林東海，裴明鶴

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林　132013)

?

兩類非線性三階四點(diǎn)邊值問題解的存在性

林東海，裴明鶴

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林132013)

利用Leray-Schauder度理論，得到了非線性三階微分方程x?=f(t，x，x′，x″)，t∈[0，1]分別滿足下列四點(diǎn)邊界條件x(0)=0，x′(0)=αx′(ξ)，x′(1)=βx′(η)和x′(0)=αx′(ξ)，x(1)=0，x′(1)=βx′(η)的兩類邊值問題解的存在性，并且作為應(yīng)用給出了一個(gè)例子.

Leray-Schauder度理論；Nagumo條件；四點(diǎn)邊值問題；存在性

【引用格式】林東海，裴明鶴.兩類非線性三階四點(diǎn)邊值問題解的存在性[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，17(5)：572-576.

1　引　　言

本文考慮兩類非線性三階四點(diǎn)邊值問題，即非線性三階微分方程

x?=f(t，x，x′，x″)， t∈[0，1]，

(1)

逐一滿足下列四點(diǎn)邊界條件

x(0)=0， x′(0)=αx′(ξ)， x′(1)=βx′(η)，

(2)

x′(0)=αx′(ξ)， x(1)=0， x′(1)=βx′(η)

(3)

的邊值問題解的存在性，這里f(t，x0，x1，x2)在[0，1]×3上連續(xù)，ξ，η∈(0，1)，0<α≤1，0<β≤1，并且α+β≠2.

三階微分方程出現(xiàn)于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的許多領(lǐng)域，例如撓度具有常數(shù)或橫斷面發(fā)生變化的彎曲梁，三層梁以及電磁波或重力驅(qū)動(dòng)流等[1-2].因此，三階邊值問題受到微分方程學(xué)者的廣泛關(guān)注[1,3-17].而上述提到的成果大多是關(guān)于兩點(diǎn)或三點(diǎn)邊界條件的，而關(guān)于四點(diǎn)及其以上邊界條件的成果較少見到[1，7，12-13].本文的目的是利用Leray-Schauder度理論，建立非線性三階四點(diǎn)邊值問題(1)-(2)和(1)-(3)的解的存在性結(jié)果.

2　主要結(jié)果

首先利用Leray-Schauder度理論建立非線性三階四點(diǎn)邊值問題(1)-(2)的解的存在性定理.

定理1假設(shè)

(ⅰ)f(t，x0，x1，x2)∈C([0，1]×3)，并且對每一個(gè)固定的(t，x1，x2)∈[0，1]×2，f關(guān)于x0單調(diào)遞減；

xf(t，x，x，0)>0；

(ⅲ)f(t，x0，x1，x2)滿足Nagumo條件，即存在一個(gè)定義于[0，+)上的正值連續(xù)函數(shù)h(s)，使得?(t，x0，x1，x2)∈[0，1]×[-M，M]2×，有

則三階四點(diǎn)邊值問題(1)-(2)至少存在一個(gè)解x=x(t)滿足

證明：首先驗(yàn)證下面的邊值問題族

x?=λf(t，x，x′，x″)，t∈[0，1]，λ∈[0，1]，

(4)

x(0)=0，x′(0)=αx′(ξ)，x′(1)=βx′(η)，

(5)

在C2[0，1]中先驗(yàn)有界.為此，設(shè)x(t)是BVP(4)-(5)的任意一個(gè)解.我們將證明

(6)

以及

(7)

首先證明

(8)

注意到，如果在方程(4)中λ=0，則BVP(4)-(5)只有平凡解，從而式(6)和(7)成立.因此可設(shè)λ∈(0，1].假設(shè)式(8)不成立，則存在t*∈[0，1]，使得

x′(t*)>M或x′(t*)<-M.

x′(t0)x?(t0)=λx′(t0)f(t0，x(t0)，x′(t0)，0) ≥λx′(t0)f(t0，x′(t0)，x′(t0)，0)>0，

從而x?(t0)>0，這與x′(t)在t=t0處達(dá)到其正的最大值以及x″(t0)=0矛盾，故式(8)成立.

于是由式(8)和邊界條件(5)，有

綜上，不等式(6)成立.

茲斷定存在t1∈(0，1)，使得

因此x″(t)在(t3，t4)內(nèi)恒正或恒負(fù).于是由假設(shè)條件(ⅲ)和N的定義，可得下面的矛盾：

故不等式(7)成立.于是由式(6)和(7)，有

(9)

最后，我們將證明BVP(1)-(2)的解的存在性.為此，定義線性映射L：D(L)?C2[0，1]→C[0，1]如下：

(Lx)(t)=x?(t)，x∈D(L)，

這里D(L)={x∈C3[0，1]：x(t)滿足(5)}，則L是一對一映射.又定義非線性映射N：C2[0，1]→C[0，1]如下：

(Nx)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，x″(t))，x∈C2[0，1].

則N是有界連續(xù)映射.再定義線性映射K：C[0，1]→C2[0，1]如下：

這里G(t，s)是x?(t)=0滿足邊界條件(5)的格林函數(shù).則易見，LKx=x，?x∈C[0，1]，并且KLx=x，?x∈D(L).更進(jìn)一步，由Arzela-Ascoli定理可知，K將C[0，1]中的有界集映成C2[0，1]中的相對緊致集.因此KN：C2[0，1]→C2[0，1]是全連續(xù)的.

注意到x∈C3[0，1]是BVP(4)-(5)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈C2[0，1]是算子方程

Lx=λNx

的解.而算子方程Lx=λNx等價(jià)于算子方程

[I-λKN]x=0，

這里I：C2[0，1]→C2[0，1]是恒同映射.

degLS(I-KN，Br，0)=degLS(I-λKN，Br，0)=degLS(I，Br，0)=1.

故KN在Br內(nèi)有不動(dòng)點(diǎn)x(t).易見，此不動(dòng)點(diǎn)x=x(t)即為BVP(1)-(2)的解，并且滿足

證畢.

對于三階四點(diǎn)邊值問題(1)-(3)，類似于定理1證明，可得如下結(jié)果：

定理2假設(shè)

(ⅰ) f(t，x0，x1，x2)∈C([0，1]×3)，并且對每一個(gè)固定的(t，x1，x2)∈[0，1]×2， f關(guān)于x0單調(diào)遞增；

xf(t，x，-x，0)<0；

(ⅲ) f(t，x0，x1，x2)滿足Nagumo條件，即存在一個(gè)定義于[0，+)上的正值連續(xù)函數(shù)h(s)，使得?(t，x0，x1，x2)∈[0，1]×[-M，M]2×，有

則三階四點(diǎn)邊值問題(1)-(3)至少存在一個(gè)解x=x(t)滿足

這里N與定理1中的相同.

3　例　　子

考慮三階四點(diǎn)邊值問題

x?=-tx3+x′ex′2+x″2， t∈[0，1]，

(10)

x(0)=0， x′(0)=αx′(ξ)， x′(1)=βx′(η)，

(11)

這里ξ，η∈(0，1)，0<α≤1，0<β≤1，并且α+β≠2.

令

xf(t，x，x，0)=-tx4+x2ex2≥-x4+x2ex2.

而

xf(t，x，x，0)>0.

此外，易見函數(shù)f(t，x0，x1，x2)滿足定理1的假設(shè)條件(ⅰ)和(ⅲ).因此由定理1，三階四點(diǎn)邊值問題(10)-(11)至少存在一個(gè)解.

[1] H H Alsulami，S K Ntouyas，SA Al Mezel.A study of third-order single-valued and multi-valued problems with integral boundary conditions[J].Boundary Value Problems，2015,2015：25.

[2] M Gregus.Third order linear differential equations[M].Dordrecht：Reidel Publishing Co，1987.

[3] R P Agarwal.Boundary value problems for higher order differential equations[M].Singapore：World Scientific，1986.

[4] A Boucherif，N Al-Malki.Nonlinear three-point third-order boundary value problems[J].Appl Math Comput，2007，190：1168-1177.

[5] A Cabada，M R Grossinho，F(xiàn) M Minhós.On the solvability of some discontinuous third order nonlinear differential equations with two point boundary conditions[J].J Math Anal Appl，2003，285：174-190.

[6] C P Gupta，V Lakshmikantham.Existence and uniqueness theorems for a third-order three-point boundary value problem[J].Nonlinear Anal，1991，16：949-957.

[7] Z Du，X Lin，W Ge.On a third-order multi-point boundary value problem at resonance[J].J Math Anal Appl，2005，302：217-229.

[8] J R Graef，J Henderson，R Luca，etal.Boundary value problems for third-order Lipschitz ordinary differential equations[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，2015，58：183-197.

[9] M R Grossinho，F(xiàn) M Minhós，A I Santos.Existence result for a third-order ODE with nonlinear boundary conditions in presence of a sign-type Nagumo control[J].J Math Anal Appl，2005，309：271-283.

[10] J Henderson.Best interval lengths for third order Lipschitz equations[J].SIAM J Math Anal，1987，18：293-305.

[11] B Hopkins，N Kosmatov.Third-order boundary value problems with sign-changing solutions[J].Nonlinear Anal，2007，67：126-137.[12] W Jiang，F(xiàn) Li.Several existence theorems of monotone positive solutions for third-order multipoint boundary value problems[J].Boundary Value Problems，2007,2007：1-9.[13] S Jin，S Lu.Existence of solutions for a third-order multipoint boundary value problem with p-Laplacian[J].Journal of the Franklin Institute，2010，347：599-606.

[14] R Ma.Multiplicity results for a third order boundary value problem at resonance[J].Nonlinear Anal，1998，32：493-499.

[15] M Pei，S K Chang.Existence and uniqueness of solutions for third-order nonlinear boundary value problems[J].J Math Anal Appl，2007，327：23-35.

[16] M Pei，S K Chang.Solvability of nth-order Lipschitz equations with nonlinear three-point boundary conditions[J].Boundary Value Problems，2014,2014：239.

[17] H Shi，M Pei，L Wang.Solvability of a third-order three-point boundary value problem on a half-line[J].Bull Malays Math Sci Soc，2015，38：909-926.

【責(zé)任編輯：陳麗華】

Existence of Solutions for Two Classes of Nonlinear Third-Order Four-Point Boundary Value Problems

Lin Donghai，Pei Minghe

(School of Mathematics and Statistics，Beihua University，Jilin 132013，China)

By using the Leray-Schauder degree theory，we obtained the existence of solutions for nonlinear third-order differentialx?=f(t，x，x′，x″)，t∈[0，1]with one of the following sets of four-point boundary conditionsx(0)=0，x′(0)=αx′(ξ)，x′(1)=βx′(η)；x′(0)=αx′(ξ)，x(1)=0，x′(1)=βx′(η).Meanwhile，as an application of our results，an example is given.

Leray-Schauder degree theory；Nagumo condition；four-point boundary value problem；existence

1009-4822(2016)05-0572-05

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.05.003

2016-06-15

吉林省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2016-45).

林東海(1982-)，男，碩士研究生，主要從事微分方程邊值問題研究，E-mail：limdonghae@163.com；通信作者：裴明鶴(1963-)，男，博士，教授，主要從事微分方程定性理論研究，E-mail：peiminghe@163.com.

O175.8

A