羅 凌 霄

(大理大學 工程學院，云南 大理　671003)

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光頻率變換公式的躍遷輻射解釋以及光子概念的實質(zhì)

羅 凌 霄

(大理大學 工程學院，云南 大理671003)

把質(zhì)能關(guān)系、質(zhì)速關(guān)系、光子假說和躍遷輻射假說結(jié)合起來，導(dǎo)出了光頻率變換公式，并且寫出速度不很快的情況下自由粒子躍遷輻射的頻率公式.最后對光子概念的實質(zhì)作了簡單介紹.

光的頻率變換公式；躍遷輻射；光子概念；實質(zhì)

狹義相對論按光的波動理論和洛倫茲變換，對光的頻率變換公式作了唯象的解釋[1,2].這里我們要給出光的頻率變換公式的躍遷輻射解釋.在推導(dǎo)中,我們將用到能量守恒定律、動量守恒定律、質(zhì)能關(guān)系式、質(zhì)速關(guān)系式、光子假說、躍遷輻射假說和相對論速度變換關(guān)系.

1　運動的自由粒子的躍遷輻射

如圖1所示，在慣性系S中，有一個速度為v2的不受力的粒子(即自由粒子)沿x軸正向運動,其動質(zhì)量為m2,能量為E2,靜止能量為E02.這個粒子向低能態(tài)躍遷，向著與x軸方向(也就是粒子的初速度方向)成θ角的方向發(fā)出一粒頻率為ν的光子.躍遷后粒子速度為v1，運動方向與x軸的夾角為β，動質(zhì)量為m1，能量為E1,靜止能量為E01.為方便起見，我們用E02和E01分別表示粒子躍遷前、后所處的能態(tài).這里所說的粒子包括原子、分子、離子等等.

圖1

根據(jù)能量守恒定律、動量守恒定律、光子假說和躍遷輻射假說，則有

E2=E1+hν

(1)

(2)

(3)

根據(jù)質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系,上述3個方程可以寫成

(4)

(5)

(6)

由式(5)和式(6)分別得

(7)

(8)

式(7)加式(8),得

(9)

由式(4)得

(10)

式(10)減式(9),得

(11)

解式(11),得

(12)

為方便起見，把速度v2換成v，于是式(12)寫成

(13)

這就是以速度v運動的自由粒子從高能態(tài)E02向低能態(tài)E01躍遷,發(fā)射出一粒光子，光子運動方向與初速度v成θ角時光的頻率公式.

2　初速為零的自由粒子的躍遷輻射

如圖2所示,設(shè)有另外一個參考系S′的坐標軸x′、y′分別與S系的x、y平行，并且S′系以速度v沿x軸運動,或者反過來說S系相對于S′系以(-v)的速度沿x軸負方向運動.那么對S′系來說,上一節(jié)所說的自由粒子在發(fā)生躍遷之前是靜止的. 對S′系來說,自由粒子從高能態(tài)E02向低能態(tài)E01躍遷時，發(fā)射的光子的頻率為ν′，光子運動方向與x′軸的夾角為θ′.

圖2

(14)

(15)

根據(jù)質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系,上述兩個方程可以寫成

(16)

(17)

式(17)兩邊平方,經(jīng)過一系列過程,得

(18)

把它代入式(16),解得

(19)

這就是原先靜止的粒子從高能態(tài)E02躍遷到低能態(tài)E01時發(fā)射的光子的頻率公式，顯然頻率與角度θ′無關(guān).

式(19)也可以從式(13)推出:令v→0,就可以得出式(19).由于式(13)中θ是發(fā)射的光子的運動方向與粒子初速度之間的夾角,所以我們不說令v=0就得出式(19).

3　光的頻率變換公式

于是，式(13)可以表示為

(20)

為了使上式右端出現(xiàn)的角度是S′系中光子速度與x′軸的夾角θ′，我們要根據(jù)相對論速度變換公式, 來推導(dǎo)θ與θ′的關(guān)系.

(21)

(22)

把ux=ccosθ和uy=csinθ代入其中,得

(23)

(24)

于是

(25)

(26)

根據(jù)式(25)可以推出

(27)

把它代入式(20),得

(28)

雖然我們是在假定自由粒子躍遷之前相對于S系以速度v運動,而相對于S′靜止的情況下推出了式(28),但是它所表達的頻率變換規(guī)律是普遍成立的.理由如下：對于上述的慣性系S和相對于它以恒定速度v運動的S′系,S′系中頻率一定、傳播方向一定的光相對于S系的頻率應(yīng)該是一定的,也就是說頻率變換公式中的參量與光源的發(fā)光機理以及光源的運動情況無關(guān).所以我們通過自由粒子躍遷發(fā)光和假定自由粒子在S′系中初速為零推得的頻率變換公式就是一般情形的光的頻率變換公式.

由于S系相對于S′的速度為(-v),根據(jù)物理規(guī)律的協(xié)變性,從式(28)直接得到

(29)

式(29)也可以從式(20)直接推出.式(29)還可以表示為

(30)

(31)

(32)

式(31)和(32)叫作光的多普勒公式,其中的ν0叫作靜止的光源發(fā)出的光的頻率.但是說光源靜止并不確切,因為如上所述,一個原先靜止的粒子發(fā)光后也要發(fā)生反沖運動.所以式(20)、(28) 、(29)和式(30)的表述更為清楚.特別是式(28)和式(29)兩式更為優(yōu)雅,它們將與兩個參考系有關(guān)的量分別放在了等號兩邊.

需要說明的是，要根據(jù)θ確定θ′，那么式(26)也是需要的,并不多余.

4　自由粒子躍遷輻射的近似頻率公式

對于原子、分子、離子之類的粒子，躍遷后粒子的相對論能量幾乎不變，于是根據(jù)式(13)得

(33)

(34)

再考慮到通常粒子的速度遠遠小于真空光速,可以略去二次項v2/c2,于是

(35)

或者更粗糙地寫成

(36)

這就是玻爾的躍遷輻射公式.玻爾本人把它叫做頻率條件[3].玻爾似乎不情愿用光量子概念來解釋他的頻率條件,也許他對光量子概念疑慮很深.

5　光子概念的實質(zhì)

上面我們利用了光子概念,但光子實際上不是粒子，而是場量子,運用光子概念只是為了方便.量子場論認為[4,5]：頻率為ν、波矢量為k的平面簡諧電磁波列的能量ε=(n+1/2)hν,動量p=(n+1/2)?k，量子數(shù)n=0,1,2,….所以,當頻率和波矢量固定時,電磁場能量的變化量只能是hν的整數(shù)倍，電磁場動量的變化量只能是?k的整數(shù)倍.電磁場就是由大量的這樣的平面簡諧波列組成.當電磁場和粒子相互作用，導(dǎo)致n增加1時,我們習慣于說粒子沿k方向輻射了一粒頻率為ν的光子；導(dǎo)致n減少1時,我們習慣于說粒子吸收了一粒沿k方向運動的頻率為ν的光子.

一定的封閉空間區(qū)域內(nèi)電磁場的能量就是各式各樣被容許的平面簡諧電磁波列能量的總和.當所有波列的量子數(shù)n全部取零的時候,總能量叫做零點能,為無窮大.其他情況下的總能量也是無窮大.通常所說的電磁能就是實際的能量減去零點能.零點能也就是通常所說的電場強度和磁場強度都為零的真空的能量.

一定的封閉空間區(qū)域內(nèi)電磁場的動量就是各式各樣被容許的平面簡諧電磁波列的動量的矢量和,它可以等于零.

電磁場具有零點能已經(jīng)被卡斯米爾效應(yīng)證明[6,7].真空中兩個不帶電的平行金屬板之間除了萬有引力之外還存在別的吸引力，這是因為真空中充滿量子數(shù)n=0的各種頻率的平面簡諧電磁波列,但是金屬板之間垂直于板面的方向上傳播的波形成駐波,只能容納由板間距決定的頻率取一特定系列分立值的波,和兩金屬板外側(cè)的波相比頻率有缺損,所以金屬板外側(cè)面受到零點電磁波的壓力大于內(nèi)側(cè)面受到零點電磁波的壓力,所以表現(xiàn)為兩個金屬板相互吸引.

[1]R.瑞斯尼科.相對論和早期量子論中的基本概念[M].上海:上?？茖W技術(shù)出版社,1978:77-83.

[2]中野董夫.相對論[M].北京:北京師范大學出版社,1989：82-87.

[3]曾謹言.量子力學(卷Ⅰ)[M].3版.北京:科學出版社,2000：14-19.

[4]曾謹言.量子力學(卷Ⅱ)[M].3版.北京:科學出版社,2000：643-647.

[5]曹昌祺.輻射和光場的量子統(tǒng)計理論[M].北京:科學出版社,2006：14-24.

[6]蘇汝鏗.量子力學[M].2版.北京:高等教育出版社,2002:288-291.

[7]倪光炯,陳蘇卿.高等量子力學[M].2版.上海:復(fù)旦大學出版社,2004:193-197.

The transition radiation explanation about the frequency conversion formula of light and the essence of photon concept

LUO Ling-xiao

(Faculty Engineering, Dali University, Dali, Yunnan 671003, China)

Combining the mass energy relation, mass velocity relation, photon hypothesis and transition radiation hypothesis, the frequency conversion formula of light is deduced. The transition radiation frequency formula of a free particle is obtained in the case of the speed being not fast. Finally, a simple introduction about the essence of photon concept is given.

frequency conversion formula of light; transition radiation; photon concept；essence

2015-07-17；

2015-11-17

羅凌霄(1964—),男,白族,云南劍川人,大理大學工程學院教授,主要從事電磁場理論教學和研究工作.

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1000- 0712(2016)04- 0011- 04