吳梅，程繼紅，余名哲，張友安

（1.煙臺毓璜頂醫(yī)院消防監(jiān)控室，山東煙臺264001；2.海軍航空工程學(xué)院a.科研部；b.控制工程系，山東煙臺264001；3.91526部隊(duì)，廣東湛江524064）

控制方向未知分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Nussbaum增益同步

吳梅1，程繼紅2a，余名哲3，張友安2b

（1.煙臺毓璜頂醫(yī)院消防監(jiān)控室，山東煙臺264001；2.海軍航空工程學(xué)院a.科研部；b.控制工程系，山東煙臺264001；3.91526部隊(duì)，廣東湛江524064）

文章將Nussbaum增益控制引入分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，解決了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在存在控制方向未知情況下的同步控制問題。首先，選取了一類穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階積分滑模面。然后，結(jié)合整數(shù)階Nussbaum增益控制方法與滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，設(shè)計(jì)了一種Nussbaum增益同步控制器。最后，作為例子，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)在控制系數(shù)未知時的混沌同步控制，數(shù)值仿真驗(yàn)證了文中方法的正確性和有效性。

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)；同步；Nussbaum增益控制；控制方向未知

控制方向未知也屬于一種不確定性。所謂控制方向，也就是控制增益的符號，在通常的控制設(shè)計(jì)中，一般是需要預(yù)先獲知的。但當(dāng)控制方向不確定時，混沌系統(tǒng)的控制問題將變得非常困難，特別是當(dāng)控制系數(shù)時變或緩變時，如果涉及到增益符號的改變，原本穩(wěn)定的系統(tǒng)可能會因?yàn)榭刂品较虻母淖兌シ€(wěn)定。一般涉及到控制方向未知的情況大多會運(yùn)用到Nussbaum增益控制方法。自從Nussbaum提出Nussbaum增益控制概念以來，該方法在控制設(shè)計(jì)中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。針對不同的系統(tǒng)和控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)者會將Nussbaum增益控制與其他不同的控制技術(shù)相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器，從而達(dá)到控制目的。

在混沌同步中引入Nussbaum增益控制，已有文獻(xiàn)進(jìn)行了相應(yīng)研究［1-2］，但研究對象仍然局限于整數(shù)階混沌系統(tǒng)。由于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)控制有其特殊性，與整數(shù)階系統(tǒng)相比有較大不同，因而在考慮控制方向不確定時，引入Nussbaum增益控制，進(jìn)而解決分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題仍是一個全新的課題。增益限制也是控制設(shè)計(jì)要考慮的因素［3］。文獻(xiàn)［4］將Nussbaum增益控制方法引入到整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制。文獻(xiàn)［5］提出一種基于Nussbaum增益的自適應(yīng)Backstepping控制策略，實(shí)現(xiàn)了控制方向未知的嚴(yán)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。王強(qiáng)德等人［6］應(yīng)用Nussbaum增益技術(shù)和遞推方法，結(jié)合自適應(yīng)控制，實(shí)現(xiàn)了一類控制方向未知和時變不確定性的本質(zhì)非線性系統(tǒng)的跟蹤控制。劉露等人［7］結(jié)合魯棒鎮(zhèn)定技術(shù)和Nussbaum增益控制技術(shù)控制方向未知的非線性系統(tǒng)的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問題。A.Boulkrounet等人［8］針對不確定多變量系統(tǒng)存在未知執(zhí)行器非線性項(xiàng)和未知控制方向問題，采用Nussbaum增益控制技術(shù)，設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)控制器。葛樹志等人［9］研究了一類控制方向未知的嚴(yán)反饋非線性離散時間系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題，運(yùn)用離散Nussbaum增益克服了控制方向變化引起的控制困難。但以上應(yīng)用Nussbaum增益控制的相關(guān)文獻(xiàn)均沒有考慮分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題。另一方面，雖然考慮分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題的相關(guān)文獻(xiàn)比較多［10-14］，但這些文獻(xiàn)都沒有應(yīng)用Nussbaum增益控制方法解決控制方向未知情況下分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的的同步控制問題。

本文進(jìn)一步將Nussbaum增益控制方法引入分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制，解決了控制方向未知情況下分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題。為不使問題過于復(fù)雜，本文重點(diǎn)考慮控制方向未知問題，暫不考慮增益受限問題和其他不確定因素的影響。

1　基礎(chǔ)知識

定義1：［15］如果函數(shù)N（χ）滿足

那么函數(shù)N（χ）稱為Nussbaum-type函數(shù)。

引理1：［15］若是光滑的Nussbaum-type函數(shù)，q≥1是奇數(shù)，則Nq（χ）也是光滑的Nussbaum-type函數(shù)。

引理2：［15］設(shè)V（t）和χ（t）是定義在區(qū)間上的光滑函數(shù)，對于，V（t）≥0，N（χ）是適當(dāng)且光滑的Nussbaum-type函數(shù)，如果下列不等式成立：

式（2）中：c0是適當(dāng)?shù)某?shù)；c1＞0；g（t）是取值于未知閉區(qū)間的時變參數(shù)，則V（t）、χ（t）和必定在區(qū)間上有界。

2　問題描述和模型建立

考慮如下分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

式（3）為最一般的系統(tǒng)表達(dá)式，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)均可用此式表示。將系統(tǒng)式（3）作為驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)建帶控制輸入的響應(yīng)系統(tǒng)如下：

式（4）中：u為控制量；b為未知的控制系數(shù)（方向、大小均未知）。

本文的目的是在控制方向未知情況下，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步，換句話說就是當(dāng)控制方向發(fā)生變化時，同步仍能實(shí)現(xiàn)，即，使得當(dāng)t→∞時，有

定義驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的誤差為e=y-x，則分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)可表示為

其第i（i=1，2，…，n）維分量可表示為

假設(shè)1：控制系數(shù)bi未知且有界，并在未知閉區(qū)間內(nèi)取值，且0?Ii。

3　Nussbaum增益控制器設(shè)計(jì)

選取如下的滑模面：

式中，ci為正常數(shù)。

對式（7）兩邊沿時間求導(dǎo)得

不難證明此滑模面是穩(wěn)定的。

對誤差系統(tǒng)（6），可設(shè)計(jì)如下虛擬控制量

式中，k0為正常數(shù)。

對于式（10），根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，si是漸近穩(wěn)定的。

接下來，設(shè)計(jì)Nussbaum增益控制律為

將式（10）改寫為如下形式

設(shè)計(jì)Nussbaum增益更新律為

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

對式（14）兩邊關(guān)于時間求導(dǎo)得：

對式（15）兩邊積分得：

下面分析ki（t）的有界性。先假設(shè)ki（t）無界，且ki（t）→+∞。對式（16）兩邊除以ki（t），可得：

由Nussbaum函數(shù)的定義1及其性質(zhì)式（1），可以推得：

此時，存在ki（t），使得當(dāng)ki（t）→+∞時有：

而當(dāng)ki（t）→+∞時，由式（17）的左邊，又有：

由式（17）～（19），結(jié)果顯然是矛盾的，即ki（t）→+∞的假設(shè)不成立。同理可以證明ki（t）→-∞的假設(shè)也不成立。因此，ki（t）是有界的。由式（7）、（14）和式（16）及混沌系統(tǒng)的特性容易得到V（t）有界，si有界，有界，再由Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造形式及其正定性，易得si→0。

4　數(shù)值仿真與分析

下面驗(yàn)證本文Nussbaum增益控制方法的有效性。

以分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)：

當(dāng)ax=35，bx=3，cx=28時，整數(shù)階（αi=1）Chen系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)，仿真表明，當(dāng)αi=0.95時，分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)仍能表現(xiàn)出混沌行為［16］，當(dāng)αi=0.9時，系統(tǒng)仍是混沌的。

構(gòu)建帶控制輸入的分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)：

當(dāng)ay=0.2，by=0.2，cy=5時，整數(shù)階Rssler系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)；當(dāng)ay=0.4，by=0.2，cy=10，αi=0.9時，分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)仍可得混沌吸引子［17］。

未知控制系數(shù)bi設(shè)置如下：

選取Nussbaum增益的初始值為ki（0）=（1，1，1）；驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為（x1（0），x2（0），x3（0））=（1，2，-1）和（y1（0），y2（0），y3（0））=（2，-1，1）；系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階次αi=0.9。

根據(jù)前面所設(shè)計(jì)的控制律式（11），得到的仿真結(jié)果如圖1所示。從仿真曲線可以看出，在控制方向切換時超調(diào)較大，這是Nussbaum增益控制進(jìn)行方向搜索造成的?？紤]Nussbaum增益控制的特性，其受初始狀態(tài)影響較大，當(dāng)初始誤差較小時，穩(wěn)定性會較好，但是，當(dāng)誤差較大時，增益自適應(yīng)調(diào)節(jié)律容易進(jìn)入高增益區(qū)，使仿真結(jié)果發(fā)散。

圖1　仿真曲線Fig.1 Simulation curves

5　結(jié)論

本文將Nussbaum增益控制引入分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，解決了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在存在控制方向未知情況下的同步控制問題。首先，選取了一類穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階積分滑模曲面；然后，結(jié)合周愛軍等人設(shè)計(jì)的整數(shù)階Nussbaum增益控制方法，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)在控制系數(shù)未知情況下的混沌同步，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性。在同時考慮控制方向未知、增益受限和其他不確定因素影響的情況下，如何設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制是我們今后要進(jìn)一步研究的課題。

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Nussbaum Gain Synchronization for Fractional-Order Chaotic Systems with Unknown Control Direction

WU Mei1，CHENG Jihong2a，YU Mingzhe3，ZHANG Youan2b
（1.Fire Monitoring Room，Yuhuangding Hospital，Yantai shandong 264001，China；2.Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Scientific Research；b.Department of Control Engineering，Yantai shandong 264001，China；3.The 91526thUnit of PLA，Zhanjiang Guangdong 524064，China）

The Nussbaum gain control method was introduced to solve the synchronization control problem for fractionalorder chaotic systems with unknown control direction.Firstly，a fractional-order sliding motion was selected.Then，a Nussbaum gain controller was designed by combining the Nussbaum gain control method for integer-order systems and sliding mode variable structure control theory.Finally，an example was given，which realized the synchronization control between fractional-order Chen systems and fractional-order R?ssler systems with unknown control direction.Simulation results demonstrated the correctness and effectiveness of the presented method.

fractional-order chaotic systems；synchronization；Nussbaum gain control；unknown control direction

TN850.3

A

1673-1522（2016）03-0348-05DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.009

2016-03-18；

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61273058）

吳梅（1962-），女，高工，大學(xué)。