阮曉鋼，張曉銳，王丹陽(yáng)

（北京工業(yè)大學(xué)電子信息與控制工程學(xué)院，北京100124）

三旋翼飛行器的建模及其姿態(tài)自抗擾控制

阮曉鋼，張曉銳，王丹陽(yáng)

（北京工業(yè)大學(xué)電子信息與控制工程學(xué)院，北京100124）

根據(jù)國(guó)內(nèi)外旋翼飛行器的研究現(xiàn)狀以及三旋翼飛行器的機(jī)械結(jié)構(gòu)，對(duì)三旋翼飛行器進(jìn)行力矩分析，建立數(shù)學(xué)模型.采用自抗擾控制方法對(duì)三旋翼飛行器的姿態(tài)角進(jìn)行姿態(tài)控制，通過(guò)Matlab仿真與PID控制方法的對(duì)比試驗(yàn)，以及跟蹤不同數(shù)值大小的階躍響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分組仿真.仿真結(jié)果表明，自抗擾控制算法具有有效性和快速性，分組試驗(yàn)表明針對(duì)不同大小的階躍信號(hào)，可采用不同的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié).結(jié)果表明:該方法既具有良好的濾波性與魯棒性，又保留了PID控制的大體框架與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)，在工程和之后的試驗(yàn)中有一定的指導(dǎo)價(jià)值.

三旋翼飛行器；數(shù)學(xué)模型；自抗擾控制；魯棒性

小型旋翼飛行器具有廣闊的軍事和民用前景，近年來(lái)已成為國(guó)際上新的研究熱點(diǎn)，當(dāng)前國(guó)內(nèi)外各高等院校及研究機(jī)構(gòu)針對(duì)于三旋翼式無(wú)人飛行器的研究與開(kāi)發(fā)尚處于起步階段，大多數(shù)研究旋翼的實(shí)驗(yàn)室對(duì)小型飛行器的研究主要是基于四旋翼、六旋翼、八旋翼等具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的飛行器.迄今為止，四旋翼、六旋翼等具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)飛行器在學(xué)術(shù)研究和工程應(yīng)用上取得相當(dāng)大的進(jìn)展，在國(guó)外的旋翼飛行器中，如瑞士洛桑聯(lián)邦科技學(xué)院OS4，使用4個(gè)超聲波傳感器探測(cè)障礙物、1個(gè)超聲波傳感器測(cè)高度，很好地實(shí)現(xiàn)了飛行器的避障功能；美國(guó)DragonflyerX4采用碳纖維螺旋槳，由4個(gè)無(wú)刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)，具有自動(dòng)平衡及定點(diǎn)懸浮功能，由于自身結(jié)構(gòu)輕便，平衡性在原有旋翼飛行器的基礎(chǔ)上大大提高；在國(guó)內(nèi)旋翼飛行器的研究中，國(guó)防科技大學(xué)的實(shí)驗(yàn)室通過(guò)利用DragonflyerX4旋翼的動(dòng)力系統(tǒng)和瑞士Maxon電機(jī)與自己設(shè)計(jì)的齒輪減速裝置結(jié)合的方式來(lái)開(kāi)展針對(duì)于微小型四旋翼飛行器的研究工作.這些四旋翼飛行器都是國(guó)內(nèi)外具有代表性的旋翼飛行器，已經(jīng)具有很好的飛行性能與指標(biāo)［1］.但是在關(guān)鍵技術(shù)的研究上，還有諸多的困難值得去挑戰(zhàn)，如控制系統(tǒng)的最優(yōu)化、機(jī)械電氣結(jié)構(gòu)的精簡(jiǎn)、旋翼飛行器的持續(xù)航行的時(shí)間、飛行姿態(tài)的精確控制等，這使其距離真正走向成熟達(dá)到實(shí)用要求還有一定的差距.

相比較于四旋翼飛行器，三旋翼飛行器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、材料節(jié)省等優(yōu)勢(shì).但由于三旋翼飛行器是一種不對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)的飛行器，因此它的力矩分析、動(dòng)力學(xué)建模、姿態(tài)控制等與四旋翼大為不同.國(guó)內(nèi)外對(duì)于三旋翼飛行器的研究尚處于待開(kāi)發(fā)狀態(tài)，本文在國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究基礎(chǔ)上提出了三旋翼飛行器的研究方案，目的是為三旋翼飛行器的姿態(tài)控制研究提供有效途徑并豐富無(wú)人機(jī)領(lǐng)域的發(fā)展［2］.

1　三旋翼飛行器的力矩平衡分析

在三旋翼飛行器飛行過(guò)程中，螺旋槳電機(jī)會(huì)產(chǎn)生2種力，如圖1所示.一種是電機(jī)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力f1、f2、f3，扭轉(zhuǎn)力的方向可近似被認(rèn)為是繞著l1、l2、l3為軸的方向；另一種力是3個(gè)電機(jī)產(chǎn)生的升力F1、F2、F3［3］，如圖2所示，此組力為旋翼提供向上的力使飛行器在半空中能完成上下的飛行，升力的方向可近似看成是與l1、l2、l3端點(diǎn)接觸，垂直于x-y軸方向向上.當(dāng)飛行器處于懸停狀態(tài)時(shí)，應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足3個(gè)力矩的平衡條件使飛機(jī)不會(huì)繞著x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng).

第1個(gè)平衡條件，使三旋翼飛行器在懸停狀態(tài)下不繞著z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，f1、f2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，f3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以，可以得出平衡方程

第2個(gè)平衡條件，使三旋翼飛行器在懸停狀態(tài)下不繞著x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，F(xiàn)1、F2分別在x軸兩側(cè)，相反的力矩方向可以使飛行器不繞著x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到平衡方程

第3個(gè)平衡條件，使三旋翼飛行器在懸停狀態(tài)不繞著y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與F1、F2產(chǎn)生的相反的力矩，可列出平衡方程

式中l(wèi)0為飛行器的控制器配重O到重心O′的距離.

除上述的3個(gè)平衡條件之外，在懸停狀態(tài)下還需要3個(gè)螺旋槳提供的升力大小平衡旋翼飛行器的重量，由此可列出平衡方程

式中mg為飛行器總重量（包括配重器）.

假設(shè)x軸為正方向，在懸停狀態(tài)下x、y、z軸所受螺旋槳合力為［4］

單個(gè)電機(jī)可提供的升力為

式中:Ki為升力與轉(zhuǎn)速平方的比例系數(shù)；Fi為單個(gè)電機(jī)可提供的升力.

單個(gè)電機(jī)可提供的扭轉(zhuǎn)力為

式中:ki為升力與轉(zhuǎn)速平方的比例系數(shù)；fj為單個(gè)點(diǎn)擊可提供的升力.

由圖2可知，由圖可知，三旋翼飛行器在x、y、z軸上的力矩分析如下［5］

2　三旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型的建立

在建立三旋翼無(wú)人機(jī)的數(shù)學(xué)模型之前，必須求出適合三旋翼飛行器的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩，將物體坐標(biāo)通過(guò)歐拉公式轉(zhuǎn)換為地面坐標(biāo)［6］

式中:c表示cos；s表示sin.

在建立好坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣后，x、y、z軸3個(gè)方向三旋翼無(wú)人機(jī)受力情況為

根據(jù)牛頓第二定律，建立在地面坐標(biāo)下沿著x、y、z方向的線(xiàn)性方程為

式中K′為空氣的阻力系數(shù)，空氣的阻力和物體運(yùn)動(dòng)的速度成正比，再加上飛行器姿態(tài)角之間的耦合動(dòng)量矩又可通過(guò)力矩矩陣可得到角加速度的表達(dá)式［7］:

式中Ix、Iy、Iz分別為對(duì)應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

由此得出三旋翼直升機(jī)最終動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型方程為

由于飛行器在懸停狀態(tài)下對(duì)于姿態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié)的過(guò)程中，3個(gè)通道的角度變化不會(huì)太大，因此，項(xiàng)對(duì)于系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生太大的影響，可以在計(jì)算過(guò)程中不考慮這幾項(xiàng)的影響，為了保證飛行器在懸停狀態(tài)時(shí)需要監(jiān)測(cè)的狀態(tài)量為φ、θ、ψ，所以系統(tǒng)的輸出矩陣為Y=（φ，θ，ψ）T，在此選擇了4個(gè)輸入量u（1）、u（2）、u（3）、u（4），這4個(gè)輸入量的表達(dá)式為

由于l′1、l′2、l′3、l1、l2、l3由機(jī)體的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定，為常量，因此可知，系統(tǒng)的輸入量由電機(jī)3個(gè)旋葉的轉(zhuǎn)速所決定，從而建立起數(shù)學(xué)模型.

3　自抗擾姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)

自抗擾控制器是一種不用依賴(lài)精確的數(shù)學(xué)模型而通過(guò)局部誤差來(lái)抑制全局誤差的較為先進(jìn)的控制方法，具有算法簡(jiǎn)便、魯棒性好、抗噪聲性能好等優(yōu)點(diǎn).常見(jiàn)的自抗擾控制器分為非線(xiàn)性跟蹤微分器（tracking differentiator，TD）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer，ESO）和非線(xiàn)性誤差反饋控制模塊（nonlinear state error feedback，NLSEF）3個(gè)模塊［8］.跟蹤微分器TD能夠跟蹤參考輸入信號(hào)υ（t），安排預(yù)期過(guò)渡過(guò)程，還能夠于有限時(shí)間單調(diào)地跟上輸入信號(hào)，同時(shí)也給出過(guò)程的微分信號(hào)，用TD來(lái)安排過(guò)渡過(guò)程，是否預(yù)先得知目標(biāo)υ（t）的變化，更重要的是能否實(shí)時(shí)得到信號(hào)υ（t）的值使得系統(tǒng)輸?shù)某{(diào)減少，TD的輸入為υ（t），輸出υ1，υ2，…，υn.分別代表經(jīng)過(guò)分步柔化以后的各階導(dǎo)數(shù).擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器ESO能實(shí)時(shí)估計(jì)出作用與系統(tǒng)的擾動(dòng)總和，并給予補(bǔ)償?shù)霓k法替代誤差積分的反饋?zhàn)饔?而非線(xiàn)性誤差反饋控制模塊NLSEF能在非線(xiàn)性領(lǐng)域?qū)ふ腋线m的組合形式來(lái)形成誤差反饋律.自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示.

3.1非線(xiàn)性跟蹤微分器的設(shè)計(jì)

在許多經(jīng)典意義下的不可微函數(shù)作為輸入信號(hào)用許多傳統(tǒng)上的經(jīng)典方法無(wú)法跟蹤，但許多在經(jīng)典意義下不可微的函數(shù)卻有著其廣義函數(shù)，對(duì)廣義函數(shù)來(lái)說(shuō)，其微分運(yùn)算是比較自由的.所以自抗擾控制器引入非線(xiàn)性跟蹤微分器環(huán)節(jié)來(lái)構(gòu)造非線(xiàn)性微分跟蹤器.它的設(shè)計(jì)理論所述為

式（27）所有解都滿(mǎn)足

那么對(duì)任意局部可積信號(hào)υ（t），和任意T＞0，微分方程

的解的第1個(gè)分量x1（γ，t），將滿(mǎn)足

為了使系統(tǒng)能夠更好地跟蹤類(lèi)似階躍信號(hào)的控制量很大的信號(hào)，使預(yù)期過(guò)渡過(guò)程能更好地跟蹤輸入信號(hào)，現(xiàn)將f函數(shù)定為fhan（x1，x2，γ，h），表示為

式中:h為積分步長(zhǎng)；γ為速度因子.選擇合適的積分步長(zhǎng)和速度因子可以更好地跟蹤輸入號(hào).

3.2非線(xiàn)性誤差反饋設(shè)計(jì)

由于函數(shù)fhan（x1，x2，γ，h）［8］具有快速并消除震顫的特殊功能，因此用它來(lái)進(jìn)行狀態(tài)反饋的非線(xiàn)性配置，非線(xiàn)性PID和自抗擾控制器等一些中的誤差的非線(xiàn)性組合等是很理想的.

為了更有效地把fhan（x1，x2，γ，h）用于狀態(tài)反饋中，引入阻尼因子c來(lái)把fhan（x1，x2，γ，h）中的變量x2改成cx2，得fhan（x1，x2，γ，h）.

在上述公式當(dāng)中，c、γ、h1是可以調(diào)節(jié)的參數(shù)，c的有限調(diào)節(jié)可以減小震蕩［9］，抑制超調(diào)，γ、h1的調(diào)節(jié)與非線(xiàn)性跟蹤微分器的方法相同.

3.3擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

對(duì)于動(dòng)態(tài)過(guò)程而言，系統(tǒng)外部變量的觀測(cè)來(lái)確定系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的裝置叫做狀態(tài)觀測(cè)器，非線(xiàn)性狀態(tài)觀測(cè)器是可以推廣到任意階系統(tǒng)上［8］，如對(duì)系統(tǒng):

可以建立如下?tīng)顟B(tài)觀測(cè)器

在進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)，為了避免高頻顫振現(xiàn)象的出現(xiàn)，把函數(shù)|e1|αsign（e1）改造成原點(diǎn)附近具有線(xiàn)性段的連續(xù)的冪次函數(shù)

最后，使用基于fal函數(shù)的觀測(cè)器方程組

式中:β01、β02、β03為可選參數(shù)；α越小，跟蹤越快［10］，但是會(huì)影響觀測(cè)器濾波的效率，本文依據(jù)每個(gè)模塊的整定方法，整定出一組合適的參數(shù).

4　三旋翼飛行器的控制模擬仿真

在上述建模過(guò)程中，將三旋翼三通道耦合系統(tǒng)通過(guò)數(shù)學(xué)變換變成了四通道單輸入輸出系統(tǒng)，更方便用經(jīng)典的PID控制方法和自抗擾控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制調(diào)節(jié).

通過(guò)三維仿真軟件可測(cè)得該設(shè)計(jì)機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量分別為

三旋翼自抗擾控制器的設(shè)計(jì)思路如圖4所示.

本文采用Matlab進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖5～16），在各個(gè)姿態(tài)角上對(duì)跟蹤，3°、10°、30°階躍信號(hào)的PID控制與自抗擾控制仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并且在以上跟蹤30°階躍信號(hào)的參數(shù)上對(duì)于偏航30°進(jìn)行白噪聲干擾和俯仰通道跟蹤正弦信號(hào)和方波信號(hào)的實(shí)驗(yàn)，各個(gè)參數(shù)的值見(jiàn)表1～3（各姿態(tài)角參數(shù)）.

表1　10°姿態(tài)角自抗擾參數(shù)Table 1 10°attitude angle ADRC parameters

仿真結(jié)果表明:在各個(gè)單通道姿態(tài)角上的不同角度的階躍信號(hào)的響應(yīng)，自抗擾控制算法超調(diào)量要比PID控制算法小，并且響應(yīng)速度比PID控制算法要迅速.而對(duì)于較小的角度的階躍響應(yīng)，采用較大的速度因子γ、γ1會(huì)使得系統(tǒng)的超調(diào)量增大或使系統(tǒng)的曲線(xiàn)不平滑以及欠補(bǔ)償?shù)纫幌盗胁环€(wěn)定的現(xiàn)象，所以，選擇合適的步長(zhǎng)h，合適的速度因子γ、γ1來(lái)跟蹤不同數(shù)值的角度階躍信號(hào)，在跟蹤30°階躍信號(hào)的參數(shù)下進(jìn)行白噪聲實(shí)驗(yàn)和跟蹤正弦信號(hào)和方波信號(hào)的實(shí)驗(yàn)中，可以看到自抗擾控制方法相比于PID控制方法具有更好地抗干擾和跟蹤信號(hào)的能力，由此可以充分地體現(xiàn)自抗擾控制的有效性和抗干擾性.

表2　3°姿態(tài)角自抗擾參數(shù)Table 2 3°attitude angle ADRC parameters

表3　30°姿態(tài)角自抗擾參數(shù)Table 3 30°attitude angle ADRC parameters

5　結(jié)論

1）相比于傳統(tǒng)的PID控制方法，自抗擾控制方法具有更好的跟蹤階躍信號(hào)的優(yōu)勢(shì).

2）在此基礎(chǔ)上，針對(duì)于不同幅值的階躍信號(hào)可采取不同的參數(shù)進(jìn)行跟蹤.

3）在白噪聲的抗干擾實(shí)驗(yàn)中，自抗擾控制方法比PID控制方法具有更好的抗噪聲效率.

4）在三旋翼動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，自抗擾控制方法跟蹤不同種類(lèi)的信號(hào)比PID控制方法效果更好.

［1］趙曉輝，國(guó)倩倩.微型四旋翼飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及控制方法研究［D］.長(zhǎng)春:吉林大學(xué)，2013.ZHAO X H，GUO Q Q.Study on design and control method for mini-quadrotor UAV control system［D］.Changchun:Jilin University，2013.（in Chinese）

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［6］DANG T Q，BUSHNELL P R.Aero dynamics of cross-flow fans and their application to aircraft propulsion and flow control［J］.Aerospace Sciences，2009（45）:1-29.

［7］陳航科，張東升，盛曉超，等.四旋翼飛行器懸停狀態(tài)姿態(tài)控制建模與仿真［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2013，30（11）:41-42.CHEN H K，ZHANG D S，SHENG X C，et al.Modeling and attitude control simulation for four rotor aircraft in hover［J］.Computer Simulation，2013，30（11）:41-42.（in Chinese）

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（責(zé)任編輯 楊開(kāi)英）

Modeling of Three-rotor Aircraft and Its Attitude Based on ADRC

RUAN Xiaogang，ZHANG Xiaorui，WANG Danyang
（School of Electronic Information and Control Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

According to the status of rotorcraft and mechanical structure of three-rotor，this paper analyzed the torque of a three-rotor aircraft and established its mathematical model.Active disturbance rejection control（ADRC）was applied to the control of attitude.To investigate the performance between ADRC and PID，series of comparative experiments were carried out.Results show that different sizes of step signal can be adjusted by different parameters in ADRC，and ADRC is more effective and rapid than PID.ADRC can not only keep the general framework and structure of PID，but also has better performance on filtering and robustness，which has important guiding significance in engineering and experiments.

three-rotor aircraft；mathematical model；active disturbance rejection control（ADRC）；robustness

U 461；TP 308

A

0254-0037（2016）10-1461-07

10.11936/bjutxb2015020006

2015-02-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61375086）；國(guó)家“973”計(jì)劃資助項(xiàng)目（2012CB720000）

阮曉鋼（1958—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)方面的研究，E-mail:adrxg@bjut.edu.cn