馬中華

?

卓越師資班線性代數(shù)課程矩陣乘法教學(xué)方法研究

馬中華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

結(jié)合卓越師資班的培養(yǎng)要求，探討線性代數(shù)課程矩陣乘法算法的結(jié)構(gòu)分析教學(xué)方法．通過逐層分析探尋矩陣乘法的規(guī)則和實(shí)際意義，突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，旨在開闊學(xué)生對矩陣乘法原理的理解，并為解決實(shí)際工科問題提供思路．

線性代數(shù)；矩陣乘法；卓越師資班

近年來，職業(yè)教育教師培養(yǎng)在國家政策支持下不斷地完善，職業(yè)教育教師培養(yǎng)質(zhì)量得到顯著提高，但也存在著職業(yè)教育教師培養(yǎng)的適應(yīng)性和針對性不強(qiáng)，部分課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法與應(yīng)用型教師人才培養(yǎng)結(jié)合度不高等突出問題．如何在“十三五”發(fā)展期間持續(xù)提高職業(yè)教育教師培養(yǎng)質(zhì)量，成為我國教師教育改革發(fā)展最核心、最緊迫的任務(wù)之一．

卓越職教師資培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)班（簡稱卓越師資班）是以培養(yǎng)專業(yè)基礎(chǔ)扎實(shí)、職業(yè)技能水平高、綜合施教能力強(qiáng)的職業(yè)院校專業(yè)教師為目標(biāo)，采用個性化的職業(yè)教育培養(yǎng)方案和獨(dú)特的卓越師資管理方式，選拔具有職業(yè)教育教師潛質(zhì)，樂于從教，適合從教的大學(xué)本科學(xué)生．卓越師資班實(shí)施單班教學(xué)，要求教學(xué)方式和教學(xué)方法更加豐富新穎，尤其注重師范技能與專業(yè)相結(jié)合的全方位實(shí)踐教學(xué)．對卓越師資班的日常教學(xué)，尤其是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程教學(xué)，要打開學(xué)生思路，化抽象的概念和公式為形象的算法和流程，擺脫死記硬背．

在工科數(shù)學(xué)中，為了解決工程實(shí)際問題，線性代數(shù)課程要面向矩陣和向量應(yīng)用，根據(jù)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的水平和需要組織課程內(nèi)容，并為一些后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及在各個學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作提供必要的保證[1]．矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)好線性代數(shù)的關(guān)鍵[2-3]．矩陣乘法是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，但由于矩陣乘法的內(nèi)涵具有較高的抽象性和多樣性，造成學(xué)生在理解時的困難[4]．通用教材中直接給出矩陣乘法計算公式，難免顯得突兀，同時學(xué)生也會疑惑，為何矩陣乘法公式不是對應(yīng)矩陣元素的乘積的結(jié)果．為了加深學(xué)生對這一抽象算法的理解，在卓越師資班教學(xué)中嘗試應(yīng)用了解析算法的結(jié)構(gòu)分析教學(xué)法，學(xué)生普遍反應(yīng)良好．

1代數(shù)幾何意義的解釋

國內(nèi)外工科線性代數(shù)課程安排順序不盡相同，本課程借鑒國外優(yōu)秀教材[5]，在線性代數(shù)矩陣?yán)碚摻虒W(xué)過程中插入具有代數(shù)幾何意義的解釋．

首先，通過數(shù)形結(jié)合的方式給學(xué)生建立線性映射和線性變換等基本概念．其次，矩陣的定義[6]中指出行（列）矩陣又稱行（列）向量．因此，在講授矩陣計算之前，需向?qū)W生簡單說明什么是向量，所有向量所構(gòu)成的集合表示為．向量是對矩陣的特殊解釋，向量與矩陣的運(yùn)算規(guī)則一致．最后，將線性映射與線性方程組建立聯(lián)系．從到的線性變換也可以稱為線性映射，從2×1向量到3×1向量的線性映射可用一次線性方程組的形式來表示，即

式（1）所對應(yīng)的向量方程可寫成

然而，線性方程組及向量方程的表達(dá)方式不利于學(xué)生從視覺效果聯(lián)想二維空間向量變換到三維空間向量的過程．若從幾何意義出發(fā)，則很容易理解向量經(jīng)過一次線性映射后的結(jié)果是不同領(lǐng)域或空間的向量，而矩陣即是映射（見圖１）．圖1中，空間中的向量經(jīng)線性映射成為空間中的向量．

圖1　線性空間中的向量及矩陣對應(yīng)的映射

2矩陣乘法算法的結(jié)構(gòu)分析

2.1基于矩陣和向量乘法的結(jié)構(gòu)分析法

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，往往會以舊知識作為基礎(chǔ)，但新知識又有自己的特點(diǎn)．以線性方程組為中心講述矩陣乘法運(yùn)算原理和方法，通過圖表展示矩陣乘法運(yùn)算內(nèi)部的結(jié)構(gòu)[7]，學(xué)生會更有興趣，也能夠更深刻地理解運(yùn)算規(guī)則的來龍去脈，分清概念，順利地完成新知識的學(xué)習(xí)，起到事半功倍的效果．

通過由一次線性方程組出發(fā)的線性映射結(jié)構(gòu)（見圖２）及代數(shù)幾何意義的解釋，學(xué)生可觀察得到如下信息：

（1）矩陣與向量的乘積結(jié)果是向量．

（2）矩陣列數(shù)為輸入的向量維數(shù)，矩陣行數(shù)為輸出的向量維數(shù)．

（3）向量行數(shù)為輸入的向量維數(shù)，向量列數(shù)為輸出向量數(shù)．

圖2　線性映射結(jié)構(gòu)示意圖

（3）將結(jié)果列向量組合．

圖3　線性映射的合成結(jié)構(gòu)示意圖

圖4　矩陣乘積

2.2基于向量和向量乘法的結(jié)構(gòu)分析法

（2）將這2個輸出向量做向量加法運(yùn)算得到完整輸出向量，即

（2）將這3個輸出矩陣做矩陣加法運(yùn)算得到完整輸出矩陣，即

綜上，在講授矩陣乘法運(yùn)算結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，學(xué)生自然會理解矩陣乘法運(yùn)算中，為何不可隨意交換矩陣乘法順序，不可隨意消去非零矩陣，但是矩陣乘法的結(jié)合律和分配律等運(yùn)算規(guī)則仍可保留沿用．

3結(jié)束語

線性代數(shù)課程是大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)的重要組成部分，特別是對于理工科專業(yè)的學(xué)生．從實(shí)際應(yīng)用層面上來看，線性代數(shù)課程為非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)、研究和實(shí)踐工作提供了必要的理論基礎(chǔ)．針對卓越師資班教學(xué)注重基礎(chǔ)、開闊思路、培養(yǎng)思考方法的要求，本文從矩陣與向量乘法的結(jié)構(gòu)出發(fā)，給出具有較好物理和空間意義的矩陣乘法計算方法．

將學(xué)習(xí)回歸為應(yīng)用，是優(yōu)化卓越師資班人才培養(yǎng)機(jī)制的目標(biāo)之一．希望通過一系列的教學(xué)方法改革，從細(xì)節(jié)處提升學(xué)生將實(shí)際工程問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的能力，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入研究的興趣．

[1] 陳懷?。€性代數(shù)要與科學(xué)計算結(jié)成好伙伴[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2010（S1）：28-34

[2] 袁可紅，李艷曉．分形思想在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．高師理科學(xué)刊，2012，32（5）：97-99

[3] 王穎．將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中的思考[J]．高師理科學(xué)刊，2013，33（4）：62-64

[4] 林海波．比較法和反例在矩陣乘法教學(xué)中的應(yīng)用[J]．中國科技信息，2011（17）：180

[5] Lay D C，Lay S R，McDonald J．Linear Algebra and Its Applications[M]．5th ed．New York：Pearson，2015

[6] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014

[7] 平岡和幸，堀玄．程序員的數(shù)學(xué)3：線性代數(shù)[M]．盧曉南，譯．北京：人民郵電出版社，2016

[8] Strang G．Linear Algebra and Its Applications[M]．4th ed．Belmont：Brooks/Cole/Cengage，2006

Study on teaching method of matrix multiplication in the linear algebra course of excellent teacher class

MA Zhong-hua

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Combined with the teaching requirements of excellent teacher class，mainly discusses the structure of the matrix multiplication algorithm of linear algebra course．In order to highlight the teaching focus，to break through the teaching difficulties，analyze the rule and the practical significance of matrix multiplication．The aim is to develop students′ understanding of the principle of matrix multiplication，and to provide ideas for solving practical engineering problems.

linear algebra；matrix multiplication；excellent teacher class

1007-9831（2016）07-0066-04

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.018

2016-05-18

馬中華（1983-），男，黑龍江克山人，講師，博士，從事高性能計算研究．E-mail：mazhonghua1983@aliyun.com