王海葉

（寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 寧德 352100）

兩值期權(quán)定價(jià)公式的推廣

王海葉

（寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 寧德 352100）

假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率隨時(shí)間變化，運(yùn)用熱傳導(dǎo)方程，推導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)中性世界中兩值期權(quán)的定價(jià)公式。并驗(yàn)證了若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率是常數(shù)，推導(dǎo)得出的兩值期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式和系數(shù)是常數(shù)的兩值期權(quán)的定價(jià)公式相同。

兩值期權(quán)；資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)；現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)

在OTC市場(chǎng)為了滿足市場(chǎng)中客戶對(duì)沖策略的要求，金融工程師創(chuàng)造出了很多由標(biāo)準(zhǔn)的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)衍生出的非標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品，稱這些產(chǎn)品是新型期權(quán)［1］。兩值期權(quán)就是一種新型期權(quán)，兩值期權(quán)有兩種類型：一類是現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（CONC），另一類是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（AONC）。第一類指在兩值期權(quán)的期滿日（t=T），如果股票的價(jià)格小于敲定價(jià)格X，則規(guī)定該兩值期權(quán)價(jià)值等于零；如果股票的價(jià)格大于敲定價(jià)格，則規(guī)定支付一個(gè)確定的數(shù)值Q。第二類指在期滿日（t=T），如果股票價(jià)格大于敲定價(jià)格X，則支付等于股票價(jià)格本身的款項(xiàng)；若股票價(jià)格小于敲定價(jià)格，則兩值期權(quán)價(jià)值為零。

文［2］闡述了兩值期權(quán)的含義及其模型，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，推導(dǎo)了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和股票價(jià)格的波動(dòng)率是常數(shù)的兩值期權(quán)定價(jià)模型的解析解；文［3］給出了隨機(jī)利率下的兩值期權(quán)價(jià)值的計(jì)算。本文假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率隨時(shí)間變化，運(yùn)用熱傳導(dǎo)方程，推導(dǎo)了在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，兩值期權(quán)的的模型及定價(jià)公式，并驗(yàn)證了參數(shù)是常數(shù)時(shí)，得到的公式與文［2］的兩值期權(quán)定價(jià)公式是相同的。

1　兩值期權(quán)的定價(jià)公式

在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率，隨時(shí)間變化的模型中，歐式股票期權(quán)的價(jià)值模型為［4］：

其中r（t）表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

由于兩值期權(quán)是一種新型期權(quán)，故兩值期權(quán)的價(jià)值也滿足上面的方程，即：

在期滿日t=T，兩值期權(quán)的損益分別為：

現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：

資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：

引理1［5］已知熱傳導(dǎo)方程，有初值u（0，x）=φ（x），則求解該方程，得：u（t，x）

定理1當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)的波動(dòng)率變化時(shí)，由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在任意時(shí)刻t∈［0，T］，資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)價(jià)值為：VAC（ST，t）=SN（d1（t））。這里d1（t）=

證明：設(shè)股票價(jià)格的變化過(guò)程如下：

其中zt是一個(gè)維納過(guò)程。

結(jié)合（3）式求解（1），令

將（7））代入式（6），有：

同理可得∶在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)波動(dòng)率變化的市場(chǎng)模型中，資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)，在任意時(shí)刻t∈［0，T］，其價(jià)值為：

定理2 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)波動(dòng)率變化時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，在任意時(shí)刻t∈［0，T］，現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)價(jià)值為其中d2（t）與式（5）相同。

同以上推導(dǎo)可得與（6）式類似的結(jié)果：

將（12））代入式（11），有：

同理可得∶若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)波動(dòng)率隨時(shí)間變化，在任意時(shí)刻，現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)價(jià)值為：

附注：當(dāng)r（t）=r，σ（t）=σ是常數(shù)的時(shí)候，公式（9）、（10）、（14）、（15）變?yōu)槠胀ǖ馁Y產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（或看跌期權(quán)）與現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（或看跌期權(quán)）的定價(jià)公式，普通的兩值期權(quán)定價(jià)公式是一致的。

2　結(jié)論

將普通的兩值期權(quán)的定價(jià)模型，擴(kuò)展到系數(shù)變化的情況，且利用熱傳導(dǎo)方程，求解了當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票價(jià)格的波動(dòng)率隨時(shí)間變化時(shí)，資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)（看跌期權(quán)）和現(xiàn)金或無(wú)值看漲期權(quán)（看跌期權(quán)）在任意時(shí)刻t∈［0，T］價(jià)值的計(jì)算公式。并且驗(yàn)證了當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率是常數(shù)的時(shí)候，得出的定價(jià)公式與文［2］推導(dǎo)的兩值期權(quán)定價(jià)公式是相同的的。

［1］JOHN C HULl.期權(quán)、期貨、和期它衍生產(chǎn)品［M］.張?zhí)諅?譯.北京：華夏出版社，2000：516.

［2］吳云，何建敏.兩值期權(quán)的定價(jià)模型及其求解研究［J］.管理工程學(xué)報(bào)，2002，16（4）：108-110.

［3］郭華英.隨機(jī)利率下的兩值期權(quán)定價(jià)［D］.南京：南京師范大學(xué)，2013：5-10.

［4］AGLIARDI ELETTRA，AGLIARDI ROSSELLA.A generalization of the Geske formula for compound options［J］.Mathematical Social Sciences，2003，45（1）：75-82.

［5］STOJANOVIC S.Computational financial mathematics using mathematica：optimal trading in stocks and options［M］.Boston：Birkhuser，2003.

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Promotion of the Pricing Formula for Binary Option

WANG Hai-ye
（School of Mathematics，Ninde Normal University，Ningde 352100，China）

Assuming that the risk-free of interest rate violates as time，the pricing formula of binary option in the risk neutral world is derived by using heat conduction equation.And it is proved that when the interest rate and the volatility are constant，the pricing formula of binary option derived from the derivation is the same as that of the ordinary binary option.

binary option；Asset-or-nothing call；cash-or-nothing call

F224.9

A

1673-4343（2016）04-0001-05

10.14098/j.cn35-1288/z.2016.04.001

2016-04-23

寧德師范學(xué)院青年教師專項(xiàng)課題（2014Q62）

王海葉，女，山西朔州人，講師。主要研究方向：數(shù)理金融。