趙濟威

（上海理工大學管理學院，上海，200093）

單機生產(chǎn)系統(tǒng)非等周期不完美預防性維護與生產(chǎn)聯(lián)合優(yōu)化*

趙濟威

（上海理工大學管理學院，上海，200093）

由于設備會隨著使用時間的增加和自身壽命增長引起的退化而逐漸磨損失效進而發(fā)生故障.因此對于生產(chǎn)企業(yè)來說，想要提高自身競爭力，就要在生產(chǎn)過程中合理地安排預防性維護以減少設備故障導致的計劃外停機，防止生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，從而才能獲取更多收益.本文從生產(chǎn)企業(yè)的角度出發(fā)，提出單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期不完美預防性維護與生產(chǎn)的聯(lián)合優(yōu)化策略，綜合考慮生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本等，構建了總利潤率模型，目標是使總利潤率最大化.其中涉及到的三類維護方式為（1）完美維護——即更換；（2）小修維護——即使設備“恢復如舊”；（3）不完美預防性維護——即使設備狀態(tài)恢復到介于“完全如新”與“恢復如舊”之間的某狀態(tài).最后本論文通過數(shù)字實例，驗證了新策略模型在實際生產(chǎn)應用中的有效性.

單機生產(chǎn)系統(tǒng) 預防性維護 聯(lián)合優(yōu)化

1　引言

在大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)里，設備扮演了一個很重要的角色.設備的可靠性會隨著使用時間和本身壽命的增長引起的老化過程而逐漸降低，設備逐漸失效進而發(fā)生故障，從而導致計劃外停機，造成生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，使得利潤受損.所以，通過對設備進行維護可以減少故障、使設備維持一個良好的生產(chǎn)狀態(tài).設備的退化過程服從威布爾分布［1］.在一些時候，設備會由于發(fā)生故障及停機維護等一系列原因處于不可用狀態(tài)［2］，但是從企業(yè)角度考慮是希望設備能連續(xù)不斷工作以此來完成更多的訂單以獲取更大的利潤，這就需要在生產(chǎn)和維護之間尋求一個完美的平衡點.

Pandey［3］和Moradi［4］提出在實際生產(chǎn)系統(tǒng)中，通常把生產(chǎn)和維護兩者分開來各自安排計劃.而由于預防性維修占據(jù)了本來用來進行生產(chǎn)活動的時間，同時，如果不定時進行預防性維護，就不能對設備故障率進行有效檢測，又有可能在生產(chǎn)過程中發(fā)生突發(fā)故障，更大程度地影響生產(chǎn)進程，進而影響生產(chǎn)效率.因此單獨地決策生產(chǎn)和維護計劃容易導致設備過度維護，浪費人力和設備資源.所以在本文中，我們將構建兩者聯(lián)合優(yōu)化模型來解決相關問題.

在近幾十年中，很多學者對生產(chǎn)和維護的聯(lián)合決策進行了相關研究.一些學者將目光集中在單機生產(chǎn)系統(tǒng)中［5］，Cassady和Kutanoglu［6］將聯(lián)合模型的結果分別同單獨決策生產(chǎn)和單獨決策維護的模型結果做了對比，結果表明了聯(lián)合模型的優(yōu)勢.Vrignat［7］提出了一個改善因子的概念來描述維護的效果.根據(jù)研究，維護可以大致分為以下三種［8］：（1）完美維護——指能使設備恢復到初始水平的維護，即“恢復如新”，比如更換；（2）小修維護——指可以使設備恢復到發(fā)生故障前的狀態(tài)，即使設備“恢復如舊”；（3）不完美維護——指可以使設備狀態(tài)恢復到介于“恢復如新”和“恢復如舊”之間的狀態(tài).Basile［10］在他的研究中定義了維護的程度，如果為1，則表示設備“恢復如新”，如果為0，則表示設備“恢復如舊”，如果介于0和1之間，則表示設備狀態(tài)介于“恢復如新”和“恢復如舊”之間.Fitouhi和Nourelfath［9］將預防性維護看作完美維護與生產(chǎn)計劃進行單機生產(chǎn)系統(tǒng)的聯(lián)合優(yōu)化.

然而并不是所有設備或系統(tǒng)能通過維護“恢復如新”，很多維護實際上都是屬于不完美維護.并且以上研究建立的模型基本上都運用的是等周期的預防性維護，而在實際的生產(chǎn)活動中，等周期的預防性維護其實并不適用.由于機器設備運行使用時間及設備壽命的不同，其故障率在各個時期也不相同，如果在相當一段時間內(nèi)運用等周期的預防性維護決策，會導致在設備初期的過度維護，從而導致維護成本的增加及維修占用生產(chǎn)時間的增加，既耽誤了生產(chǎn)任務的按時交貨，也從整體上降低了生產(chǎn)企業(yè)的利潤總額.因此，之后一些學者將非等周期的預防性維護和生產(chǎn)聯(lián)合進行優(yōu)化［11］.Fitouhi和Nourelfath［12］在之前研究的基礎上提出了單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期性預防性維護與生產(chǎn)計劃的聯(lián)合優(yōu)化決策模型.

另外，在之前的研究建立的模型中，都沒有考慮小修維護的成本和時間，而其實在設備可靠性很低的時候，隨機故障發(fā)生的可能性會增加，進而導致更多的生產(chǎn)延遲和利益損失.因此小修維護的時間和成本是需要考慮進去的.Xiaohui Chen［13］等人在之前研究的基礎上，又將更換、小修等維護方式統(tǒng)統(tǒng)加入模型中，建立的新模型將預防性維護、小修維護、更換等與生產(chǎn)相聯(lián)合進行綜合優(yōu)化，但其模型只是考慮了總利潤，沒有考慮單位時間內(nèi)的利潤情況.

總的來說，本文將在之前研究的各種相關理論的基礎之上，從生產(chǎn)企業(yè)的角度出發(fā)，提出單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期不完美預防性維護與生產(chǎn)調(diào)度的聯(lián)合優(yōu)化策略，綜合考慮生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本等，構建了總利潤率模型，目標是使總利潤率最大化.在安排生產(chǎn)的同時，隨時測定設備的可靠性，當其小于設定的可靠性閾值時，便對其進行維護，并引入一個“成本—時間比率”的函數(shù)，來對使用預防性維護或更換維護進行選擇和決策.最終在保證生產(chǎn)盡量按時完成的基礎上，使總利潤率模型的結果最大化.本論文與之前的研究相比，建立了新的總利潤率模型，該新模型更聯(lián)系實際生產(chǎn)，比之前的模型更具有實用價值.

本文的結構大體如下：第二部分是問題描述；第三部分是聯(lián)合總利潤率模型建立；第四部分是數(shù)字實例；第五部分是結論和研究展望.

2　問題描述

本文研究單機系統(tǒng)，我們設置設備的生產(chǎn)及維護過程的結合如以下圖1所示：

第一步，對工作任務進行排序并安排生產(chǎn)；

第二步，預測設備的可靠性，將設備可靠性與可靠性閾值作比較，如果當前可靠性小于等于可靠性閾值，去第三步，否則就回到第一步；

第三步，計算“成本-時間比率”的值來判斷進行預防性維護是否是經(jīng)濟的，如果不是，就去第四步，否則直接去第五步；

第四步，進行更換維護，然后回到第一步；

圖1　設備的生產(chǎn)及維護

第五步，對設備關鍵部位進行預防性維護，然后回到第一步.

判斷”預防性維護是否經(jīng)濟“的方法是，引入一個“成本-時間比率”的函數(shù)rct.根據(jù)之前研究中進行的分析，一旦設備狀態(tài)變差，若只在關鍵部位進行預防性維護是不經(jīng)濟的，因為維護成本偏高并且維護也占據(jù)了很多的生產(chǎn)時間.因此在這種情況下，在設備的關鍵部位進行更換的維護方式是更為合理和經(jīng)濟的選擇，并能使設備狀態(tài)“恢復如新”.為了對維護方式進行決策，即究竟選擇預防性維護還是更換方式來對設備進行維護，我們引入一個“成本-時間比率”的函數(shù)rct去進行該決策.其公式如下：

“成本-時間比率”表示單位時間的維護成本.隨著PM次數(shù)的增加，rct隨之減小，隨后在某個次數(shù)之后，rct又隨之增大，這個轉(zhuǎn)折點就是最為經(jīng)濟的預防性維護次數(shù).它表示此時就是進行更換維護代替預防性維護的最好時間，這樣就能使綜合維護成本降低.rct與預防性維護次數(shù)之間的函數(shù)關系如以下圖2所示.

圖2　rct與預防性維護次數(shù)關系函數(shù)圖像

在圖2中，我們假定設備失效率服從威布爾分布，其尺度參數(shù)為100h，形狀參數(shù)為1.5，設備的總加工時間為300h，設備的可靠性閾值R'為0.7，每次預防性維護的成本為200元，單次更換成本為500元，首次預防性維護的時間為3h，預防性維護周期的時間系數(shù)χi和預防性維護周期的成本系數(shù)δi分比為1.1，和1.2，設備壽命減少系數(shù)αi為0.1，設備失效率增加系數(shù)βi為［1+0.1（i-1）］，其中i表示預防性維護的次數(shù).由于預防性維護是不完美維護，而更換能使設備狀態(tài)“恢復如新”，所以在整個生產(chǎn)全過程中設備的可靠性如下圖3所示.

圖3　生產(chǎn)全過程中的設備可靠性變化示意圖

在開始生產(chǎn)的最初時刻，設備的可靠性為1，隨著設備服務時間的增加，設備可靠性隨之降低，當降低到設定的可靠性閾值時，對設備進行預防性維護，由于預防性維護為不完美維護，設備可靠性并不能恢復到1，而是升高到介于閾值和1之間的某值；經(jīng)過幾次預防性維護后，用更換的維護方式代替預防性維護，更換可以使設備可靠性的值恢復到1.

另外我們要強調(diào)的是生產(chǎn)調(diào)度的重要性，在本文當中，生產(chǎn)調(diào)度安排的不同即各生產(chǎn)任務排序的不同方式直接影響著總利潤率的大小.由于各任務都有它本身所設定的交貨期限，超過規(guī)定的時間交貨就屬于生產(chǎn)延遲，而生產(chǎn)延遲成本是考慮在總利潤率模型當中的.所以因不同任務排序而導致各任務交貨的總延遲時間的變化對本文的目標函數(shù)總利潤率結果大小是有很大影響的.所以，我們要尋求到最合適的排序方式.

3　模型構建及求解

3.1數(shù)學符號及含義

本文假定有一系列生產(chǎn)任務要安排在一個單機生產(chǎn)系統(tǒng)（即一臺機器）中完成.在模型構建時，我們要用到以下這些數(shù)學符號：

3.2模型構建

本文所建立的模型是總利潤率模型，目標函數(shù)即為總利潤率ω.

設備的失效率會隨著使用時間和本身壽命的增加而逐漸增大，已知對設備進行的預防性維護是不完美維護，設備的失效率函數(shù)為：

設備的可靠性公式為：

即一旦可靠性值降低到設定的可靠性閾值R'時，就進行預防性維護，可靠性閾值、設備失效率及預防性維護周期的函數(shù)關系可用以下公式表示：

即

預防性維護的時間和成本會隨著預防性維護次數(shù)的增加而發(fā)生改變，引入預防性維護的時間系數(shù)χi和成本系數(shù)δi的概念后，其公式如下所示：

其中，χi＞1，δi＞1.

為了得到最大的利潤率，我們要分別求出生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、維護成本和生產(chǎn)延遲成本.在這些因素中，設備的維護成本和生產(chǎn)延遲成本是和設備的服務時間相關的，設備服務時間的計算公式如下所示：

因此任務m的總完成時間由加工時間、預防維護時間、更換時間及小修維護時間構成，如以下公式所示：

其中Np代表預防性維護的次數(shù)，ts代表隨機故障的小修維護時間，k代表隨機故障次數(shù)，Nr代表更換次數(shù)，tr代表單次更換的時間.

任務m的生產(chǎn)延遲時間為θm，k，tdm代表任務m的預定交貨時間，則有公式為：θm，k=max（0，tcm-tdm）.（10）

接下來我們要求出生產(chǎn)全過程中的總利潤，由生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、小修維護成本、預防性維護成本、更換成本及生產(chǎn)延遲成本等幾個要素組成.公式如下：

然后得到總利潤率，其公式為：

4　數(shù)值實例

在研究設備維護相關問題的時候，我們通常設定設備的失效率服從二參數(shù)的威布爾分布.在本文中，設置一個全新的機器，指該機器設備在其初始狀態(tài)時失效率為0，其失效率服從二參數(shù)的威布爾分布，令該分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為1.5和100h，因此設備在第一個預防性維護周期內(nèi)的失效率公式如下：

本文將可靠性閾值設定為0.7，第一次預防性維護的時間和成本分別為3h和200元，小修維護的時間和成本分別為15h和300元，更換的時間和成本分別是6h 和500元.我們將設備壽命減少系數(shù)設定為α1=α2=…=αi=0.1，而設備故障率增加系數(shù)設定為βi=1.2i-1，另外，預防性維護的時間系數(shù)和成本系數(shù)分別設定為χi=1.1和δi=1.2.現(xiàn)在我們給出了在這臺設備上要進行的四個任務，其相關信息如以下表1所示.

表1　四個任務的基本信息

由于本文設定的預防性維護是非等周期的不完美預防性維護，在組織生產(chǎn)的同時，隨時預測設備的可靠性，一旦設備可靠性不高于設定的可靠性閾值，就對設備進行預防性維護，所以本文中涉及到的預防性維護是非等周期的不完美預防性維護.在本案例中，通過計算，對設備進行維護的信息列表如下表2所示.

表2　設備預防性維護信息及rct

根據(jù)表2中最后一列的信息，rct的值在第三次預防性維護時是最小的，因此這是一個轉(zhuǎn)折點，說明在此時刻，執(zhí)行預防性維護是不經(jīng)濟的，所以應該改成更換的維護方式，也就是說應該在第三個預防性維護周期結束時對設備進行更換，這樣一來第四次預防性維護周期就變成

了50h.那么對設備進行的維護方案及其各項數(shù)據(jù)信息如下表3所示.

表3　設備維護方案相關信息

要求得最佳的任務排序及將全過程的總利潤率最大化，我們運用列舉的方法將所有可能的情況都計算出來，得到以下的表4.

表4　各種任務排序下的總利潤及總利潤率

從表4的最后一列各種排序方案得到的總利潤率的數(shù)值大小，我們得到最后一行中的排序方案是最佳的方案，因為在這種情況下我們得到了最大的總利潤率，為44.95元/h.在這種情況下的四個任務的加工時間安排如以下表5所示.

表5　預防性維護下最優(yōu)工作排序的各項任務加工開始時間及完成時間

該設備的服務時間及其維護時間安排如以下圖4表示.

圖4　設備時間安排圖

通過這個案例，我們可以看出，對于本文建立的總利潤率的模型，可以解決單機生產(chǎn)系統(tǒng)中的非等周期不完美預防性維護和生產(chǎn)之間的聯(lián)合優(yōu)化問題，尋得最佳的工作調(diào)度方案，通過對rct值的判斷進行使用預防性維護或者更換維護方式的選擇與決策，以求得最優(yōu)的維護方案，使全過程的總利潤率ω最大化.

5　結論及展望

在大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)里，設備扮演了一個很重要的角色.設備的高可靠性和高可用性是生產(chǎn)獲利的關鍵.但是設備的可靠性會隨著使用時間和本身壽命的增長引起的老化過程而逐漸降低，設備逐漸失效進而發(fā)生故障，從而導致計劃外停機，造成生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，使得利潤受損.預防性維護是降低設備隨機故障、使設備維持良好生產(chǎn)狀態(tài)的有效途徑.但是設備維護是需要花費時間和成本的，這就使維護工作占用了生產(chǎn)時間并提高了生產(chǎn)總成本.所以我們要將生產(chǎn)和維護兩者綜合考慮進行聯(lián)合優(yōu)化，才能提高綜合效益.在對設備進行維護方案設計時，應將預防性維護和更換、小修維護等方式結合起來.在本文中，將預防性維護設定為非等周期的不完美維護，而更換就是完美維護方式.本文通過對rct值的判斷進行使用預防性維護或更換維護方式的選擇與決策，以求得最優(yōu)的維護方案，使全過程的總利潤率ω最大化.在對總利潤率進行計算的時候，考慮的因素有生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本，全面地包括了在生產(chǎn)中涉及的各類成本因素和價值因素.在第四部分的具體案例中，我們看到，本文提出的總利潤率模型可以解決單機生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)和維護聯(lián)合優(yōu)化決策問題，制定最優(yōu)的維護方案來尋求全過程的最大總利潤率.

然而在以后解決相關問題時，可將解決方法擴展到遺傳算法、啟發(fā)式算法上，所以在今后相關問題研究中，可以重點進行算法優(yōu)化的研究工作，通過優(yōu)化解決方法來對該問題進行進一步的研究.

［1］Zhang X，Kang J and Jin T.Degradation modeling and maintenance decisions based on Bayesian belief networks［J］.IEEE T Reliab 2014；63（2）：620-633.

［2］Hadidi LA，Turki UMA and Rahim MA.Joint job scheduling and preventive maintenance on a single machine［J］.Int J Oper Res 2012；13（2）：174-184.

［3］Pandey D，Kulkarni MSand Vrat P.Joint consideration of production scheduling，maintenance and quality policies：a review and conceptual framework［J］.Int J Adv Oper Manage 2010；2（1）：1-24.

［4］Moradi E，F(xiàn)atemi Ghomi SMT and Zandieh M.Biobjective optimization research on integrated fixed time interval preventive maintenance and production for cheduling flexible job-shop problem［J］.Expert Syst Appl 2011；38（6）：7169-7178.

［5］Wang S and Liu M.A branch and bound algorithm for single-machine production scheduling integrated with preventive maintenance planning［J］.Int J Prod Res 2013；51（3）：847-868.

［6］Cassady CR and Kutanoglu E.Integrating preventive maintenance planning and production scheduling for a single machine［J］.IEEE T Reliab 2005；54（2）：304-309.

［7］Vrignat P，Avila M，Duculty F，et al.Maintenance policy：degradation laws versus hidden Markov model availability indicator［J］.Proc IMech E，Part O：J Risk and Reliability 2012；226（2）：137-155.

［8］PhamH and Wang H.Imperfect maintenance［J］.Eur J Oper Res 1996；94（3）：425-438.

［9］Fitouhi M and Nourelfath M.Integrating noncyclical preventive maintenance scheduling and production planning for a single machine［J］.Int J Prod Econ 2012；136（2）：344-351.

［10］Basile O，Dehombreux P and Riane F.Identification of reliability models for non repairable and repairable systems with small samples［J］.Proceeding of IMS’2004：advances in maintenance and modelling，simulation and intelligent monitoring of degradation，Arles，F(xiàn)rance，15-17 July，2004.

［11］Ruiz R，Carlos Garcia-Diaz J and Maroto C.Considering scheduling and preventive maintenance in the flowshop sequencing problem［J］.Comput Oper Res 2007；34（11）：3314-3330.

［12］Fitouhi M and Nourelfath M.Integrating noncyclical preventive maintenance scheduling and production planning for multi-state systems［J］.Reliab Eng Syst Safe 2014；121：175-186.

［13］Xiaohui Chen，Lei Xiao.A production scheduling problem considering random failure and imperfect preventive maintenance［J］.Institution of Mechanical Engineers.2015，229（1）26-35.

［14］金玉蘭，蔣祖華.預防性維修計劃和生產(chǎn)調(diào)度的多目標優(yōu)化［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，2011；32（9）：878-882.1205-1209.

［15］JinY，Jiang Z andHouW.Integrating flexible-interval preventivemaintenance planningwith production scheduling［J］.Int J Comput Integ M 2009；22（12）：1089-1101.

［16］王世進.集成預防性維護計劃的單機調(diào)度蟻群優(yōu)化研究［J］.工業(yè)工程與管理，2011；16（06）：60-65.

［17］藍天皓，陸志強，張岳君.單機系統(tǒng)預防性維護與生產(chǎn)批量聯(lián)合決策研究［J］.工業(yè)工程與管理，2014；19（02）：55-61.

Joint Optimization of Production and Aperiodic Imperfect
Preventive Maintenance for a Single-machine System

Zhao Jiwei
（School of Business，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 20093，China）

As machines wear with usage and age as degradation process，and it can be unavailable due to the scheduled maintenance and unexpected failures.Hence，F(xiàn)or a manufacturing company to be successful，the maintenance are performed when scheduling the production to restore the machines，so that the machines work continuously and the company make more profit.In this paper，from the perspective of the company，a joint optimization strategy of production and aperiodic imperfect preventivemaintenance for Single-machine System is given，and the model which aim to maximise the total profit ratio is established，the factor of production value，production cost，maintenance cost（including the preventive maintenance cost，replacement cost，and minimal repair cost for random failure），and lateness cost are considered in this model.Three types of maintenance are performed to restore the machines：（1）perfect maintenance—the system can be restored to“as good as new”，such as replacement；（2）minimal repair—it is undertaken upon failure and the machine restored“as bad as old”；（3）imperfect preventive maintenance—it makes the machine less deteriorated just between“as good as new”and“as bad as old”after maintenance.Finally，the proposed model is validated by a numerical example.

Single-machine system Preventive maintenance Joint optimization

2016年05月12日