張雷，胡云安，李靜

（海軍航空工程學(xué)院a.控制工程系；b.七系，山東煙臺(tái)264001）

MIMO 仿射型非線(xiàn)性系統(tǒng)的滑模切換極值搜索控制

張雷a，胡云安a，李靜b

（海軍航空工程學(xué)院a.控制工程系；b.七系，山東煙臺(tái)264001）

針對(duì)MIMO仿射型非線(xiàn)性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階積分的滑模切換極值搜索控制方法，將系統(tǒng)分解為若干個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)采用輸出跟蹤誤差以及該誤差函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分值構(gòu)造切換函數(shù)，構(gòu)造滑模切換極值搜索控制律，證明了方法的穩(wěn)定性。對(duì)比已有的方法進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了方法具有較好性能。

仿射型非線(xiàn)性系統(tǒng)；極值搜索；切換函數(shù)；分?jǐn)?shù)階

極值搜索方法自1954年由Tsien提出，就被確認(rèn)為是自適應(yīng)控制方法的一種［1］。其中，滑模極值搜索方法可以在不知曉參考函數(shù)梯度的情況下，運(yùn)用滑?？刂?，使得控制對(duì)象輸出跟蹤單調(diào)遞減從而使參考函數(shù)取得最優(yōu)值［2］。2000年，Haskara等通過(guò)在系統(tǒng)反饋中引入一個(gè)自由參數(shù)，利用雙時(shí)間軸滑?？刂仆瓿闪讼到y(tǒng)性能的最優(yōu)化［3］。2002年，Yu Hai等在以往滑模極值搜索方法研究的基礎(chǔ)上，提出了采用鋸齒波周期信號(hào)設(shè)計(jì)的方法，此法也能較好地實(shí)現(xiàn)極值搜索的過(guò)程［4］?；O值搜索方法陸續(xù)地運(yùn)用到線(xiàn)性二次型動(dòng)態(tài)對(duì)策問(wèn)題的求解和汽車(chē)剎車(chē)系統(tǒng)等實(shí)際系統(tǒng)［5-7］。近年來(lái)，隨著自適應(yīng)控制理論的巨大發(fā)展，滑模極值搜索方法再次成為控制界研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［8］針對(duì)非線(xiàn)性極值搜索系統(tǒng)提出了分?jǐn)?shù)階極值搜索控制方法，并應(yīng)用于光伏系統(tǒng)的實(shí)際控制中；文獻(xiàn)［9］針對(duì)SISO仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)提出了滑模切換極值搜索方法，結(jié)合迭代法則設(shè)計(jì)了切換函數(shù)和控制律；文獻(xiàn)［10］針對(duì)非仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)提出了基于分?jǐn)?shù)階PI滑模面的滑模極值搜索控制方法；文獻(xiàn)［11］提出了SISO非仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階滑模極值搜索方法；文獻(xiàn)［12］針對(duì)MIMO仿射非線(xiàn)性極值搜索系統(tǒng)提出了輸出反饋滑?？刂品椒ā６喾N不同類(lèi)型極值搜索控制方法［13-18］一定程度上解決了一些非線(xiàn)性極值搜索系統(tǒng)的控制問(wèn)題，為以后的針對(duì)性研究提供了理論參考。

本文在文獻(xiàn)［12］方法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階積分的滑模切換極值搜索控制方法。該方法利用常值函數(shù)作為輸出量的參考跟蹤信號(hào)，采用輸出跟蹤誤差以及該誤差函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分值構(gòu)造切換函數(shù)，設(shè)計(jì)得到滑模切換極值搜索控制律。本文方法不僅可以實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的極值控制，而且準(zhǔn)確性較好。

1　問(wèn)題闡述

考慮如下MIMO仿射型非線(xiàn)性系統(tǒng)

假設(shè)2：在系統(tǒng)（1）中，光滑函數(shù)gi，t）存在非零下界，即，其中，Gi為下界值，1≤i≤m。

控制目標(biāo)：針對(duì)系統(tǒng)（1），設(shè)計(jì)滑模切換極值搜索控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且系統(tǒng)輸出y收斂至對(duì)應(yīng)的極大值y?的有界鄰域內(nèi)。

經(jīng)分解得到系統(tǒng)（2）屬于原始系統(tǒng)（1）的子系統(tǒng)，具有輸出極大值。其滿(mǎn)足假設(shè)2的條件，由假設(shè)2可知系統(tǒng)（2）中的存在非零下界，即，1≤i≤m。

同樣也滿(mǎn)足對(duì)于給定的常數(shù)Δi＞0（Δi＜Δ），總存在另一個(gè)常數(shù)，使得成立。其中，為關(guān)于極值點(diǎn)的Δi鄰域，且。

假設(shè)4：存在已知的K∞函數(shù)和滿(mǎn)足局部Lipschitz條件的ηi和一個(gè)在上連續(xù)，在t上分段連續(xù)，且上界已知的非負(fù)函數(shù)ψi（，t），使得成立。

根據(jù)系統(tǒng)（1）的既定控制目標(biāo)，轉(zhuǎn)換得到新系統(tǒng)控制目標(biāo)：設(shè)計(jì)滑模切換極值搜索控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)（2）漸近穩(wěn)定，且該系統(tǒng)的狀態(tài)量和輸出量均一致范數(shù)有界，輸出量收斂至極大值的有界鄰域內(nèi)。

引入分?jǐn)?shù)階積分［10］的定義為

式（3）中：α＞0；f（t）是任意的積分函數(shù)；Γ（·）是Gamma函數(shù)。

分?jǐn)?shù)階Caputo微分［10］的定義為

式中，d-1＜β＜d。

引理1［10］：分?jǐn)?shù)階為β∈C且Re（β）＞0的分?jǐn)?shù)階積分是關(guān)于Lp（a，b）有界的，其中，1＜p≤+∞，

對(duì)于滑模切換極值搜索控制方法而言，采用分?jǐn)?shù)階積分可以獲得更好的控制效果，使得系統(tǒng)輸出y更準(zhǔn)確的收斂至對(duì)應(yīng)的極大值y?的有界鄰域內(nèi)。

2　滑模切換極值搜索控制方法設(shè)計(jì)

式中，yr＞0為非負(fù)常數(shù)的跟蹤參考信號(hào)。

針對(duì)系統(tǒng)（2），設(shè)計(jì)控制律ui為

式（6）中：λ0＞0為設(shè)計(jì)常數(shù)；ρi（1≤i≤m）為調(diào)制函數(shù)，為了弱化符號(hào)函數(shù)而引起的切換過(guò)程的影響，采用雙曲正切函數(shù)tanh（·）代替符號(hào)函數(shù)。

設(shè)計(jì)切換函數(shù)σ（t）為

式（7）中：-1＜q＜0；λ1＞0和λ2＞0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

對(duì)σ（t）求取一階微分，并代入式（7），可得：

設(shè)計(jì)一種調(diào)制函數(shù)保證系統(tǒng)（2）中的信號(hào)向量不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)散，同時(shí)保證滑動(dòng)模式σ（t）=kλ0的存在。調(diào)節(jié)向量ρi設(shè)計(jì)滿(mǎn)足：

式（10）中：ω＞0為衰減指數(shù)；δ＞0為任意小常數(shù)。

3　控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

針對(duì)系統(tǒng)（2），當(dāng)采取如式（6）、（7）和式（10）所示的分?jǐn)?shù)階滑模切換極值搜索控制律ui時(shí)，構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Frame of closed-loop control system

定理1：針對(duì)系統(tǒng)（2），采用分?jǐn)?shù)階滑模切換極值搜索控制律ui如式（6）、（7）和式（10）所示，則在有限時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)量、輸出量和切換函數(shù)信號(hào)σ都不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

證明：首先，構(gòu)造非負(fù)積分型函數(shù)S1（σ）和S2（σ）。不失一般性地，設(shè)計(jì)S1（σ）為

設(shè)計(jì)S2（σ）為

其中，ε是S1（σ）中的最大值。

對(duì)S1（σ）和S2（σ）分別求一階微分，代入式（9）、（10），通過(guò)可得當(dāng)sgn（kpi）＜0時(shí)，

以此類(lèi)推，可得sgn（kpi）＞0時(shí)，

下面，證明系統(tǒng)（2）中的信號(hào)都不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

采用反證法進(jìn)行證明，首先假設(shè)在時(shí)刻t1∈［）0，∞時(shí)，函數(shù)σ會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，則根據(jù)σ的定義式（7）可知，誤差e（t）和輸出量（t）都會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。因此，假設(shè)存在時(shí)刻，使得在區(qū)間內(nèi)，成立，其中δ1為任意小的正數(shù)。或者時(shí)成立。

由于假設(shè)當(dāng)t≥t1時(shí)，切換函數(shù)σ已發(fā)生了發(fā)散現(xiàn)象，考慮到切換函數(shù)σ的連續(xù)性，存在時(shí)刻t3∈［t2，t1）和整數(shù)kσ，使得Σ（t3）=kσλ0。當(dāng)kσ為偶數(shù)時(shí)，S1（σ（t3））=0。用S1（t）代替S1（σ（t）），用S2（t）代替S2（σ（t）），由此可知，對(duì)于任意的時(shí)刻t∈［t3，t1），S1（σ）=0或者S2（σ）=0，此時(shí)切換函數(shù)σ（t）=kσλ0是有界的。與前提假設(shè)“在時(shí)刻t1∈［0，∞）時(shí)，切換函數(shù)σ會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象”是矛盾的。因此，該假設(shè)不成立，即（t）和其他閉環(huán)信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)都不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

定義Lyapunov函數(shù)如下：

對(duì)式（15）求一階微分，并代入式（6）、（9）可得：

由切換函數(shù)σ的定義可知，當(dāng)kpi＜0時(shí)，切換函數(shù)σ會(huì)運(yùn)動(dòng)至σ=kλ0，其中k為偶數(shù)，將式（9）、（10）代入式（16），可得當(dāng)t≥ta時(shí)，存在：

當(dāng)kpi＞0時(shí)，切換函數(shù)σ也會(huì)運(yùn)動(dòng)至σ=kλ0，其中k為奇數(shù)，同理可得：

定理2：針對(duì)系統(tǒng)（2），滿(mǎn)足假設(shè)條件1～4，如果采用控制律如式（6）、（7）和式（10）所示，那么狀態(tài)量將在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂至鄰域內(nèi)，并且對(duì)于足夠小的，輸出量在極大值附近的振蕩幅值是關(guān)于參數(shù)λ0的無(wú)窮小量，即，同時(shí)狀態(tài)量以及輸出量都是一致范數(shù)有界。

由定義式（7）可得

假設(shè)當(dāng)時(shí)刻t=t1（t1＞t?）時(shí)，狀態(tài)量從鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)至其邊緣處。對(duì)于?t＞t1，存在：

設(shè)定t2（t2＞t1）為切換函數(shù)σ達(dá)到下一個(gè)滑模面的時(shí)刻，t3（t3＞t1）為切換函數(shù)σ第一次從鄰域外部再次返回到鄰域邊緣的時(shí)刻。

①如果t3＞t2，則可將時(shí)間分為兩個(gè)階段t∈［t1，t2）和。

根據(jù)式（9）和式（13），可得：

將式（19）與式（20）相減，可得：

②如果t2≥t3＞t?，分析輸出量從t1運(yùn)動(dòng)到t3的情況，由于此時(shí)切換函數(shù)σ不處于滑模面上，那么對(duì)于，輸出量的運(yùn)動(dòng)情況可以類(lèi)比于①中的情況，因而，可知此時(shí)

證畢。

綜上所述，對(duì)于非線(xiàn)性極值搜索系統(tǒng)（1）中的第i（1≤i≤m）個(gè)極值搜索子系統(tǒng)（2），如果采用控制律如式（6）、（7）和式（10）所示時(shí)，狀態(tài)量可在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂至鄰域內(nèi)時(shí)，即存在和。因此，當(dāng)采取與定理2相類(lèi)似的控制條件時(shí)，系統(tǒng)（1）的狀態(tài)量都能在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂至，根據(jù)假設(shè)3可知，此時(shí)狀態(tài)量處于鄰域DΔ內(nèi)。

4　仿真分析

考慮一類(lèi)求解納什均衡解問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型［12］為

分析模型可知，當(dāng)x1=0和x2=0時(shí)，輸出量y1和 y2具有極大值=20和=15。

采用本文方法對(duì)比文獻(xiàn)［12］方法進(jìn)行仿真對(duì)比驗(yàn)證，采用本文方法時(shí)仿真參數(shù)選取為：q=-0.5、yr=20、λ0=0.05、λ1=0.1、λ2=0.1、ω=5、δ=0.1；采用文獻(xiàn)［12］方法時(shí)仿真參數(shù)選取為：q=0、kr=1、γ=0.1、β=2、δ=0.1、ε=0.02。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)量的初始條件分別為x1（0）=1和x2（0）=1.5時(shí)，得到的仿真結(jié)果分別如圖2～7所示。

圖2　狀態(tài)量x1的仿真結(jié)果Fig.2 Result of the statex1

圖3　穩(wěn)定狀態(tài)下x1的放大仿真結(jié)果Fig.3 Amplified result of the steady statex1

圖4　輸出量y1的仿真結(jié)果Fig.4 Result of the outputy1

圖5　狀態(tài)量x2的仿真結(jié)果Fig.5 Result of the statex2

圖6　穩(wěn)定狀態(tài)下x2的放大仿真結(jié)果Fig.6 Amplified result of the steady statex2

圖7　輸出量y2的仿真結(jié)果Fig.7 Result of the outputy2

對(duì)比圖2～7可知：采用本文的分?jǐn)?shù)階滑模切換極值搜索方法進(jìn)行仿真時(shí)，狀態(tài)量x1和x2能夠快速收斂至目標(biāo)函數(shù)取極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的=0和=0的有界鄰域內(nèi)，且當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，積分算子階次q選取為-0.5時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的振蕩比取q1=0時(shí)（即為積分階次為1的整數(shù)階）的系統(tǒng)狀態(tài)振蕩要小，即能夠取得更為準(zhǔn)確的收斂效果；由圖4、7可知：目標(biāo)函數(shù)y1和y2分別快速收斂至極大值=15和=10處。

5　結(jié)論

采用本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階滑模切換極值搜索方法，該系統(tǒng)的狀態(tài)量、控制輸入和目標(biāo)函數(shù)均一致有界，目標(biāo)函數(shù)y收斂至極大值y?的有界鄰域內(nèi)。且對(duì)于基于整數(shù)階積分的滑模切換極值搜索方法而言，采用分?jǐn)?shù)階積分可以有效改善方法的準(zhǔn)確性，取得更好的控制效果。

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Sliding Mode Switching Extremum Seeking Control for MIMO Affine Nonlinear Systems

ZHANG Leia，HU Yunana，LI Jingb
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Control Engineering；b.No.7 Department，Yantai Shandong 264001，China）

A sliding mode switching extremum seeking control method based on fractional-order integral was proposed for multi-input multi-output（MIMO）affine nonlinear systems.The original nonlinear system was decomposed into several subsystems and switching function was constructed by the output tracking error and the integral of the tracking error.Sliding mode switching extremum seeking control law was designed and method stability was proved strictly.Simulation results were presented to illustrate the advantages of this method by comparing with the existing method.

affine nonlinear system；extremum seeking；switching function；fractional-order

TP273.23

A

1673-1522（2016）03-0341-07DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.008

2016-03-14；

2016-04-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60674090）

張雷（1988-），男，博士生；胡云安（1966-），男，教授，博士，博導(dǎo)。