曹斌照，費(fèi)宏明，楊毅彪，薛萍萍

(太原理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，山西 太原　030024)

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近零折射率超材料波導(dǎo)加載系統(tǒng)中數(shù)理方程的求解及COMSOL仿真

曹斌照，費(fèi)宏明，楊毅彪，薛萍萍

(太原理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，山西 太原030024)

近零折射率超材料波導(dǎo)中加載介質(zhì)缺陷的電磁波傳輸特性的分析歸結(jié)為“數(shù)學(xué)物理方法”中亥姆霍茲方程非齊次邊值問題的求解，可采用多種求解偏微分方程的方法進(jìn)行分析. 本文用分離變量法對這一問題的兩個(gè)典型實(shí)例進(jìn)行了解析求解，并通過基于有限元法的多物理場耦合仿真軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)一步對照，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性. 對更一般的問題采用COMSOL進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和仿真，其適用性更為普遍.

近零折射率超材料；亥姆霍茲方程邊值問題；分離變量法；數(shù)值法

近年來，人工電磁材料(又稱為超電磁材料，Metamaterials)受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究[1].作為人工電磁材料之一——近零折射率超材料(Nearly Zero-Index Materials, NZIM)，因其具有諸多超常特性也倍受關(guān)注. 對NZIM的研究表現(xiàn)在諸多應(yīng)用領(lǐng)域，例如利用其實(shí)現(xiàn)電磁場超耦合效應(yīng)、輻射場整形、高性能輻射、光子隧穿效應(yīng)、電磁波的吸收、波導(dǎo)型傳感器、光子顫振效應(yīng)等. 另一方面，利用NZIM來調(diào)控電磁波在波導(dǎo)中的傳播也受到了不少學(xué)者的研究. 例如利用NZIM實(shí)現(xiàn)電磁波的完美彎曲和透射、在NZIM中嵌入介質(zhì)柱實(shí)現(xiàn)波的全透射和全反射等[2,3].

根據(jù)宏觀電磁理論，時(shí)諧電磁波在任何媒質(zhì)中的傳播特性均可歸結(jié)為亥姆霍茲方程的定解問題[4]. 按照“數(shù)學(xué)物理方法”理論，這類偏微分方程有多種求解方法[5-7]. 對于一些具有規(guī)則邊界的情形，分離變量法是一種有效的分析方法；而對于邊界形狀比較復(fù)雜的不規(guī)則情形，一般只能采用數(shù)值法. 對于前者，一般教科書中對亥姆霍茲方程的邊值問題，只針對齊次邊界條件問題做了一些簡單介紹，即使專業(yè)課程如“電動(dòng)力學(xué)”、“電磁理論”等也未涉及非齊次邊界條件下的定解問題[4,8]. 這是因?yàn)槎鄶?shù)情況下亥姆霍茲方程的應(yīng)用背景總是與本征值問題相聯(lián)系，往往滿足齊次邊值條件. 如電磁工程問題中波導(dǎo)、諧振腔等.

據(jù)筆者不完全了解，鮮有專門討論亥姆霍茲方程在非齊次邊界條件下定解問題的教學(xué)內(nèi)容. 而個(gè)別文獻(xiàn)雖然有涉及這方面的內(nèi)容，但要么是結(jié)果不完善[2]，或者沒有具體分析過程[3].

故此，本文針對NZIM波導(dǎo)中加載介質(zhì)缺陷的電磁波傳輸問題，并結(jié)合我們在“數(shù)學(xué)物理方法”的本科教學(xué)，提煉出了亥姆霍茲方程非齊次邊值問題的求解方法. 對矩形、圓柱形兩類規(guī)則形狀的邊界，在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中分別用分離變量法進(jìn)行了求解，并通過基于有限元法的多物理場耦合仿真軟件COMSOL進(jìn)行了對照；同時(shí)對其物理意義進(jìn)行了深入分析、討論. 對于不規(guī)則邊界的同類問題，用COMSOL進(jìn)行了數(shù)值求解和仿真.

1　模型及理論推導(dǎo)

圖1　二維近零超材料波導(dǎo)加載系統(tǒng)

(1)

1.1矩形截面介質(zhì)柱情形

若加載缺陷為一矩形截面介質(zhì)柱，柱內(nèi)電磁場的定解問題可歸結(jié)為

(2)

應(yīng)用疊加原理，將邊界條件進(jìn)行齊次化，令φ=φ′+φ0，則原問題可化為

(3)

這是一個(gè)非齊次泛定方程具有齊次邊值條件的定解問題. 用分離變量法(傅里葉級數(shù)法)，設(shè)

(4)

代入式(3)中的泛定方程，得

(5)

利用本征函數(shù)的正交性，得

(6)

(7)

若k=0，上式便簡化為φ(x,y)=φ0.事實(shí)上，這種情況下，定解問題式(2)可退化為

(8)

此為普拉斯方程的定解問題，其解顯然為φ=φ0.

1.2圓柱形介質(zhì)柱情形

若加載缺陷為一圓柱形介質(zhì)柱，柱內(nèi)電磁場的定解問題可歸結(jié)為

(9)

類似地，令φ=φ′+φ0，原問題可化為

(10)

(11)

利用本征函數(shù)的正交性，得

(12)

(13)

2　仿真及分析

圖2　　　　波導(dǎo)內(nèi)加載矩形介質(zhì)柱磁場發(fā)生的全反射現(xiàn)象

圖3　　　　波導(dǎo)內(nèi)加載矩形和圓形介質(zhì)柱磁場發(fā)生的全透射現(xiàn)象

圖4　　　　僅圓柱形介質(zhì)柱內(nèi)發(fā)生諧振，電磁波發(fā)生全反射

對于任意截面的介質(zhì)柱，一般得不到解析解，但我們可以用COMSOL軟件計(jì)算諧振頻率及傳輸系數(shù). 以一底角為45°的直角梯形為例，選取上底a=0.01 m、下底b=0.02 m、高h(yuǎn)=0.01 m，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，反射系數(shù)隨梯形介質(zhì)柱的曲線如圖5所示. 當(dāng)εr2≈3.5和6.7時(shí)發(fā)生全反射；當(dāng)εr2≈6.5和7.2時(shí)發(fā)生全透射.用COMSOL仿真結(jié)果如圖6所示.兩者結(jié)論完全吻合.

圖5　梯形介質(zhì)柱內(nèi)反射系數(shù)隨介質(zhì)柱介電常數(shù)的變化關(guān)系

圖6　梯形介質(zhì)柱內(nèi)發(fā)生諧振，電磁波發(fā)生全反射或全透射現(xiàn)象

3　總結(jié)

本文對于近零折射率超材料波導(dǎo)中加載規(guī)則介質(zhì)缺陷的電磁波傳輸特性問題用分離變量法進(jìn)行了解析求解，對不規(guī)則介質(zhì)缺陷問題采用多物理場耦合仿真軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.在具體應(yīng)用實(shí)例中，坐標(biāo)系原點(diǎn)的選擇對分析結(jié)果沒有影響.采用COMSOL仿真計(jì)算適用于任何情況，因此更具有普遍性.

[1]Engheta N,Ziolkowski R W Eds. Metamaterials:Physics and Engineering Explorations[J]. John Wiley & Sons, 2006,37:180-193.

[2]Nguyen V C, Chen L, Halterman K. Total transmission and total reflection by zero index metamaterials with defects[J]. Physical review letters, 2010, 105(23): 233908.1-4.

[3]Ying Wu, Jichun Li. Total reflection and cloaking by zero index metamaterials loaded with rectangular dielectric defects[J]. Applied Physics Letters, 2013, 102(18): 18310.1-4.

[4]張克潛,李德杰.微波與光電子中的電磁理論[M].2版.北京: 電子工業(yè)出版社，2001: 173-223.

[5]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].4版.北京: 高等教育出版社，2010:162-179;265-280.

[6]楊孔慶. 數(shù)學(xué)物理方法[M].北京: 高等教育出版社，2012: 180-202; 255-292.

[7]四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)、微分方程教研室. 高等數(shù)學(xué)(第4冊) [M].3版. 北京: 高等教育出版社，2010.

[8]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].3版.北京: 高等教育出版社，2008: 128-135.

Analytical solution of equation of mathematical physics in the waveguide system loaded with nearly-zero-index-metamaterials and simulation by using COMSOL

CAO Bin-zhao, FEI Hong-ming, YANG Yi-biao, XUE Ping-ping

(College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan, Shanxi 030024, China)

The transmission characteristics of electromagnetic wave in the waveguide system, filled with nearly-zero-index-metamaterials and loaded with dielectric defects, belongs to the problem of Helmholtz equation with non-homogeneous boundary value in the source of the method of mathematics. It can be solved by a variety of methods for solving partial differential equations. In this paper, the separation variables method is used for solving two typical examples. Furthermore, the software named COMSOL multi-physics, which is based on the finite element method, is used for simulation, and the correctness of theoretical analysis is certified. For more general problems, numerical calculation and simulation by COMSOL are more commonly applied.

nearly-zero-index-metamaterials; problem of Helmholtz equation with boundary values; separation variables method; numerical method

2015-03-04；

2015-11-16

2014年度太原理工大學(xué)“本科教育教學(xué)改革項(xiàng)目”、2014年度高等學(xué)?！皵?shù)學(xué)物理方法”課程專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)研究項(xiàng)目[JZW-14-SL-12]資助.

曹斌照(1967—)，男，山西臨縣人，太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院副教授，博士，主要從事電磁理論、數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)與研究.

O 411.1

A

1000- 0712(2016)04- 0015- 04