侯曉偉，李菊萍，郭俊杰

（寧波中車時代傳感技術有限公司，浙江寧波315021）

基于磁場積分方程法的磁通門瞬態(tài)分析*

侯曉偉*，李菊萍，郭俊杰

（寧波中車時代傳感技術有限公司，浙江寧波315021）

利用靜態(tài)積分方程法來分析設計磁通門，雖然能夠使計算時間大大減少，而且在精度方面也可以達到磁通門的要求，但是靜態(tài)積分方程法沒有準確考慮頻率的影響，只能對磁通門進行準靜態(tài)分析，而對磁通門進行瞬態(tài)分析的問題未能得到解決。本文根據磁通門鐵芯特點，研究了基于磁場積分方程法的磁通門準靜態(tài)分析模型，在此基礎上，對其數學模型改進，建立了可以對磁通門進行瞬態(tài)分析的數學模型。最后以長條形磁通門為例驗證了模型，仿真與實驗結果符合良好。

磁通門；瞬態(tài)分析；積分方程法；準靜態(tài)分析；鐵芯；頻率

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.014

有限元方法作為一種成熟的方法，用其分析優(yōu)化磁通門探頭結構是一種常用的方法。Baschirotto A等［1-3］采用有限元軟件分析設計了一系列的平面磁通門，并詳細介紹了有限元軟件分析磁通門的步驟以及剖分等關鍵步驟的處理。從中可以看出有限元方法需要大量的計算資源，計算時間長，例如文獻［3］中僅鐵芯的剖分單元就為288259，采用P4 2.4 GHz處理器進行一次磁通門瞬態(tài)分析所需的時間約為120個小時。如果想知道磁通門線性范圍，最佳激勵條件等還要進行多次瞬態(tài)分析，說明有限元法是非常費時的。盡管積分方程法剖分簡單，待求解未知量少，但由于非對稱滿陣導致占用資源大，計算時間長，所以積分方程法一直被忽略，沒有限元應用廣。隨著快速多極子方法在積分方程法中的應用，非對稱滿陣問題得到解決［4-6］。采用積分方程法處理電磁問題的研究也越來越多。2010年Vuillermet Y等［7-9］提出采用靜態(tài)積分方程法分析磁通門，解決有限元法碰到的計算時間長問題。并將該方法與有限元法和傳統(tǒng)采用退磁系數考慮鐵芯形狀的方法進行對比［7-8］，結果顯示采用退磁系數的方法計算時間短，但在精度方面遠不能與積分方程法和有限元法相比；與有限元法相比，靜態(tài)積分方程法計算時間大大減少，而且在精度方面也可以達到磁通門的要求。靜態(tài)積分方程法在采用退磁系數法和有限元法之間提供了一個很好的折中。但是Vuillermet Y在其論文［8］結尾也指出了一個問題，靜態(tài)積分方程法只對磁通門進行了準靜態(tài)分析。研究積分方程法瞬態(tài)分析磁通門是一個待解決的問題。文獻［10］介紹的瞬態(tài)積分方程法雖然能夠對電磁問題進行瞬態(tài)分析，然而這種方法涉及到磁場、磁化強度、渦流密度、磁矢量勢、電標量勢等未知量，待求解的未知數較多，求解復雜。目前還沒有看到采用積分方程法解決磁通門瞬態(tài)問題的相關研究。針對此問題，本文根據磁通門鐵芯特點［11-12］，研究了基于積分方程法的磁通門準靜態(tài)分析模型，在此基礎上，對其數學模型改進，建立了可以對磁通門進行瞬態(tài)分析的數學模型。最后以長條形磁通門為例進行了驗證分析。

1　基于磁場積分方程的磁通門分析

考慮如下問題：磁通門鐵芯置于外磁場（被測磁場和線圈電流產生的激勵磁場）中。已知鐵芯的形狀參數和鐵芯材料的磁化曲線，求解在外磁場中鐵芯內部的磁場和磁化強度分布。這里考慮采用積分方程法來解決此問題。磁通門鐵芯通常為薄片，考慮到激勵磁場和被測磁場沿著鐵芯表面，磁通門鐵芯的厚度遠小于其它尺寸，因此垂直鐵芯表面方向的磁化強度可以忽略不計，可近似認為鐵芯薄片內部的磁場主要平行于其表面［13］。另外磁通門接收線圈中感應到的是沿鐵芯平面的磁場分量產生的磁通，而與之垂直的鐵芯橫截面內的磁場分量不會對接收線圈輸出電壓產生影響，因此磁通門鐵芯的數學模型可以簡化為平面二維模型。

1.1基于磁場積分方程的磁通門準靜態(tài)分析

根據磁場疊加原理，對于上述問題，磁通門鐵芯任意一點的總磁場可以分為三部分：

其中He和Hm為源場，He為激勵電流產生的磁場，Hm為被測外磁場，Hd為鐵芯材料產生的退磁場，旋度為零。

將磁通門鐵芯剖分為n個單元，分析時的假設條件為：①每個單元內的磁化強度是均勻的；②磁荷只在單元之間的交界面以及鐵芯與空氣的邊界出現(xiàn)?？傻茫?/p>

其中hi為第i個單元的總磁場強度，為激勵電流在第i個單元產生的磁場，為被測外磁場在第i個單元產生的磁場，為鐵芯材料在第i個單元產生的退磁場，mi為第i個單元的磁化強度，下標x和y分別表示在鐵芯平面x軸和y軸方向的磁場分量。

1.1.1激勵磁場計算

根據畢奧-薩伐定律，可以求得激勵電流在場點r處產生的磁場強度為：

其中nJ為激勵電流方向，J為激勵電流密度，r為磁場的坐標，r′為電流的坐標，dV為激勵電流體積微元。

1.1.2退磁場計算

由鐵芯材料產生的退磁場所滿足的方程為：

退磁場旋度為零，存在一個標量滿足：Hd=-??。而標量所滿足的方程為：

鐵芯材料所有剖分單元在第i個單元產生的磁場為：

其中?j為第j個單元對應的磁標勢，r為源點和場點之間的距離，mj為第j個單元的磁化強度，sj為第j個單元的外表面，其中dsj=dsjn，n為第j個單元沿外表面法線單位矢量。將式（3）和式（6）代入式（2）可得：

退磁矩陣wij的計算詳見文獻［14］。聯(lián)立式（7）與鐵芯材料的磁化曲線，建立磁通門準靜態(tài)分析模型，即可求解被測磁場和激勵電流產生的激勵磁場中鐵芯內部的磁場和磁化強度分布，從而求得磁通門準靜態(tài)輸出信號。

1.2基于磁場積分方程的磁通門瞬態(tài)分析

1.1節(jié)所研究的方法由于沒有考慮頻率對電磁場計算結果的影響，僅限于對電磁場進行準靜態(tài)分析，無法對磁通門進行瞬態(tài)分析。本節(jié)在1.1.1節(jié)的磁通門準靜態(tài)分析方法基礎上，研究引入頻率的影響，建立磁通門瞬態(tài)分析模型，對磁通門輸出信號進行瞬態(tài)分析。

在低頻情況下可以忽略位移電流［10］，電流密度i可分解為渦流ie和給定的激勵電流密度i0，即i=ie+io。根據磁場疊加原理，考慮渦流的影響后，磁通門鐵芯內磁場強度Hs（與前面采用H表示鐵芯內磁場不同，這里為方便起見，用Hs表示鐵芯內磁場）可以分解成：

H0是源磁場，包括給定的電流產生的磁場強度和被測外磁場，Heddy是渦流產生的寄生磁場，Hd是鐵芯材料產生的退磁場。

將渦流產生的磁場強度移項到左端，并記H=H0+Hd，可得 Hs=H+Heddy，鐵芯內磁場方程組為：

其中鐵芯材料數學模型M（H）為：

對于一些特殊形狀的鐵芯，如薄片狀，圓柱狀等，可以用鐵芯形狀參數和磁感應強度時變率表示渦流產生的寄生磁場［15-17］。

以分析長條形磁通門為例，忽略橫向磁場影響，采用文獻［18］介紹的鐵芯材料的數學模型。在外磁場H中，鐵芯材料內的磁場Hs與磁化強度M的關系由以下方程組描述：

以上研究了采用靜態(tài)磁場積分方程怎樣分析瞬態(tài)問題，瞬態(tài)磁場積分方程組與靜態(tài)磁場積分方程組形式相同，頻率的影響可以歸結為調用考慮頻率的鐵芯材料數學模型。

2　磁通門瞬態(tài)分析模型驗證分析

以長條形磁通門（圖1所示）為例對1.2節(jié)提出的磁通門瞬態(tài)分析模型進行驗證分析。激勵線圈和接收線圈都采用均勻繞線的方式。激勵線圈匝數為330，接收線圈匝數為1 100。鐵芯材料是長度、寬度和厚度分別為30 mm、1 mm和0.1 mm的坡莫合金。鐵芯材料模型由式（11）描述，其模型參數為 a=1.069 4×10-6，c=0.3，k=1.714 3，MS=5.98×105，Ru=0.399 7，H0=0.000 1，H1=1.1263×10-20，a0=0.082 7，a1=0.020 1，N=0.001 4。圖2為正弦電壓激勵的長條形磁通門等效電路。其中鐵芯材料由式（11）所示的模型描述。AC為交流激勵電流源，R是值為13.3 Ω的激勵線圈電阻，Hx為沿著鐵芯表面x軸方向的被測磁場，Vout為磁通門的輸出信號。

圖1　長條鐵芯磁通門

圖2　長條鐵芯磁通門等效電路

采用正弦電壓信號對磁通門進行激勵，比較了考慮三種不同頻率條件下（1 kHz、3 kHz和5 kHz）的基于磁場積分方程的磁通門瞬態(tài)分析模型的仿真結果和實驗結果。圖3、圖7和圖11分別表示在三種不同頻率和激勵信號幅值條件下，激勵線圈電流的仿真結果和實驗結果比較。圖4、圖8和圖12分別表示在三種不同頻率和激勵信號幅值條件下，接收線圈輸出電壓的仿真結果和實驗結果比較。圖5、圖9和圖13分別表示在三種不同激勵頻率條件下，磁通門鐵芯的仿真磁滯回線和實驗磁滯回線的比較。圖6、圖10和圖14分別表示被測磁場為30 μT時及三種不同的頻率條件下，隨著激勵電壓增大，輸出二次諧波電壓幅值與激勵線圈電流幅值的關系。

圖3　激勵線圈電流的仿真結果和實驗結果比較

圖4　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結果和實驗結果比較

圖5　激勵頻率為1 kHz時的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實驗比較

圖6　激勵頻率為1 kHz時二次諧波幅值與激勵線圈電流幅值的關系

圖7　激勵線圈電流的仿真結果和實驗結果比較

圖8　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結果和實驗結果比較

圖9　激勵頻率為3 kHz時的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實驗比較

圖10　激勵頻率為3 kHz時二次諧波幅值與激勵線圈電流幅值的關系

圖11　激勵線圈電流的仿真結果和實驗結果比較

圖12　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結果和實驗結果比較

圖13　激勵頻率為5 kHz時的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實驗比較

圖14　激勵頻率為5 kHz時二次諧波幅值與激勵線圈電流幅值的關系

由圖3、圖4、圖7、圖8、圖11和圖12可以看出，因為實際中的激勵電流需要一定的響應時間，在開始的一段時間內，激勵電流和輸出信號的實驗值滯后于仿真模型中的激勵電流和輸出信號。在后續(xù)的時間條件下，仿真中的激勵電流和輸出信號與實驗中的激勵電流和輸出信號吻合良好。從圖5、圖9和圖13可以看出，仿真磁滯回線與實驗得到的磁滯回線幾乎一致。從圖6可以看出，在小于95 mA的激勵電流條件下，由仿真模型得到磁通門二次諧波幅值略低于實驗測得的磁通門二次諧波幅值；在大于95 mA的激勵電流條件下，由仿真模型得到的磁通門二次諧波幅值高于實驗測得的磁通門二次諧波幅值。而圖10和圖14中隨著激勵電流的增大，二次諧波的仿真值略低于實驗值。表1給出了在被測磁場為30 μT時及三種不同的頻率條件下，二次諧波最大值的仿真結果與實驗結果的對比。

表1　二次諧波最大值的仿真結果與實驗結果對比

從仿真結果與實驗結果的對比可以看出，隨著激勵電壓和激勵頻率的改變，仿真結果準確的反應了線圈電流、輸出電壓等參數的變化。表明磁通門瞬態(tài)分析模型準確地綜合考慮了探頭結構、鐵芯材料、激勵電壓、激勵頻率等因素的影響，準確地考慮了隨著頻率增大而增強的磁感應強度滯后現(xiàn)象。如果采用文獻［8-9］的方法，鐵芯材料由磁化曲線描述，無法考慮頻率引起的磁感應強度滯后現(xiàn)象，只能對磁通門進行準靜態(tài)分析。

3　小結

采用靜態(tài)積分方程法對磁通門準靜態(tài)分析不能準確考慮頻率的影響，瞬態(tài)積分方程法雖然能夠對磁通門進行瞬態(tài)分析，然而這種方法中的未知量磁矢勢為靜態(tài)積分方程法未知量磁標勢的3倍，使求解麻煩。針對這個問題，本文根據磁通門鐵芯特點，分析了解決靜磁問題的磁場積分方程，在此基礎上考慮了渦流對積分方程的影響，對解決靜磁問題的靜態(tài)積分方程改進，建立了可以對磁通門進行瞬態(tài)分析的數學模型。最后以長條形磁通門為例進行模型驗證，仿真了激勵電壓、激勵頻率改變時的接收線圈輸出電壓、輸出二次諧波電壓幅值與激勵線圈電流幅值的關系和磁滯回線，這些仿真結果與實驗結果符合良好。改進了的模型可以準確地反應頻率的影響，并對磁通門進行瞬態(tài)分析。

［1］ Baschirotto A，Dallago E，Malcovati P，et al.An Integrated Micro-Fluxgate Magnetic Sensor with Front-End Circuitry［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2009，58（9）：3269-3275.

［2］ Baschirotto A，Dallago E，F(xiàn)erri M，et al.A 2D Micro-Fluxgate Earth Magnetic Field Measurement Systems with Fully Automated Acquisition Setup［J］.Measurement，2010，43（1）：46-53.

［3］ Baschirotto A，Dallago E，Malcovati P，et al.Fluxgate Magnetic Sensor in PCB Technology［C］//IEEE Instrumentantion on and Measurement Technology Conference Proceedings，2004（2）：808-812.

［4］ Mayergoyz I，Andrei P，Dimian M.Nonlinear Magnetostatic Calculations Based on Fast Multipole Method［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2003，39（3）：1103-1106.

［5］ Balasubramanian S，Lalgudi S，Shanker B.Fast-Integral-Equation Scheme for Computing Magnetostatic Fields in Nonlinear Media［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2002，38（5）：3426-3432.

［6］ Hafla W，Buchau A，Groh F，et al.Efficient Integral Equation Method for the Solution of 3-D Magnetostatic Problems［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，41（5）：1408-1411.

［7］ Vuillermet Y.About the Use of Numerical Integral Methods to Simulate a Fluxgate Magnetometer：The Ring-Core Example［J］. Sensors&Actuators A：Physical，2010，163（1）：48-53.

［8］ Vuillermet Y，Audoin M，Cuchet R.et al.Application of a Non-linear Method of Moments to Predict Microfluxgates Output［J］.Sensors&Actuators A：Physical，2010，158（2）：212-216.

［9］ Vuillermet Y，Audoin M.Application of a Non-Linear Numerical Integral Method to Predict Micro Fluxgate Output［C］//14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation（CEFC），2010：1-1.

［10］Koizumi M，Onizawa M.Computational Method of Three Dimensional Eddy Current by Using Volume Integral Equation Method［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1991，27（5）：4077-4080.

［11］楊尚林，劉詩斌，郭博，等.鐵芯參數對磁通門輸入輸出特性影響分析［J］.傳感技術學報，2014，27（1）：40-47.

［12］郭博，劉詩斌，楊尚林，等.微型正交激勵磁通門結構設計［J］.傳感技術學報，2014，27（7）：910-915.

［13］Canova A，Repetto M.Integral Solution of Nonlinear Magnetostatic Field Problems［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2001，37（3）：1070-1077.

［14］周國華，肖昌漢，劉勝道，等.基于六面體單元表面磁場積分法求解三維靜磁場［J］.電工技術學報，2009（3）：1-7.

［15］Mandache L，Topan D.Managing Eddy Current Losses and Ferromagn/Etic Material Nonlinearities in Distorting Regimes［C］// Electric Machines and Drives Conference，2009.IEMDC'09. IEEE International，2009：1449-1454.

［16］Jiles D.Frequency Dependence of Hysteresis Curves in‘Non-Conducting'Magnetic Materials［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1993，29（6）：3490-3492.

［17］Chikazumi S，Charap S H.Physics of Magnetism［M］.RE Krieger Publishing Company Malabar，F(xiàn)L：1978.

［18］Mandache L，Topan D.Managing Eddy Current Losses and Ferromagnetic Material Nonlinearities in Distorting Regimes［C］//IEEE International Electric Machines and Drives Conference，2009：1449-1454.

侯曉偉（1985-），河南洛陽人，工程師。研究方向為微電子與固體電子學，主要致力于微型磁通門傳感器、專用集成電路 ASIC等方面的研究，xwhou2009@ 126.com；

李菊萍（1982-），山西運城人，工程師。研究方向為微電子與固體電子學，主要從事微型磁通門傳感器等方面的仿真研究，li2008100096@mail.nwpu.edu.cn。

Transient Analysis of Fluxgate Based on Magnetic Field Integral Equation Method*

HOU Xiaowei*，LI Juping，GUO Junjie
（Ningbo CRRC Times Transducer Technique Co，Ltd，Ningbo Zhejiang 315021，China）

The static integral equation method can be used to simulate and design the fluxgate，which reduces the computation time and shows a satisfactory accuracy.However，the effect of frequency on fluxgate was not considered accurately based on static integral equation method，so it applies only to the quasi static analysis and can't be used to carry out the transient analysis of fluxgate.In order to solve this problem，the paper firstly studied the quasi static analysis of fluxgate with integral equation method according to the characteristics of fluxgate core.Based on the above work，the mathematical model was modified for fluxgate transient analysis.Finally a rod core fluxgate as an example was analyzed to validate the modified model.The simulation results agree well with experimental results.

fluxgate；transient analysis；integral equation method；quasi static analysis；core；frequency

TP212.1

A

1004-1699（2016）07-1026-06

項目來源：國家自然科學基金項目（F040508）；高等學校博士點專項基金項目（20126102110031）

2015-12-23修改日期：2016-02-27