劉加凱

（武警工程大學(xué)裝備工程學(xué)院，西安710086）

多層薄膜結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力分析

劉加凱*

（武警工程大學(xué)裝備工程學(xué)院，西安710086）

針對當前無法分析MEMS多層薄膜結(jié)構(gòu)中熱應(yīng)力的現(xiàn)狀，通過修正Suhir.E提出的雙金屬帶熱應(yīng)力分布理論，提出了MEMS多層薄膜結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分布模型，該模型適用于評估MEMS多層結(jié)構(gòu)中熱應(yīng)力分布規(guī)律，同時為采取合理措施減小應(yīng)力提供了理論支持。在溫度載荷作用下，多層薄膜結(jié)構(gòu)中將產(chǎn)生正應(yīng)力、剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力的作用，應(yīng)力變化主要集中在界面端處。其中，正應(yīng)力分布于各層內(nèi)，隨與中心點距離的增大呈指數(shù)減小，在端面處急劇減小至最小值；剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力則主要分布于各層界面上，隨與中心點距離的增大呈指數(shù)增大，在界面端處達到最大值。最后，開展了由四種材料（玻璃、鉻、銅、鎳）組成的多層薄膜結(jié)構(gòu)的熱力學(xué)仿真分析，驗證了所建立解析模型的正確性，以及各應(yīng)力在多層結(jié)構(gòu)中的分布規(guī)律。

MEMS；多層薄膜結(jié)構(gòu)；熱應(yīng)力；溫度載荷

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.008

利用薄膜工藝制備的多層結(jié)構(gòu)在MEMS器件中有著廣泛的應(yīng)用［1］，環(huán)境應(yīng)力對其可靠性具有重要的影響。其中，外界溫度載荷對MEMS器件最顯著的影響，是在由不同材料制成的多層結(jié)構(gòu)中由于熱膨脹系數(shù)失配而引入較高的熱應(yīng)力，引起結(jié)構(gòu)發(fā)生翹曲、剝離、龜裂等失效模式［2］，降低MEMS器件的可靠性。

關(guān)于多層薄膜結(jié)構(gòu)中熱應(yīng)力的分析，目前被廣泛應(yīng)用的是Stoney公式，它通過測量鍍膜前后基片曲率半徑的變化量來計算薄膜層中的正應(yīng)力［3］。早期主要用于分析淀積在較厚襯底上的單層薄膜中的正應(yīng)力，Schafer等人［4-5］基于薄膜與襯底的厚度比和雙軸模量比對Stoney公式進行修正，使之用于分析當薄膜與襯底厚度可比較時的正應(yīng)力。

Stoney公式僅能分析薄膜層中的正應(yīng)力，不能用于計算結(jié)合界面間的應(yīng)力水平，而界面應(yīng)力恰恰是引起多層薄膜結(jié)構(gòu)發(fā)生翹曲和剝離的直接原因所在。Suhir.E基于界面位移一致性理論提出了雙金屬帶熱應(yīng)力分布理論［6］，利用該理論不僅能夠計算雙層薄膜層中的正應(yīng)力，而且能夠評估界面中的剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力，但該理論不能分析MEMS多層薄膜結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力。本文假設(shè)界面應(yīng)變一致性，對雙金屬帶熱應(yīng)力分布理論進行修正，使之能夠用于分析MEMS多層薄膜結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力。

1　雙層結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力分析

1.1雙層結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)Suhir.E的雙金屬帶熱應(yīng)力分布理論［7-10］，首先對雙層薄膜結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力進行分析。假設(shè)由雙層結(jié)構(gòu)材料形成的界面是理想界面，結(jié)合界面無空洞、氣泡以及化學(xué)成分的變化，同時假設(shè)材料層內(nèi)溫度變化均勻一致，下層薄膜為材料1層，上層薄膜為材料2層；兩種材料的彈性模量E、泊松比v、熱膨脹系數(shù)α各向同性且不隨溫度變化。

在溫度載荷作用下，雙層結(jié)構(gòu)中將產(chǎn)生正應(yīng)力σ（x）、剪應(yīng)力t（x）和剝離應(yīng)力p（x），剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力作用于結(jié)合界面上，正應(yīng)力則分布于各層內(nèi)。其中剪應(yīng)力t（x）平行于結(jié)合界面的方向，剝離應(yīng)力p（x）垂直于結(jié)合界面的方向，而正應(yīng)力σ（x）在垂直和平行于結(jié)合界面的方向上均有作用，如圖1所示。

圖1　雙層材料結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分析模型

1.2雙層結(jié)構(gòu)中的剪應(yīng)力

假設(shè)材料1層上表面和材料2層下表面的任意點x沿水平方向的位移分別為u1（x）和u2（x），則界面上的應(yīng)力應(yīng)變模型為：

式中：Δt為所加載的溫度與室溫的差值；t（x）為x處的界面剪應(yīng)力；α1和α2、h1和h2分別為材料1和材料2的熱膨脹系數(shù)、厚度。T（x）為結(jié)構(gòu)中x截面所受的力，可表示為

式中，λ1、λ2和k1、k2分別表示材料1層和材料2層的軸向柔度系數(shù)和表面柔度系數(shù)，可由如下公式表示：

式中，E1和E2、v1和v2、和、G1和G2分別為材料1和材料2的彈性模量、泊松比、雙軸模量和剪切模量。

結(jié)合界面上任意一點x處的力矩平衡方程為

式中：M1（x）和M2（x）分別為材料1層和材料2層在界面x處的彎矩。

由方程（5）和（6）得出曲率半徑 ρ（x）和單位寬度的剪切力T（x）的關(guān)系為

其中，D=D1+D2。把方程（3）和（7）代入方程（1）和方程（2），假設(shè)當雙層結(jié)構(gòu)均勻受熱升溫Δt時，材料1層上表面和材料2層下表面任意點沿x方向的位移相等，即u1（x）=u2（x），可以得出

式中：Δα=α2-α1，

方程（8）的邊界條件是t（0）=0，T（L）=0，可以得出滿足邊界條件的雙層結(jié)構(gòu)的剪應(yīng)力表達式為

由式（10）可知，剪應(yīng)力在結(jié)合界面的邊緣達到最大

由于K值通常具有較大值，則式（10）、式（11）可簡化為

通過對雙層結(jié)構(gòu)中的剪應(yīng)力進行分析可知，剪應(yīng)力在x方向上呈指數(shù)增大，在界面端處達到最大值，且最大值與界面寬度L無關(guān)。

1.3雙層結(jié)構(gòu)中的正應(yīng)力

把方程（10）代入方程（3），進行積分可以得出x處的單位寬度剪切力

把方程（13）代入方程（6）、方程（7）可得出

雙層結(jié)構(gòu)中的正應(yīng)力是由材料層的剪切力T（x）、彎矩M1（x）和M2（x）共同決定的結(jié)果，并且在結(jié)合界面處達到最大值。在界面附近的材料層內(nèi)，沿x方向上

式中：結(jié)果為正則表示拉應(yīng)力，為負表示壓應(yīng)力。由于K值具有較大值，方程（17）和方程（18）可簡化為

通過對雙層結(jié)構(gòu)中正應(yīng)力進行分析可知，正應(yīng)力隨x的增大呈指數(shù)減小，在結(jié)構(gòu)的端面上達到最小值，且最小值為0。

此外，在y方向也存在正應(yīng)力，由于與x方向的正應(yīng)力相比極小，故在這里不作討論。

1.4雙層結(jié)構(gòu)中的剝離應(yīng)力

雙層結(jié)構(gòu)界面間的剝離應(yīng)力是引起界面分層的主要原因之一。為簡化分析模型，認為剝離應(yīng)力主要集中在雙層結(jié)構(gòu)的邊沿，可以近似地將作用在材料層邊沿的力N0來代替剝離應(yīng)力的作用，所以可建立如圖2所示的剝離應(yīng)力模型。

圖2　雙層薄膜結(jié)構(gòu)的剝離應(yīng)力模型

根據(jù)此模型，可以寫出在任意點處的平衡方程

式中：

對方程（21）進行兩次微分，可以得出x處的剝離應(yīng)力

剝離應(yīng)力在界面端處最大

由于K值具有較大值，雙層結(jié)構(gòu)的剝離應(yīng)力方程（23）可以簡化為

由式（25）可知，剝離應(yīng)力隨x的增大呈指數(shù)減小，在結(jié)構(gòu)的端面上達到最大值。由方程（23）可知，當 μ=0時，剝離應(yīng)力 p（x）=0。代入方程（22）可得

在此條件下，剝離應(yīng)力在任何溫度下都為0。

通過對雙層結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分布情況進行分析可知，熱應(yīng)力變化主要集中在邊沿范圍內(nèi)，正應(yīng)力呈指數(shù)減小，剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力呈指數(shù)增加。結(jié)構(gòu)層中的應(yīng)力是由材料熱膨脹系數(shù)和加載的溫度共同決定的，熱膨脹系數(shù)相差越大，加載溫度越高，應(yīng)力也就越大。

2　多層結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力分析

與雙層結(jié)構(gòu)類似，多層結(jié)構(gòu)在溫度載荷下材料層中也將產(chǎn)生剪應(yīng)力、正應(yīng)力、剝離應(yīng)力的作用，多層結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分析模型如圖3所示。

圖3　多層結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分析模型

為簡化分析多層結(jié)構(gòu)的計算量，在以下的分析中采用界面應(yīng)變一致性的條件，而非界面位移一致性的條件［11］。假設(shè)第（i-1）層的上表面和第i層的下表面的縱向應(yīng)變分別為和，則

其中，αi為第i層材料的熱膨脹系數(shù)，為該層的軸向柔度系數(shù)，F(xiàn)i為作用于第i層的軸向力，ρ為多層結(jié)構(gòu)的曲率半徑，Δt為溫度差。根據(jù)條件，可得

將式（28）從i=1到i相加，可得

其中Δαi=αi-α1，為第i層材料與基體材料的熱膨脹系數(shù)之差。

其中，

相應(yīng)地，作用于第i層薄膜上沿x方向的正應(yīng)力為

在多層結(jié)構(gòu)中

則作用于第i層和第（i+1）層之間界面上的剪切力

根據(jù)雙層結(jié)構(gòu)的分析方法，則在第i層和第（i+1）層之間界面上的應(yīng)力可計算得

則最大應(yīng)力發(fā)生在層間界面端部，其值為

多層結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力分布規(guī)律與雙層結(jié)構(gòu)具有一致性，即熱應(yīng)力變化主要集中在邊沿范圍內(nèi)，正應(yīng)力呈指數(shù)減小，剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力呈指數(shù)增加。

3　多層結(jié)構(gòu)在溫度載荷下的仿真分析

采用熱-應(yīng)力耦合方法，利用有限元軟件對多層結(jié)構(gòu)在溫度載荷下的應(yīng)力分布規(guī)律進行仿真分析。

3.1多層結(jié)構(gòu)模型

MEMS器件的基本結(jié)構(gòu)一般由三部分組成：基體、種子層和結(jié)構(gòu)層［12］。某非硅基MEMS器件的基本材料模型如圖4所示，種子層由鉻層和銅層組成，由下到上玻璃基底、鉻層、銅層和鎳層的厚度分別為20 μm、0.5 μm、1 μm和10 μm，各層材料的參數(shù)如表1所列，本文以此為模型開展多層結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力仿真研究。

圖4　非硅基MEMS器件的基本材料模型

表1　多層結(jié)構(gòu)中各層材料參數(shù)（采用μMKSV單位制）

3.2溫度載荷下的熱應(yīng)力仿真分析

對有限元模型加載150℃的溫度載荷，并以20℃作為結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變零點。在溫度載荷作用下，由于各層材料的熱膨脹系數(shù)不匹配，導(dǎo)致各結(jié)構(gòu)層受到不同程度的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力。多層結(jié)構(gòu)中的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力的分布情況如圖5所示。

圖5　多層結(jié)構(gòu)在150℃溫度載荷作用下的應(yīng)力分布圖

由圖5可知，在150℃的溫度載荷下，由于銅、鎳材料的熱膨脹系數(shù)大于鉻與玻璃，所以銅層和鎳層的拉伸應(yīng)變大于鉻層和玻璃層，使結(jié)構(gòu)有向下彎曲的趨勢。在各層層間界面附近，應(yīng)力迅速增大，其中在鉻-銅之間的界面上產(chǎn)生的應(yīng)力最大，這是由于鉻材料與銅材料的熱膨脹系數(shù)差別最大，銅的熱膨脹系數(shù)是鉻的近3倍。

在高溫作用下，銅層的拉伸變形大于鉻層，有拉伸鉻層的趨勢，而鉻層則阻止這一趨勢，因此在鉻層上產(chǎn)生拉應(yīng)力，在銅層上則產(chǎn)生壓應(yīng)力。鉻層上的拉應(yīng)力沿x方向的變化如圖6所示，其最大正應(yīng)力達170.67 MPa，且隨x的增大呈指數(shù)減小，在層端處達到最小值。在圖中，仿真結(jié)果與利用多層結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力分布模型中式（34）所計算得到的理論值及其變化趨勢具有一致性。在與中心距離35 μm以內(nèi)，仿真值與理論值基本重合，在35 μm至界面端處，正應(yīng)力仿真值與理論值均迅速下降。但兩者之間存在一定的誤差，正應(yīng)力最大誤差達33.2 MPa。之所以存在誤差，是由于熱應(yīng)力分布模型為簡化計算量，假設(shè)了多層結(jié)構(gòu)界面間應(yīng)變一致，但在實際的仿真過程中，界面間的位移和應(yīng)變情況則十分復(fù)雜。

圖6　鉻層上的正應(yīng)力分布情況

在溫度載荷作用下，層間界面上將產(chǎn)生剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力，最大應(yīng)力值均發(fā)生在界面端處，其中在鉻-銅界面上的最大剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力分別為34.38 MPa和27.04 MPa，其分布情況如圖7、圖8所示。同樣仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果具有一致性，在層間中部，剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力基本為0，而在界面端部呈指數(shù)迅速增大。

圖7　鉻層與銅層界面上從中心到端部的層間剪應(yīng)力分布圖

圖8　鉻層與銅層界面上從中心到端部的層間剝離應(yīng)力分布圖

3　結(jié)論

通過對雙金屬帶熱應(yīng)力分布理論進行修正，建立了多層薄膜結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力分布模型。在溫度載荷作用下，由不同材料組成的多層結(jié)構(gòu)中將產(chǎn)生正應(yīng)力、剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力的作用，應(yīng)力變化主要集中在結(jié)構(gòu)端處。正應(yīng)力主要分布于各層內(nèi)，隨x的增大呈指數(shù)減小，在端面處達到最小值；剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力主要分布于各層界面上，在x方向上呈指數(shù)增大，在界面端處達到最大值。通過對由四種材料組成的多層結(jié)構(gòu)進行熱力學(xué)仿真分析，驗證了所建立多層結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力分布模型的正確性。本文的研究能夠用于評估MEMS多層結(jié)構(gòu)中正應(yīng)力、剪應(yīng)力和剝離應(yīng)力的分布規(guī)律，同時為采取合理措施減小應(yīng)力提供了理論支持。

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劉加凱（1985-），男，河南輝縣人，漢族，武警工程大學(xué)講師，博士，研究方向為MEMS可靠性，liujiakai1129@163.com。

Therm al Stress Analysis on Multilayer Structure

LIU Jiakai*
（Armed Police Engineering University&Equipment Engineering College，Xi'an 710086，China）

Aimed at the multilayer structure being unable to parse，the thermodynamics distributing model has been put forward by revising bimetal strip stresses model advanced by Suhir.E，which applies to evaluate the thermal stress distributing rule of MEMS multilayer structure.Under the thermal loading，multilayer structure composed by different material will create normal stress，shearing stress and peeling stress，and the stress variety concentre in the end of interface.Normal stress distributes in each layer，which value presents exponential decrease along with the distance from centre of each layer，and decreases sharply in the end until achieve minimum.Shearing stress and peeling stress main distribute in the interface of each layer，both values present exponential increate along with the distance from centre of bonded pair，and increase sharply in the end until achieve maximum.Then，the thermodynamic simulation has been analyzed on multilayer structure composed by four material such as glass，chromium，cuprum and nickel，which result validate the analytic model and the stress distributing in multilayer structure.

mems；multilayer structure；thermal stress；temperature load

TN4

A

1004-1699（2016）07-0994-06

2016-01-20修改日期：2016-02-27