張磊，李世雄，王哲，程春華

（1.海軍航空工程學(xué)院a.科研部，山東煙臺264001；b.青島校區(qū)，山東青島266041；2.海裝裝備采購中心，北京100071）

輸入無模型動態(tài)擾動非線性系統(tǒng)的反演控制

張磊1a，李世雄2，王哲1b，程春華1b

（1.海軍航空工程學(xué)院a.科研部，山東煙臺264001；b.青島校區(qū)，山東青島266041；2.海裝裝備采購中心，北京100071）

研究了輸入無模型動態(tài)擾動的不確定非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定?；诳刂评钛牌罩Z夫函數(shù)，設(shè)計了反演控制律，利用自抗擾的思想，構(gòu)建擴展狀態(tài)觀測器來處理輸入無模型動態(tài)，仿真結(jié)果驗證了本方法的有效性。文章提出的控制方法適用于很多非線性系統(tǒng)。

輸入無模型動態(tài)；不確定非線性；反演；擴展狀態(tài)觀測器

目前，魯棒自適應(yīng)理論和反演技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于無模型動態(tài)的非線性系統(tǒng)的控制，并且取得了很多成果［1-4］。文獻［5-7］針對線性輸入無模型動態(tài)的系統(tǒng)展開了研究，提出了再設(shè)計方案，其結(jié)果被成功擴展到具有非線性輸入無模型動態(tài)的系統(tǒng)的控制［8-10］。上述文獻有些需限制為滿足小增益，有些需假設(shè)無模型動態(tài)是嚴格無源的、零動態(tài)、最小相位等［11］。文獻［12］針對輸入非線性無模型動態(tài)的不確定非線性系統(tǒng)提出了基于再設(shè)計的動態(tài)縮放控制方案，但該方案穩(wěn)定性分析復(fù)雜。文獻［13］研究了具有輸入未知動態(tài)的一階電機系統(tǒng)，提出了魯棒非線性PI控制，但很難擴展到高階系統(tǒng)。文獻［14-18］結(jié)合自抗擾思想和反演技術(shù)研究了非仿射非線性系統(tǒng)，實現(xiàn)了未知項和外來擾動的補償。本文為解決非線性輸入無模型動態(tài)系統(tǒng)的控制，引入自抗擾的思想，實現(xiàn)了該類問題的控制。

1　問題描述

考慮下面系統(tǒng)：

假設(shè)1：對于X子系統(tǒng)，可以將x1視為虛擬控制輸入，則可選取控制李雅普諾夫函數(shù)V0（X）和虛擬控制，使得對所有的X≠0，滿足：

式中，U0（X）是正定函數(shù)。

2　LGV-反演控制設(shè)計

反演設(shè)計開始前，假設(shè)已經(jīng)為了X子系統(tǒng)設(shè)計好了V0（X）和虛擬控制。

將-η0LGV0（X）加入到，可得到虛擬控制律為：

式中，當η0＞0時，增加了LF+Gx1dV0（X）的負性。

定義誤差變量e1=x1-x1d，則x2可視為（X，x1）子系統(tǒng)的虛擬控制輸入，（X，x1）子系統(tǒng)如下：

Step 1：為了給（）X，x1子系統(tǒng)設(shè)計虛擬控制器，可以引入控制李雅普諾夫函數(shù)如下：

沿著式（5）、（6）微分得：

目標是設(shè)計x2d使得負定。又

則式（8）可寫成

從而可以設(shè)計虛擬控制x2d為

式中，k1＞0是待設(shè)計的參數(shù)。

如果x2=x2d（X，x1），則有

之所以將該設(shè)計方法稱之為LGV-反演，是因為通過設(shè)計了-η0LGV0（X）項在虛擬控制中，從而主導(dǎo)了式（8）中的符號不確定項。在抵消反演設(shè)計中，式（4）中的η0=0，即虛擬控制律，則在這步設(shè)計中，項必須要被抵消。結(jié)合LGV-反演和抵消反演，虛擬控制律可以設(shè)計為：

式（13）中：當λ1=1時為抵消反演設(shè)計；當λ1=0時為LGV-反演設(shè)計。

當i＜n時，可以設(shè)計虛擬控制律xi，d為：

定義變量ei+1=xi+1-xi+1，d。

Stepn：在最后控制律設(shè)計之前，引入自抗擾設(shè)計的思想，不妨將xn子系統(tǒng)分離為

則系統(tǒng)可擴展為：

式中，G（t）是未知項f（X，x，u）的導(dǎo)數(shù)，則可構(gòu)建ESO：

式（20）中：E1是估計誤差；Z1、Z2是觀測器的狀態(tài)；β01和β02是觀測器增益（即待設(shè)計的參數(shù)）。函數(shù)fal（·）定義形式為［8-9］：

式（21）中：α1∈（0，1）；δ＞0。

構(gòu)建控制李雅普諾夫函數(shù)如下：

則控制律可選擇為

式（23）中：kn＞1為待設(shè)計參數(shù)；Z2是擴展觀測器的狀態(tài)。

對Vn（X，x）求導(dǎo)可得：

根據(jù)文獻［8-9］可以知道f（X，x，u）-Z2是個很小的值。綜合上述設(shè)計過程，可以得出下面的定理。

定理1：由式（1）、（2）、（4）、（11）、（17）和控制律式（23）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且所有的閉環(huán)信號都是全局一致有界的。

證明：由上述設(shè)計過程可以看出，整個閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由式（24），有：

求解式（25），可以得出：

當t→∞時，b（t）會趨近于一個非常小的值（由擴展狀態(tài)觀測器的設(shè)計決定了），同時eat→0，從而可以得出所有的閉環(huán)信號都是全局一致有界的。

3　仿真分析

考慮參考文獻［6］中的對象，形式如下：

式中，η為未知輸入動態(tài)。

在仿真過程中，初始值設(shè)置為：x（0）=［1，1，1］T，η（0）=0.5，Z1（0）=Z2（0）=0；觀測器參數(shù)設(shè)置為：β01=100，β02=1 500，α1=0.25和δ=0.1；控制器參數(shù)設(shè)置為k1=k2=k3=5。仿真結(jié)果如圖1～3所示。

圖1　狀態(tài)-時間曲線Fig.1 Time response of states

圖2　控制律-時間曲線Fig.2 Time response of control law

圖3　擴展狀態(tài)觀測器估計效果Fig.3 Effect of estimation by ESO

圖1可以看出所有狀態(tài)都收斂到0點附近。圖2可以看出控制律是有界的。圖3可以看出擴展狀態(tài)觀測器狀態(tài)可以很好的估計未知項。

4　結(jié)論

本文針對一類具有輸入無模型動態(tài)的非線性系統(tǒng)，提出了魯棒反演控制。控制律設(shè)計中，直接在子系統(tǒng)n中引入了關(guān)于輸入的未知非線性項，以替代無模型動態(tài)的影響。為了補償這種替代，引入了自抗擾的思想，為其設(shè)計了擴展狀態(tài)觀測器。該設(shè)計方案簡單易實現(xiàn)，通過穩(wěn)定性分析以及仿真研究驗證了該方案的有效性。

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Backstepping control for Uncertain Nonlinear Systems with Input Unmodeled Dynamics

ZHANG Lei1a，LI Shixiong2，WANG Zhe1b，CHENG Chunhua1b
（1.Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Scientific Research，Yantai Shandong 264001；b.Qingdao Branch，Qingdao Shandong 266041，China；2.Outfit Purchasing Centre of NED，Beijing 100071，China）

The global asymptotic stabilization problem for a general class of uncertain nonlinear systems with dynamic input uncertainties（input unmodeled dynamics）was considered.A backstepping control law was constructed from a control Lyapunov function（CLF）.In the control scheme，extend state observer based on active disturbance rejection ideal was designed to deal with the input unmodeled dynamics.The proposed control method was applicable to a wide class of nonlinear systems，meanwhile，the simulation result was presented to illustrate the effectiveness of the proposed control scheme.

input unmodeled dynamics；uncertain nonlinear；backstepping；extend state observer

TP273

A

1673-1522（2016）03-0337-04DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.007

2016-03-15；

2016-04-20

張磊（1979-），男，工程師，博士。