王　海，薛　彬，楊春來(lái)，付邦晨，邱皖群

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，安徽蕪湖241000；2.先進(jìn)數(shù)控與伺服驅(qū)動(dòng)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽蕪湖241000）

基于壓電陶瓷的柔性機(jī)器人主動(dòng)抑振控制策略研究*

王海1，2*，薛彬1，2，楊春來(lái)1，2，付邦晨1，2，邱皖群1，2

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，安徽蕪湖241000；2.先進(jìn)數(shù)控與伺服驅(qū)動(dòng)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽蕪湖241000）

柔性機(jī)器人因其輕質(zhì)、高效、低能耗等優(yōu)點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用于航空航天，工業(yè)制造等諸多領(lǐng)域。然而，柔性機(jī)構(gòu)易產(chǎn)生彎曲變形，引起系統(tǒng)振動(dòng)而大大降低機(jī)器人的工作精度。為提高柔性機(jī)器人的工作性能，多種抑振策略得以研究與應(yīng)用。提出了基于壓電陶瓷（PZT）的柔性機(jī)器人振動(dòng)主動(dòng)抑制策略。其中，PZT傳感器和PZT制動(dòng)器分別被用來(lái)檢測(cè)和抑制柔性臂的振動(dòng)。本文構(gòu)建了基于PZT材料的單自由度柔性機(jī)械臂的理論模型，并獲得了傳感電壓與制動(dòng)電壓的傳遞函數(shù)。設(shè)計(jì)了一個(gè)可變控制方案的抑振器以抑制系統(tǒng)在不同頻率下的振動(dòng)。在COMSOL中進(jìn)行仿真，獲得了系統(tǒng)的抑振率。根據(jù)仿真結(jié)果顯示，柔性臂在前三階振動(dòng)下，臂的末端位移分別得到了57.04%，57.76%與58.96%的抑制；系統(tǒng)的動(dòng)能得到了57.95%，71.19%與87.81%的抑制。

柔性機(jī)器人；壓電片；主動(dòng)振動(dòng)抑制；傳遞函數(shù)

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.012

工業(yè)機(jī)器人分為剛性機(jī)器人與柔性機(jī)器人［1］。剛性機(jī)器人由于其高質(zhì)量，高硬度，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中常被假設(shè)無(wú)彈性變形。然而，在高速運(yùn)動(dòng)和較高載荷質(zhì)量比的場(chǎng)合，這種假設(shè)失效。柔性機(jī)器人相對(duì)于剛性機(jī)器人具有輕質(zhì)，高效，低能耗的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天，工業(yè)制造等領(lǐng)域［2］。然而，柔性機(jī)構(gòu)的低阻尼和高柔性，易使系統(tǒng)的工作精度和穩(wěn)定性易受到破壞。

抑振方式可分為主動(dòng)抑振和被動(dòng)抑振。基于開(kāi)環(huán)控制的被動(dòng)抑振技術(shù)具有較高的穩(wěn)定性并且較易搭建抑振平臺(tái)。然而，被動(dòng)控制系統(tǒng)的魯棒性較低，對(duì)不同系統(tǒng)的適應(yīng)力較弱，此外，被動(dòng)抑振系統(tǒng)的應(yīng)用由于增加了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量使其運(yùn)輸和工作能力大大降低。Francisco Palacios-Q［3］設(shè)計(jì)了一個(gè)被動(dòng)阻尼系統(tǒng)用于柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制，該系統(tǒng)對(duì)于高頻振動(dòng)具有較明顯的抑制效果，但并不適用于低頻抑振。主動(dòng)抑振技術(shù)的發(fā)展彌補(bǔ)了被動(dòng)控制的不足。主動(dòng)抑振技術(shù)的工作原理是通過(guò)抑振器相對(duì)于柔性構(gòu)建的反向運(yùn)動(dòng)來(lái)減少或抑制系統(tǒng)的振動(dòng)。主動(dòng)抑振技術(shù)更適用于系統(tǒng)參數(shù)實(shí)時(shí)變化的場(chǎng)合。它可以通過(guò)控制算法的應(yīng)用及調(diào)整以適應(yīng)不同工況的需求。

柔性機(jī)器人的主動(dòng)抑振可以通過(guò)關(guān)節(jié)抑振來(lái)實(shí)現(xiàn)。然而，柔性關(guān)節(jié)控制的有效性對(duì)于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與轉(zhuǎn)動(dòng)速度有一定的局限性。John［4］基于PID控制方法構(gòu)建了柔性機(jī)器人關(guān)節(jié)抑振系統(tǒng)，在柔性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的一定角度范圍內(nèi)有著顯著的抑振效果，但有效的控制角度較小。目前以智能材料作為傳感器和制動(dòng)器的抑振技術(shù)已經(jīng)得到了廣泛的研究與應(yīng)用。這些傳感器與制動(dòng)器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，體積小，輕質(zhì)，壓電轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點(diǎn)［5］。近年來(lái)的研究大多致力于使用一對(duì)或多對(duì)PZT傳感器與驅(qū)動(dòng)器構(gòu)建閉環(huán)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)抑振?；趬弘姴牧系目刂破鞔蠖嘁怨潭〝?shù)量及位置的PZT片構(gòu)建［6-9］。然而，對(duì)于不同頻率振動(dòng)下的柔性機(jī)構(gòu)，可變位置與結(jié)構(gòu)的壓電材料抑振器的抑振效果更佳［10-12］。

在本文中，控制器由4對(duì)PZT片構(gòu)成，當(dāng)不同對(duì)的PZT片工作時(shí)，控制系統(tǒng)可提供三種方案來(lái)抑制柔性機(jī)構(gòu)前三階諧振頻率下的振動(dòng)。通過(guò)在COMSOL中的數(shù)值仿真，獲得抑振前后柔性臂的末端位移與系統(tǒng)動(dòng)能的變化以判斷抑振率。柔性臂末端的位移直接影響著機(jī)器人的工作精度，抑振過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為內(nèi)能并降低。

1　基于壓電材料的柔性機(jī)器人建模

以單自由度柔性機(jī)器人為例，根據(jù) Euler-Bernoulli理論，可將懸臂梁視為單自由度的柔性機(jī)構(gòu)。對(duì)該懸臂梁進(jìn)行建模，研究基于壓電材料的柔性機(jī)構(gòu)主動(dòng)抑振。如圖1所示，截面為矩形的懸臂梁在x=0處為固定端，在x=L處為自由端。PZT制動(dòng)器與傳感器相互對(duì)應(yīng)分別粘貼在梁的上下表面。定義PZT制動(dòng)器的位置為xai，PZT傳感器的位置為xsi，懸臂梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，壓電片的長(zhǎng)度為l。

圖1　基于PZT傳感器與制動(dòng)器的懸臂梁模型

柔性懸臂梁的動(dòng)力學(xué)方程表示為：

其中，R（x）為廣義位置函數(shù)，ρb為質(zhì)量密度，Ab為梁的橫截面積，Eb為楊氏模量，Ib為梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，hb為梁的厚度，ha為梁的寬度。以無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式表示懸臂梁的橫向位移ω（x，t）：

其中，ηi（t）為第i階廣義位移的時(shí)間函數(shù)，фi（t）為懸臂梁的第i階模態(tài)振型：

其中，前 3個(gè)常數(shù)值為：λ1=1.875 1，λ2=4.694 0，λ3=7.854 7。制動(dòng)器產(chǎn)生的力矩為Ma（t）=CaVa（t）其中，Ca為制動(dòng)常數(shù)，Va（t）為PZT制動(dòng)器的制動(dòng)電壓：

增加了阻尼ζi后，式（1）可表示為：

其中，Ka為驅(qū)動(dòng)器常數(shù)，ωni為第n個(gè)懸臂梁的第i階諧振頻率，阻尼被假設(shè)為ζ1=0.01，ζ2，3=0.005。傳感電壓Vs（t）與傳感器表面產(chǎn)生的電荷量Q（t）之間的關(guān)系可表示為：

其中，Cs為壓電材料單位面積的電容，bs（xs2-xs1）為PZT傳感器的表面積。

根據(jù)式（7）與式（8），通過(guò)MATLAB的理論仿真獲得了傳遞函數(shù)的伯德圖，柔性臂與壓電片的參數(shù)如表1所示。

表1　柔性臂與壓電材料的參數(shù)

圖2為懸臂梁末端位移的頻域響應(yīng)，第一個(gè)波峰產(chǎn)生于一階諧振頻率處，其幅值高于二階峰值15 dB，且高于三階峰值22 dB。

圖2　懸臂梁末端位移的頻域響應(yīng)

圖3顯示了相似的結(jié)果，傳感電壓一階頻率處的響應(yīng)峰值高于二階響應(yīng)峰值15 dB，高于三階峰值68 dB。由于頻域響應(yīng)的峰值量級(jí)隨頻率階數(shù)的升高呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，本文對(duì)懸臂梁的前三階模態(tài)進(jìn)行研究以代替其無(wú)窮級(jí)數(shù)的模態(tài)。

圖3　傳感電壓的頻域響應(yīng)

2　基于COMSOL的數(shù)值仿真

在COMSOL中進(jìn)行數(shù)值仿真，獲得懸臂梁的前三階諧振頻率，并將其與理論分析的諧振頻率結(jié)果相比較，如表2所示。

表2　2種方法下獲得的柔性臂前三階諧振頻率對(duì)比　單位：Hz

如表2所示，理論分析與數(shù)值仿真所獲結(jié)果接近，驗(yàn)證了理論模型構(gòu)建的準(zhǔn)確性。

PZT傳感器與制動(dòng)器的數(shù)量與粘貼于懸臂梁的位置對(duì)抑振效果有著重要的影響，如圖5所示，4個(gè)PZT片分別粘貼在距柔性臂夾緊端0 mm，80 mm，160 mm與230 mm處。壓電材料作為制動(dòng)器通過(guò)逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生反向的彎矩抑制臂的彎曲。以柔性臂末端的位移以及系統(tǒng)動(dòng)能的大小為振動(dòng)強(qiáng)弱的判斷依據(jù)，因此省略PZT傳感器。通過(guò)調(diào)整振動(dòng)頻率使柔性臂在不同模態(tài)下振動(dòng)。根據(jù)如圖4所示的懸臂梁前三階模態(tài)圖，3種不同方案的壓電片組合構(gòu)成的可變抑振器如圖5所示。0 mm處的PZT制動(dòng)器用以抑制一階模態(tài)的振動(dòng)；160 mm處的PZT制動(dòng)器用以控制二階模態(tài)的振動(dòng)；80 mm與230 mm處的PZT制動(dòng)器用以抑制三階模態(tài)的振動(dòng)。

圖4　基于COMSOL仿真的懸臂梁前三階振型

圖5　3種抑振方案的抑振器設(shè)計(jì)圖

基于PZT制動(dòng)器的柔性臂系統(tǒng)在COMSOL中進(jìn)行仿真，并判斷其抑振率。一個(gè)幅值為1 mm的正弦位移信號(hào)施加于柔性臂的夾緊端。同時(shí)，幅值為10 V的制動(dòng)電壓作用于PZT制動(dòng)器以模擬位移反饋的閉環(huán)控制。振動(dòng)信號(hào)與制動(dòng)信號(hào)的頻率設(shè)定為15 Hz，100 Hz與250 Hz。根據(jù)柔性臂末端位移與系統(tǒng)動(dòng)能的變化來(lái)判斷抑振器的工作效率。

定義抑振效率為：

其中，N為峰值數(shù)，pij為第j個(gè)壓電片的第i個(gè)峰值，pio為開(kāi)環(huán)響應(yīng)的第i個(gè)峰值。

3　仿真結(jié)果

如式（9）所示可得抑振器的抑振率。圖6（a）顯示了一階振動(dòng)下的懸臂梁受3種方案抑振時(shí)的末端位移相比于開(kāi)環(huán)響應(yīng)分別獲得了57.04%，49.95%和23.57%的抑制。圖6（b）顯示了在3種方案下系統(tǒng)動(dòng)能的抑制率分別為57.95%，49.39%與23.61。

圖6　柔性臂在一階振動(dòng)下抑振效果的比較

如圖7所示，當(dāng)柔性臂以二階頻率振動(dòng)時(shí)，方案1、方案2、方案3對(duì)臂的末端位移分別產(chǎn)生了44.39%、57.76%和29.35%的抑制。對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)能抑制分別為64.14%、71.19%和39.86%。

圖7　柔性臂在二階振動(dòng)下抑振效果的比較

如圖8所示，柔性臂在三階頻率下振動(dòng)時(shí)，3個(gè)方案對(duì)臂末端位移產(chǎn)生了18.37%、51.08%和58.96%的抑制，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)能產(chǎn)生了34.13%、78.32%和87.81%的抑制。

圖8　柔性臂在三階振動(dòng)下抑振效果的比較

抑振器的抑振率可分為對(duì)柔性臂末端位移的抑制與對(duì)系統(tǒng)動(dòng)能的抑制。根據(jù)COMSOL的仿真結(jié)果，3種抑振方案分別對(duì)在前三階頻率振動(dòng)下的柔性臂產(chǎn)生的抑振率如表3所示。

對(duì)于一階振動(dòng)，表中顯示方案1抑振效果最佳，梁末端位移得到57.04%的抑制，系統(tǒng)動(dòng)能得到57.95%的抑制。方案3抑振率最低，分別為23.57%與23.61%。柔性臂末端位移與系統(tǒng)動(dòng)能反應(yīng)了相同的抑振趨勢(shì)。對(duì)于二階振動(dòng)，方案2的抑振效果最佳，梁末端位移得到57.76%的抑制，系統(tǒng)動(dòng)能得到71.19的抑制。方案3抑振率最低，為29.35%與39.86%。對(duì)于三階振動(dòng)，方案3抑振效果最佳，梁位移與動(dòng)能分別減少58.96%與87.81%，方案1抑振率最低，為18.37%與34.13%。

4　總結(jié)

本文構(gòu)建了基于PZT材料的柔性機(jī)械臂振動(dòng)主動(dòng)抑制的理論模型。設(shè)計(jì)了由3種可變抑振方案構(gòu)成的閉環(huán)控制抑振器?；贑OMSOL的仿真結(jié)果可得如下結(jié)論：柔性臂一階振動(dòng)時(shí)，臂的夾緊端處（x=0 mm）為最佳抑振位置；柔性臂二階振動(dòng)時(shí)，臂的長(zhǎng)度中間位置（x=160 mm）抑振效果最佳：柔性臂三階振動(dòng)時(shí)，臂上兩處位置（x=80 mm，230 mm）共同制動(dòng)效果最佳。后期的工作將致力于搭建抑振系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)以驗(yàn)證可變抑振器工作的有效性。

［1］ Khairudin M，Mohamed Z，Zain Z.M.Modeling of a Two-Link Flexible Manipulator［J］.Instrumentation and Mechatronic Engineering，2009，35（17）：191-199.

［2］ Fan Jixiang，Yin Yanzong.Composite Control Method for Active Vibration Suppression of Tethered Spacecraft［J］.WIT Transactions on Information and Communication Technologies，2014，36（10）：1113-1121.

［3］ Francisco Palacios-Qui，Hamid R Karimi，Josep Rubio-Massegu. Passive-Damping Design for Vibration Control of Large Structures［J］.10th IEEE International Conference on Control and Automation，2013，60：33-38.

［4］ Djojodihardjo Harijono，Jafari Mohammad，Wiriadidjaja Surjatin. Active Vibration Suppression of an Elastic Piezoelectric Sensor and Actuator Fitted Cantilevered Beam Configurations as a Generic Smart Composite Structure［J］.Composite Structures，2015，158（2/3）：848-863.

［5］ Chacon J，Beschiy M，Sanchez J，et al.Experimental Analysis of a Remote Event-Based PID Controller in a Flexible Link System［J］.IEEE Emerging Technology and Factory Automation，2014，4（8）：1-6.

［6］ John TAgee，Zafer Bingul，Selcuk Kizir.Tip Trajectory Control of a Flexible-Link Manipulator Using an Intelligent Proportional Integral（iPI）Controller，Transactions of the Institute of Measurement and Control，2004，36（10）：2942-2947.

［7］ Crawley E F，DeLuis J.Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures［J］.AIAA Journal，1987，89（2/3）：1373-1385.

［8］ 朱燈林，呂蕊，俞潔.壓電智能懸臂梁的壓電片位置尺寸及控制融合優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械工程，2009，45（2）：262-267.

［9］ 曹玉巖，王志臣，付世欣，等.智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制與作動(dòng)器優(yōu)化配置［J］.振動(dòng)與沖擊，2015，23（5）：26-32.

［10］譚國(guó)金，劉寒冰，程永春，等.基于車(chē)-橋耦合振動(dòng)的簡(jiǎn)支梁橋沖擊效應(yīng)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（1）：62-67.

［11］張端，林晨寬，何熊熊.低頻振動(dòng)能量收集裝置的設(shè)計(jì)和數(shù)值模擬［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，25（9）：1268-1273.

［12］孫華，劉波，周海濱，等.一種基于等強(qiáng)度梁的光纖光柵高頻振動(dòng)傳感器［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，22（9）：1270-1275.

王海（1976-），男，安徽省蕪湖市人，安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，博士，教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制技術(shù)，wanghai.20000@163.com；

薛彬（1990-），男，江蘇省南京市人，安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制技術(shù)，1132436179@qq.com。

Active Vibration Control of a Flexible Manipulator Using Piezoelectric Patches*

WANG Hai1，2*，XUE Bin1，2，YANG Chunlai1，2，F(xiàn)U Bangchen1，2，QIU Wanqun1，2
（1.College of Mechanical and Automotive Engineering，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China；2.An Hui Key Laboratory of Advanced Numerical Control&Servo Technology，Wuhu Anhui 241000，China）

Flexible manipulators have been widely used because of its light weight，low power consumption and high efficient.However，lightweight structures result in unwanted vibration，which pose system into a low working accuracy.Suppression methods are used to improve performance of the flexible manipulators.An active control method based on PZT patches for flexible manipulator was proposed.A PZT sensor was used to detect the vibration.Meanwhile，a PZT actuator was used to suppress the vibration.A theoretical model of single freedom flexible manipulator with PZT patches was set up.The transfer function of the sensor voltage and actuator voltage was obtained.A changeable controller was designed to suppress the vibration at different frequencies.The vibration suppression efficiency of the above system was numerical simulated in COMSOL.Some conclusions can be obtained based on simulation results，such as 57.04%，57.76%and 58.96%reduction of the tip displacement of the beam，57.95%，71.19%and 87.81%suppression of total kinetic energy of the system can be realized at the three different frequencies respectively.

flexible manipulator；piezoelectric patches；active vibration control；transfer function

TP242.2

A

1004-1699（2016）07-1016-05

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51275001，51375469）

2016-02-24修改日期：2016-03-20