周峰利徐文杰

（1.武漢體育學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北武漢 430079；2.十堰市張灣區(qū)爐子小學(xué) 湖北十堰 442002）

數(shù)學(xué)模型在體育比賽排名規(guī)則的制定問題中的應(yīng)用①

周峰利1徐文杰2

（1.武漢體育學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北武漢 430079；2.十堰市張灣區(qū)爐子小學(xué) 湖北十堰 442002）

隨著國務(wù)院國發(fā)【2014】46號(hào)文件的出臺(tái)，全國健身已經(jīng)上升到國家戰(zhàn)略，全國各種各樣的體育比賽越來越多。針對(duì)越來越多的比賽，比賽規(guī)則制定尤為重要。該文主要討論體育比賽排名規(guī)則的制定問題，并以籃球比賽為例，在比賽通用的總積分法的基礎(chǔ)上，通過分析其優(yōu)劣性，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，給出特征向量法、概率法等比賽排名方法。

比賽排名 數(shù)學(xué)模型 特征向量法 概率法

現(xiàn)在人們對(duì)自身健康問題越來越重視，人們喜歡把業(yè)余時(shí)間花在體育鍛煉上，促使越來越多的比賽應(yīng)運(yùn)而生，有比賽就必然涉及到排名問題，有些比賽，名次排列往往比較簡(jiǎn)單，因?yàn)樯婕暗膱F(tuán)隊(duì)較少，數(shù)據(jù)不復(fù)雜；而大多數(shù)的比賽涉及的團(tuán)隊(duì)較多，數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，排名的影響因素就會(huì)很多，由于這些因素的影響，人們往往會(huì)對(duì)比賽結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)疑。為了解除人們的疑惑，一個(gè)公平透明的排名規(guī)則顯得尤為重要。我們要建立一個(gè)可以克服諸多不確定因素的模型，使得排名結(jié)果能準(zhǔn)確地反映球隊(duì)的真實(shí)實(shí)力。

排名目的是根據(jù)比賽成績(jī)排出反映各隊(duì)的真實(shí)實(shí)力狀況的一個(gè)順序，所以說一個(gè)好的排名算法應(yīng)滿足下面的一些基本要求。

（1）保序性。我們認(rèn)為各隊(duì)的真實(shí)實(shí)力水平在綜合成績(jī)表中反映出來，所以根據(jù)排名的目的，要求排名順序與成績(jī)表所反映的各隊(duì)真實(shí)水平是一致的。

（2）穩(wěn)定性。成績(jī)表中微小的變動(dòng)不會(huì)對(duì)排名造成巨大影響，即球隊(duì)發(fā)揮水平的較小波動(dòng)性不會(huì)對(duì)排名結(jié)果產(chǎn)生大的影響。

（3）能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行補(bǔ)缺：兩個(gè)隊(duì)之間沒有打比賽，我們只為成績(jī)表殘缺，對(duì)于兩隊(duì)成績(jī)的殘缺，只能通過他們同其他隊(duì)的比賽成績(jī)判斷他們實(shí)力水平的高低。

（4）能夠判斷成績(jī)表的可約性，能夠容忍不一致現(xiàn)象。

（5）對(duì)數(shù)據(jù)可依賴程度給出較為精確的描述。

1　模型的建立

1.1積分法

總積分法的排名是以總積分的多少來決定的。各隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分（包括比賽因缺少隊(duì)員而告負(fù)），棄權(quán)得0分。計(jì)算各隊(duì)在所有比賽中總的積分，按照總積分的高低來排出名次，總積分多的隊(duì)伍名次列前。

表1　比賽結(jié)果發(fā)生的概率表（2場(chǎng)比賽）

如果遇到2支隊(duì)伍總積分相等，則按積分相等兩隊(duì)相互間比賽的成績(jī)來確定名次，勝者名次列前。如果遇到2支以上的隊(duì)總積分相等，則按總積分相等隊(duì)之間相互比賽的勝負(fù)場(chǎng)次來決定名次，勝利場(chǎng)次多的隊(duì)伍名次列前。如果名次仍相等，則按他們之間比賽的得失分率大小決定名次，得失分率大的名次列前。如果仍然相等，再按他們?cè)谒斜荣愔械牡檬Х致蕘頉Q定名次，得失分率大的名次列前。如果存在棄權(quán)的隊(duì)伍，棄權(quán)的隊(duì)伍名次并列最后，各隊(duì)與棄權(quán)的比賽成績(jī)均以“0”計(jì)算。

總積分法具有很大的局限性，很顯然，總積分法對(duì)比賽場(chǎng)數(shù)多的隊(duì)伍有利，為了克服這一缺點(diǎn)，可以采取平均積分法來對(duì)各支隊(duì)伍來進(jìn)行排名。平均積分法就是將每個(gè)隊(duì)的總積分除以該隊(duì)參加比賽的場(chǎng)數(shù)，得出每場(chǎng)平均積分，按各隊(duì)平均積分的高低來排名，平均積分高的隊(duì)伍名次列前。如果遇到2支隊(duì)伍的平均積分相等，則按平均積分相等兩隊(duì)相互間比賽的成績(jī)來確定名次，勝者名次列前。

如果遇到2支以上的隊(duì)總積分相等，則按總積分相等隊(duì)之間相互比賽的勝負(fù)場(chǎng)次來決定名次，勝利場(chǎng)次多的隊(duì)伍名次列前。如果名次仍相等，則按他們之間比賽的得失分率大小決定名次，得失分率大的名次列前。如果仍然相等，再按他們?cè)谒斜荣愔械牡檬Х致蕘頉Q定名次，得失分率大的名次列前。得失分率=每隊(duì)的每場(chǎng)得分之和/每隊(duì)的每場(chǎng)失分之和（對(duì)方的得分之和）×100%

但是，總積分法和平均積分法都存在著兩個(gè)缺點(diǎn)：一是沒有考慮對(duì)手的情況，勝第二名與勝最后一名是一樣看待的；二是沒有考慮勝負(fù)的程度，大勝對(duì)手和險(xiǎn)勝對(duì)手沒有差別。

1.2特征矩陣法

由于籃球比賽中不存在平局的情況，我們可以假設(shè)勝一局得到一個(gè)積分，負(fù)一局得到零個(gè)積分，由此建立一個(gè)N×N的鄰接矩陣M，來表示各支隊(duì)伍之間比賽的勝負(fù)情況，由此建立得分向量S 來表示各支隊(duì)伍的勝負(fù)情況：其中稱為一級(jí)得分向量，一級(jí)得分向量表示各支隊(duì)伍的總得分情況。

由于比賽過程中存在總得分相同的隊(duì)伍，所以，一級(jí)得分向量無法排出所有隊(duì)伍的名次，需要進(jìn)一步計(jì)算出高級(jí)的得分向量稱之為二級(jí)得分向量，二級(jí)得分向量表示每支球隊(duì)?wèi)?zhàn)勝的各個(gè)球隊(duì)的得分之和，與一級(jí)得分向量相比，二級(jí)得分向量更有理由作為排名次的依據(jù)。繼續(xù)這個(gè)程序，得到k級(jí)得分向量，K的值越大，用S（k）作為排名依據(jù)更合理，如果k趨向于正無窮時(shí)，收斂于某個(gè)極限得分向量（為了不使它無限變大，應(yīng)進(jìn)行歸一化），那么就可以用這個(gè)得分向量作為排名次的依據(jù)。

上面提出特征向量法，是建立了鄰接矩陣M之后，求出M的對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量，作為代表各支隊(duì)伍水平比的向量，以它作為依據(jù)來為各支隊(duì)伍排名次。

以下我們還要提出進(jìn)一步改進(jìn)的模型，在此之前，我們需要考慮不同隊(duì)伍之間比賽場(chǎng)次的差異，若兩隊(duì)之間進(jìn)行了多場(chǎng)比賽，則將其之間的多場(chǎng)比賽的平均分來作為比賽的結(jié)果。兩隊(duì)之間進(jìn)行的多場(chǎng)比賽，其結(jié)果能更真實(shí)地反映兩隊(duì)之間的相對(duì)水平，在此，我們引入比賽結(jié)果的可信度因子P，單場(chǎng)比賽的可信度為P，則N場(chǎng)比賽的可信度為，由此，兩隊(duì)之間進(jìn)行的多場(chǎng)比賽可轉(zhuǎn)化為單場(chǎng)比賽的平均得分。

鄰接矩陣M中的元素mij可設(shè)為是Ti對(duì)Tj各場(chǎng)比賽轉(zhuǎn)化為單場(chǎng)比賽后的平均得分，當(dāng)Ti與Tj之間沒有進(jìn)行過比賽時(shí)，mij=0，即此時(shí)的鄰接矩陣M可理解為得分矩陣，仔細(xì)觀察又有不足之處。更合理的方法應(yīng)滿足以下方面。

1.3概率法

我們從若干場(chǎng)比賽的結(jié)果反推Pij和Pji，具體的方法為根據(jù)Ti在對(duì)Tj的各場(chǎng)比賽中的總得分來計(jì)算，主要思想為假如Pij，Pji預(yù)先給出了確切的值，則可以利用他們分別算出Ti在對(duì)Tj的各場(chǎng)比賽中的總得分的概率，由極大似然估計(jì)，假如Ti的實(shí)際得分為m分，就有理由認(rèn)為Ti得m分的概率比得其他分的概率都大。

為計(jì)算Pij與Pji，我們將一場(chǎng)比賽的概念看成兩個(gè)半場(chǎng)，不同于實(shí)際比賽中的半場(chǎng)，半場(chǎng)的結(jié)果僅有勝負(fù)之分，上下半場(chǎng)Ti，Tj各勝一個(gè)半場(chǎng)記為平局。

記Ti在一個(gè)半場(chǎng)中勝Tj的概率為q，則在一場(chǎng)比賽中，Ti勝Tj的概率為q2；Ti負(fù)于Tj的概率為（1-q）2；Ti平Tj的概率為2q（1-q）。

對(duì)兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)，兩場(chǎng)或者三場(chǎng)比賽的情況，分別按總積分多少分成若干的等級(jí)，根據(jù)假設(shè)，總積分?jǐn)?shù)正好等于獲勝的半場(chǎng)的數(shù)目，把它看作比較兩隊(duì)水平的一個(gè)度量，計(jì)算每一等級(jí)中所有比賽結(jié)果發(fā)生的概率，例如：兩場(chǎng)比賽的情況根據(jù)表1數(shù)據(jù)就可明確知道比賽結(jié)果發(fā)生的概率。

根據(jù)極大似然估計(jì)的思想，如果某一等級(jí)的結(jié)果發(fā)生了，我們就應(yīng)當(dāng)以為兩隊(duì)水平之比處于該等級(jí)的概率比處于其他等級(jí)的概率要大。我們可以根據(jù)這一點(diǎn)，列出不等式并解除q的范圍。例如：得分為3的結(jié)果發(fā)生時(shí)，應(yīng)有不等式組，可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)贏球的概率。

2　結(jié)語

通過分析可知，模型的優(yōu)點(diǎn)主要為：（1）能夠較為準(zhǔn)確的處理數(shù)據(jù)，對(duì)比賽的程序沒有嚴(yán)格要求，穩(wěn)定性很好，可以適用于任何賽制。（2）靈活性強(qiáng)，提供了對(duì)比賽數(shù)據(jù)可約性的正確評(píng)估，并且可以靈活調(diào)整比賽數(shù)據(jù)。（3）滿足保序性，能夠處理不同場(chǎng)次的權(quán)重，對(duì)數(shù)據(jù)可依賴程度給出較為精確的描述。

但此模型也有其存在的明顯的不足之處為判斷矩陣的計(jì)算較為復(fù)雜，當(dāng)參賽隊(duì)伍較多的時(shí)候求解判斷矩陣會(huì)很費(fèi)時(shí)。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］于長(zhǎng)銳.復(fù)雜決策問題的多元化模型體系研究［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，7（2）：88-91.

［3］戚立峰，毛威，馬斌.一個(gè)給足球隊(duì)排名次的方法——B題［J］.教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1994（2）：87-94.

G80-05

A

2095-2813（2016）09（a）-0175-02

10.16655/j.cnki.2095-2813.2016.25.175

周峰利（1987—），男，漢，湖北黃岡人，碩士，助教，研究方向：體育、數(shù)學(xué)。