孔慶海

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關(guān)于導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的幾個(gè)誤區(qū)

孔慶海

（東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

大一學(xué)生學(xué)習(xí)理解導(dǎo)數(shù)會(huì)有一些誤區(qū)，經(jīng)常會(huì)犯一些想當(dāng)然的錯(cuò)誤，通過(guò)實(shí)例或定理對(duì)這些錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，從而達(dá)到使學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)的目的．

連續(xù)；可導(dǎo)；可積；積分上限函數(shù)

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的最重要概念之一，現(xiàn)在的大學(xué)生其實(shí)在高中階段就已經(jīng)會(huì)求一些簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際應(yīng)用題．如利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和物理意義解決一些幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題．但是仍有很多學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有些誤區(qū)，會(huì)犯一些看似想當(dāng)然的錯(cuò)誤．本文嘗試通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)易犯的幾個(gè)誤區(qū)的分析，來(lái)強(qiáng)化對(duì)導(dǎo)數(shù)的深刻理解，以期幫助學(xué)生更深刻地理解導(dǎo)數(shù)概念．

誤區(qū)1給學(xué)生出個(gè)最簡(jiǎn)單的題目：隨意寫出一個(gè)函數(shù)來(lái)．出于習(xí)慣，絕大多數(shù)的學(xué)生會(huì)寫出諸如等類型的函數(shù)，這些函數(shù)不僅連續(xù)，而且可導(dǎo)，甚至導(dǎo)函數(shù)還連續(xù)或可導(dǎo)．學(xué)生之所以寫這些函數(shù)，主要是在中學(xué)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期接觸或訓(xùn)練，在感觀上會(huì)使人非常親切，正因?yàn)檫@種常見(jiàn)與親切，也會(huì)使人狹隘地認(rèn)為：凡是有定義的函數(shù)都是連續(xù)的，甚至導(dǎo)函數(shù)也是連續(xù)的．

若認(rèn)為只要有定義的函數(shù)都是連續(xù)的話，就沒(méi)有必要還學(xué)習(xí)間斷點(diǎn)了．有的函數(shù)處處有定義，卻處處不連續(xù)，當(dāng)然更不能可導(dǎo)，如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)[1-2]．

特別要指出的是：

（2）對(duì)于在某些點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)可以有跳躍間斷點(diǎn)．

誤區(qū)2 有學(xué)生想當(dāng)然的認(rèn)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)除個(gè)別的點(diǎn)以外都是可導(dǎo)的．而歷史上Weierstrass第一個(gè)給出了處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)的函數(shù)[3-4]，其中：是一個(gè)正奇數(shù)，，且．

誤區(qū)3一些學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)極限的局部保號(hào)性定理后，就想當(dāng)然地認(rèn)為導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該局部保號(hào)，并進(jìn)一步導(dǎo)致錯(cuò)上再錯(cuò)．如有學(xué)生認(rèn)為：若，則必存在，使得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步再錯(cuò)，得到函數(shù)在時(shí)單調(diào)上升的錯(cuò)誤結(jié)論．

誤區(qū)4 由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有介值定理（或零點(diǎn)定理），而導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)，于是就錯(cuò)誤地認(rèn)為導(dǎo)函數(shù)的介值定理（或零點(diǎn)定理）不成立．其實(shí)，導(dǎo)函數(shù)的介值定理——達(dá)布（Darboux）定理[4-5]與導(dǎo)函數(shù)是否連續(xù)無(wú)關(guān)．

（2）見(jiàn)文獻(xiàn)[1]或文獻(xiàn)[3]．

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002

[2] 劉玉璉．?dāng)?shù)學(xué)分析講義（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2008

[3] 車向凱，謝崇遠(yuǎn)．高等數(shù)學(xué)（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2005

[4] George B托馬斯微積分[M]．10版．葉其孝，王耀東，唐兢，譯．北京：高等教育出版社，2003

[5] 陳紀(jì)修，於崇華，金路．?dāng)?shù)學(xué)分析（上）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2010

Some misunderstandings in the study of derivative

KONG Qing-hai

（School of Science，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

Freshman will have some misunderstanding and often make a mistake when they learn to understand derivative．Some errors was analyzed by examples or theorems，so as to achieve the aim of college students a deep understanding of derivative.

continuous；derivable；integrable；upper limit function of integral

1007-9831（2016）07-0076-04

O172.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.020

2016-04-10

孔慶海（1964-），男，遼寧莊河人，教授，碩士，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究．E-mail：shenyanglaok@sina.com