面鏡軸線球面波反射聲場(chǎng)的時(shí)域理論解，預(yù)測(cè)近場(chǎng)反射波包含 “中心波”、“邊緣波”和“尾波”，中心波的相位與邊緣波和尾波相反。遠(yuǎn)場(chǎng)反射波的波形與聲源波形的導(dǎo)數(shù)形式相同，聲壓幅值與傳播距離成反比而與聲波的頻率成正比。理論解的正確性得到了COMSOL軟件數(shù)值模擬的驗(yàn)證。其次，以單個(gè)周期的正弦波為例分析了反射聲場(chǎng)的形成過(guò)程。最后，基于推導(dǎo)的理論結(jié)果研究了球面波反射聲場(chǎng)的特性，討論了拋物面鏡開(kāi)角和深焦比參數(shù)對(duì)反射聲場(chǎng)的影響。開(kāi)角越大，遠(yuǎn)場(chǎng)反射波的聲功率越大而近場(chǎng)反射波的聲功率越小。固定拋物面鏡的口徑，則存在一個(gè)最優(yōu)的深焦比參數(shù)d/zF=3.92使得遠(yuǎn)場(chǎng)反射波聲功率最大。固定拋物面鏡的焦距，在特定傳播距離上也存在一個(gè)最優(yōu)的深焦比參數(shù)值。該值與傳播距離之間成線性關(guān)系，并且隨聲波頻率的變化而改變。

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Reflection sound field’s characteristics for spherical sound wave from a parabolic mirror

ZHANG Jun1,CHEN Peng1,CHEN Zhengwu1,ZHAO Yun2,ZENG Xinwu2

(1.Key Laboratory of Aerodynamic Noise Control,China Aerodynamics Research and Development Center,Mianyang 621000,China；2.College of Opto-electronic Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Based on Kirchhoff-Helmholtz sound diffraction theory,a transient axial solution to reflection sound field of spherical acoustic wave from a parabolic mirror was derived.It was assumed that the spherical ware’s wavelength be small compared to the dimensions of the mirror and the geometric acoustic theory could be applied.The theoretical solution indicated that the near field reflection wave consists of three parts,i.e.,center wave,edge wave and wake wave; the phase of the center wave is opposite to those of the edge wave and wake one; the wave form of the far field reflection wave is consistent with that of the derivative of the sound source wave,and its sound pressure amplitude is inversely proportion to propagation distance and direct proportion to frequency.Taking a sinusoidal wave as an example,evolution and formation processes of its reflection sound field were presented.The existence of three wavelets and the correctness of the theoretical solution were verified with simulations using the software COMSOL.Lastly,the characteristics of the reflection sound field were studied,and the effects of geometric parameters of the mirror on the characteristics were discussed.It was shown that if the aperture of the mirror is fixed,an optimal depth-to-focal-length ratio d/zF=3.92 exists to maximize the sound power density of the far field reflection wave.

parabolic mirror; spherical sound wave; reflection sound field

國(guó)家自然科學(xué)基金(11504417；11172007)

2015-02-11修改稿收到日期：2015-08-06

張軍 男，博士，助理研究員，1983年11月生

曾新吾 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年4月生

TB54

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.022